Evaluaciones – Página 3 – Métodos numéricos

2023-11-222023-11-29

1Eva_2023PAOII_T1 GPR Radar penetrante de suelo

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 1. (30 puntos) Radar penetrante o GPR (Ground Penetrating Radar) es el término general aplicado para mapear o cartografiar estructuras enterradas en el suelo.
El GPR se utiliza en muchas áreas como la localización de tuberías enterradas para servicios públicos, la evaluación del sitio en minas, excavaciones arqueológicas, medición del espesor de nieve o hielo para la gestión de pistas de esquí, etc.
Al emitir un pulso de radio hacia el suelo, la señal rebota al cambiar de medio y puede ser detectada en la superficie. Por lo que la distancia recorrida por la señal es de dos veces d.
Simplificando el ejercicio, considere la potencia de la señal recibida en el receptor en dB se expresa como:

RSSI(d)=-10\alpha log_{10}(d)+ P_0 ; d\gt0

Suponga que el coeficiente de atenuación del medio α = 4.5, P0 = – 20 y Rssi = -90, que la composición del suelo es uniforme y no existen pérdidas al rebotar sobre el material de la tubería mostrada en la gráfica.

a. Plantear el ejercicio para encontrar la profundidad a la que se encontraría la tubería usando el método de Newton-Raphson.

b. Describa el criterio para seleccionar un valor inicial de búsqueda y la tolerancia a usar en la solución.

c. Realice al menos tres iteraciones para el método indicado.

d. Realice observaciones sobre la convergencia del método.

e. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c (12 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] ¿Puedo predecir la profundidad de exploración?. Sensors&Software. https://www.sensoft.ca/es/blog/what-is-gpr/
[2] Te mostramos en realidad aumentada cómo son los túneles. Univisión Noticias. 16 oct 2023.

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3Eva_2023PAOI_T4 Especies en competencia por recursos

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 4. (30 puntos) Considere dos especies de animales que ocupan el mismo ecosistema, en competencia por los recursos de alimentos y espacio definidas por:

\frac{dx}{dt} = x(2 - 0.4 x - 0.3 y)

\frac{dy}{dt} = y( 1 - 0.1 y - 0.3 x)

Donde las poblaciones de x(t) y y(t) se miden en miles y t en años. Use un método numérico para analizar las poblaciones en un periodo largo para el caso que: x(0)=1.5, y(0)=3.5

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el crecimiento de la población de las especies y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: [1] Modelos de competencia ejercicio 10. Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Edición 9. P109. p111.

[2] Competition in ecosystems. Stile Education. 11 septiembre 2019.

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3Eva_2023PAOI_T3 Perfil de área devastada por incendios

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

3Eva_2023PAOI_T2 Área devastada por incendios

Tema 3. (20 puntos) Continuando con el ejercicio del área devastada por el incendio, con el objetivo de simplificar el registro de datos se propone describir los perfiles usando polinomios.

Frontera superior

X	350	300	350	420	444	484	504	534	568	620	660	720	780	740	800	800
Y	0	315	315	315	320	336	400	415	462	510	550	550	490	390	390	150

Frontera inferior

X	350	459	666	800
Y	0	63	130	150

a. Plantear el ejercicio para realizar interpolación polinómica. Describa criterios, intervalos, método.

b. Desarrolle el o los polinomios para la frontera superior, siguiendo el método propuesto en el literal a.

c. Desarrolle el o los polinomios para la frontera inferior, con un método diferente al literal a.

d. Usando un algoritmo, graficar al menos un resultado del literal b y c.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

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3Eva_2023PAOI_T2 Área devastada por incendios

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 2 (25 puntos) Se requiere determinar el área urbana a restaurar, que devastada por incendios en una isla del océano Pacífico, se encuentra delimitada por la playa y los puntos mostrados en la figura.

Se dispone de algunos puntos de referencia tomados desde imágenes de satélites mostrados en la tabla.

a. Plantear el ejercicio indicando el método de integración numérica a usar. Justifique su selección.

b. Desarrolle el método para los datos de la frontera superior

c. Realice los cálculos para la frontera inferior delimitada por playa

d. Estime la cota de error en los cálculos.

Frontera superior

X	350	300	350	420	444	484	504	534	568	620	660	720	780	740	800	800
Y	0	315	315	315	320	336	400	415	462	510	550	550	490	390	390	150

Frontera inferior

X	350	459	666	800
Y	0	63	130	150

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

xs = [350, 300, 350, 420, 444, 484, 504, 534, 568, 620, 660, 720, 780, 740, 800, 800]
fs = [0, 315, 315, 315, 320, 336, 400, 415, 462, 510, 550, 550, 490, 390, 390, 150]
xi = [350, 459, 666, 800]
fi = [0, 63, 130, 150]

Referencia: Incendios forestales devastan partes de la isla de Maui. DW español. 11 agosto 2023.

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3Eva_2023PAOI_T1 Matriz cadena de Markov

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 1 (25 puntos) Un call-center para soporte técnico de una mediana empresa se conforma de una recepcionista y dos técnicos. Se considera como “satisfecho” al cliente si su llamada fue procesada por la recepcionista y cualquiera de los técnicos.

La probabilidad P_RT de atención a llamadas se modelan con un sistema de ecuaciones (cadena de Markov) que al ser resuelta muestra probabilidad de encontrarse en cada estado.

λ P₀₀ = μ_T P₀₁

(μ_T + λ) P₀₁ = 2 μ_T P₀₂ + μ_R P₁₀

(2 μ_T + λ) P₀₂ = μ_R P₁₁ + μ_R P₁₂

μ_R P₁₀ = λ P₀₀ + μ_T P₁₁

(μ_R + μ_T) P₁₁ = λ P₀₁ + 2 μ_T P₁₂

(μ_R + 2 μ_T) P₁₂ = λ P₀₂

La suma de probabilidades es uno.

P₀₀ + P₀₁ + P₀₂ + P₁₀ + P₁₁+ P₁₂ = 1

λ = 1/10, μR = 1/3, μT =1/15

Los estados descritos en la gráfica y ecuaciones expresan el proceso de atención:
– En una llamada, los clientes son atendidos por la recepcionista que toma los datos y redirige la llamada a uno de los técnicos disponible (libre).
– Si un cliente llama mientras la recepcionista está ocupada, el cliente recibe tono de ocupado y cierra.
– Si ambos técnicos están disponibles, se selecciona uno con igual probabilidad.
– Si solo hay un técnico disponible, se le asigna la llamada.
– Si los dos técnicos están ocupados, se pierde la llamada.

Los tiempos de atención y llamadas siguen distribuciones exponenciales: recepcionista es de 3 minutos (μR = 1/3), por técnico es de 15 minutos (μT =1/15). Los clientes llaman a intervalos de 10 minutos (λ = 1/10).

a. Plantee el sistema de ecuaciones, reemplazando la última ecuación con la que indica que la suma de probabilidades por cada estado P_RT suma 1.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas.

d. Comente sobre la convergencia del sistema de ecuaciones y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones o número de condición.

e. Use un método directo, realizando al menos 3 iteraciones con todas las expresiones.

Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (5 puntos), literal e (10 puntos).

Referencia: [1] 1Eva_IT2017_T3 Call Center Operadora y Dos Técnicos. ESTG1003-Blog de procesos estocásticos. http://blog.espol.edu.ec/estg1003/1eva_it2017_t3-call-center-operadora-y-dos-tecnicos/
[2] Cadenas de Markov 01 Introducción. Goal Project. 30 agosto 2021.

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2Eva_2023PAOI_T3 EDP elíptica, placa rectangular con frontera variable

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 3 (35 puntos) Aproxime la solución de la Ecuación Diferencial Parcial

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \Big( x^2 + y^2 \Big) e^{xy}

0 \lt x \lt 1

0 \lt y \lt 0.5

Con las condiciones de frontera:

u(0,y)=1, u(1,y)= y, 0≤y≤0.5
u(x,0)=1, u(x,0.5)=x/2, 0≤x≤1

Aproxime la solución con tamaños de paso Δx = 0.25, Δy = 0.25
Utilice diferencias finitas centradas para las variables independientes x,y

a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

b. Realice la gráfica de malla,

c. desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(x_i,t_j)

d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

e. Estime el error de u(x_i,t_j) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (15), resolución del sistema (5 puntos).

Referencia: 2Eva_IT2012_T3 EDP elíptica, placa rectangular

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2Eva_2023PAOI_T2 Péndulo vertical amortiguado

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 2 (35 puntos) Una mejor aproximación a un péndulo oscilante con un ángulo θ más amplio y con un coeficiente de amortiguamiento μ se expresa con una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\mu \frac{d\theta}{ dt}-\frac{g}{L}\sin (\theta)$

g = 9.81 m/s²
L = 2 m
θ(0) = π/4 rad
θ’ (0) = 0 rad/s

El péndulo se suelta desde el reposo, desde un ángulo de π/4 respecto al eje vertical. El coeficiente de amortiguamiento μ=0.5 es proporcional a la velocidad angular.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para θ(t) con tamaño de paso h=0.2

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=10 s, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el movimiento estimado del péndulo a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

Vista general de ecuaciones diferenciales I Capítulo 1, 6min 54s. 3Blue1Brown 31-Marzo-2023.

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2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 1 (30 puntos)
Una academia encarga a un joyero un modelo de medalla cuyo costo unitario se determina por el área descrita entre las funciones f(x) y g(x) presentadas.

Se considera que el grosor de la medalla es único e independiente de la forma de la medalla.

f(x) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - x \Big)^2

0 \le x \lt 1

g(x) = -\Big( 1-x\Big)\ln \Big( 1- x \Big)

Para el desarrollo numérico, use diferentes métodos de Simpson para cada función.

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio.

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.

e. Encuentre el valor del tamaño de paso si se requiere una cota de error de 0.00032

Nota: en Python ln(x) se escribe np.log(x).

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: Star Trek https://intl.startrek.com/
¿A quien se le ocurrió crear la moneda? | Discovery en Español Youtube.com 8 nov 2016.

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1Eva_2023PAOI_T3 Recoger los restos de sumergible

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 3 (35 puntos) Suponga que se requiere planificar la operación de recolección de restos del accidente del sumergible ocurrido en junio del 2023 usando un robot autónomo sumergible.

Existen limitaciones debidas a la profundidad del lecho submarino, las fuertes corrientes que fluyen desde el oeste, limitada energía en las baterías del robot, etc.

El recorrido del robot se puede programar usando un polinomio para el intervalo de las coordenadas presentadas.

Se estima poder realizar tan solo dos recorridos desde el oeste hacia el este.

a. Plantee el ejercicio usando interpolación polinómica para realizar un recorrido para la recolección de restos, describiendo los criterios usados para la selección de los puntos.

b. Desarrolle un primer polinomio usando el método de diferencias divididas de Newton

c. Excluyendo los puntos usados en el literal anterior, desarrolle otro polinomio usando el método de Lagrange.

d. Grafique los resultados obtenidos para cada caso.

e. Determine el error de cada polinomio como la distancia entre cada punto por el que no pasa el polinomio y la coordenada equivalente en el polinomio. Realice observaciones a los resultados.

xi = np.array([0.2478, 0.6316, 1.3802, 2.4744, 2.7351, 2.8008,
               3.5830, 3.6627, 3.7213, 4.2796, 4.3757, 4.6794])
fi = np.array([1.8108, 0.1993, 4.7199, 2.4529, 2.3644, 3.5955,
               2.6558, 4.3657, 4.1932, 4.6998, 4.7536, 1.5673])

Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] La Guardia Costera de EE.UU. anuncia una investigación oficial sobre la implosión del sumergible Titán. RTVE.es / EFE. 26.06.2023 https://www.rtve.es/noticias/20230626/eeuu-anuncia-investigacion-oficial-sumergible-titan/2450440.shtml

[2] Así será la recuperación de los restos del sumergible Titán, según un experto militar. CNN en Español. 23 jun 2023.

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1Eva_2023PAOI_T2 Productos en combo por subida de precio

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 2 (35 puntos) Un restaurante usa materia prima como: arroz, cebolla, papa, huevos, leche, etc.

Sin embargo los precios han presentado variaciones en el mercado presentando como causas: las lluvias fuertes, el fenómeno del niño, daños en las cosechas y variaciones en insumos por la guerra Ucrania.

Un proveedor mayorista ofrece “combo” de productos por un valor total registrado en varias semanas como:

	arroz [Kg]	cebolla [Kg]	papa [Kg]	huevo [docena]	Total Pagado [USD]
Semana 1	500	600	400	90	1660
Semana 2	800	450	300	100	1825
Semana 3	400	300	600	80	1430

Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.

Se requiere conocer el precio unitario de los insumos para estimar el presupuesto operativo semanal del restaurante.

a. Plantee el ejercicio usando los datos de la tabla. Considere justificar el uso de una variable libre.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas

d. Use el método iterativo de Gauss-Seidel, realizando al menos 3 iteraciones. Estime la tolerancia, y justifique.

e. Comente sobre la convergencia del método y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones.

Nota: considere el precio de 50 USD para el quintal métrico (100Kg) de arroz, y precios menores del mismo orden de magnitud para los demás productos. La docena de huevo a 2,5 USD.

Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (15 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] Papa, arroz, huevos, cebolla y gas escasean en las islas Galápagos por problemas de abastecimiento. Eluniverso.com. 9 Junio 2023. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/escasez-de-productos-en-islas-galapagos-persiste-nota/

[2] El Gobierno importará arroz para controlar que el precio no suba por especulación o escasez. Ecuavisa. 16 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/noticias/ecuador/el-gobierno-importara-arroz-para-controlar-que-el-precio-no-suba-por-especulacion-o-escasez-CK5396253

[3] Estos son los alimentos de la canasta básica que se han encarecido por las lluvias. Ecuavisa. 05 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/la-noticia-a-fondo/estos-son-los-alimentos-de-la-canasta-basica-que-se-han-encarecido-por-las-lluvias-FX5303236

[4] Cebolla, arroz, piña y tomate son los productos que han subido su precio en mercados de Quito. La Hora. Junio 23, 2023. https://www.lahora.com.ec/pais/cebolla-arroz-pina-y-tomate-son-los-productos-que-han-subido-su-precio-en-mercados-de-quito/

[5] Escasez de arroz ya se refleja en los mercados de Ecuador | Televistazo | Ecuavisa. 14 jun 2023