Algoritmos101

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Categoría: Evaluaciones

Ejercicios de examen

  • 3Eva_2021PAOI_T1 Tensiones en cables por carga variable

    3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

    Tema 1 (20 puntos) Una carga P está sostenida por dos cables como se muestra en la figura.

    Las ecuaciones de equilibrio del sistema corresponden a:

    \sum^n{F_x = 0} -T_{CA} \cos (\alpha) + T_{CB} \cos (\beta) + P \sin (\theta) = 0 \sum^n{F_y = 0} T_{CA} \sin (\alpha) + T_{CB} \sin (\beta) - P \cos (\theta) = 0

    Se requiere determinar la tensión en cada cable para cualquiera de los valores de P y θ que se encuentran desde θ1=β-90° hasta θ2=90°- α , con incrementos dados Δθ.

    Usando un algoritmo numérico con método directo para solución de un sistema de ecuaciones, determine para los siguientes conjuntos de  números: La tensión en cada cable para los valores de θ  que van de θ1 a θ2.

    α = 35°, β = 75°, P = 400 lb, Δθ = 5°
    α = 50°, β = 30°, P = 600 lb, Δθ = 5°
    α = 40°, β = 60°, P = 2500 lb, Δθ = 5°

    Nota: Observe que los valores de ángulos están presentados en grados sexagesimales

    Referencia: Ferdinand P. Beer, E. Johnston, E. Eisenberg. 9va Ed. Cap2. Ejercicio 2.C4 Mecánica vectorial para ingenieros – Estática

    Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), desarrollo del método directo (10 puntos), algoritmo (5 puntos)

  • 2Eva_2021PAOI_T3 EDP Elíptica con valores en la frontera f(x) g(y)

    2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

    Tema 3 (40 puntos) Considere la siguiente ecuación diferencial parcial con valores en la frontera (PVF):

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 0 \lt x \lt \frac{1}{2}, 0 \lt y\lt \frac{1}{2} u(x,0)=0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u(0,y)=0 , 0\leq y \leq \frac{1}{2} u\Big(x,\frac{1}{2} \Big) = 200 x , 0 \leq x \leq \frac{1}{2} u\Big(\frac{1}{2} ,y \Big) = 200 y , 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

    Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución del PVF anterior tomando como tamaño de paso

    h=k=\frac{1}{6}

    Recuerde: presentar la malla, etiquetando cada eje con valores referenciales de los puntos seleccionados, presentar el planteamiento completo del ejercicio, usar expresiones completas en el desarrollo de cada uno de los pasos.

    Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (20), resolución del sistema (5 puntos).

  • 2Eva_2021PAOI_T2 EDO para cultivo de peces

    2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

    Tema 2 (30 puntos) “La tilapia es un pescado que muestra crecimiento en su consumo” y producción en el país. cultivo Tilapia 01

    La actual situación comercial es estable y sin bajas en el precio.

    “Santo Domingo es una provincia con una buena cantidad de piscinas para su cultivo. Aunque lo comercializan al fresco, ya que no tienen el equipo para empacar para exportación.”

    Suponga una piscina de cultivo donde no existen depredadores y con alimento suficiente para que los peces no luchen por la comida.

    Los peces se capturan a intervalos periódicos descritos por la función h(t) mostrada, con a=0.9 y b=0.75, constantes a > b y t>0 el tiempo en años.

    h(t) = a + b \sin (2 \pi t)

    Se supone que los peces crecen con un ritmo proporcional a su población, entonces la ecuación diferencial dy/dt modela la población de tilapias en el tiempo y r=1 la tasa neta de crecimiento sin captura. Suponga y(0) =1

    \frac{\delta y(t)}{\delta t} = r y(t)-h(t)

    a) Realice el planteamiento de la solución usando Runge-Kutta 4to orden, para n=12 meses o tramos.

    b) Aproxime considerando h=1/12 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden, escriba las expresiones completas para los cálculos.

    c) Usando el algoritmo, determine si el negocio de cultivo de tilapia con la estrategia de captura h(t) es sostenible en el tiempo. Recomiende y justifique sus conclusiones observando el comportamiento para al menos 2 años (24 meses).

    Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), uso del método de 4to orden (10 puntos), iteraciones con método de segundo orden (10 puntos). literal c (5 puntos)

    Referencia: El consumo de la tilapia, más económica que la carne, crece en Ecuador. Eluniverso.com. Septiembre 5,2018. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/09/05/nota/6938243/consumo-tilapia-mas-economica-que-carne-crece-ecuador/
    Como empezar un Cultivo de Peces - Piscicultura - TvAgro por Juan Gonzalo Angel. https://www.youtube.com/watch?v=97qIOpSpXCs

  • 2Eva_2021PAOI_T1 Masa transportada por tubo

    2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

    Tema 1 (30 puntos) La cantidad de masa transportada, M, por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con: plataforma Submarina 01

    M = \int_{t_1}^{t_2} Q(t)c(t) dt

    Donde:
    M = masa (mg)
    t1 = tiempo inicial (min)
    t2 = tiempo final (min)
    Q(t) = tasa de flujo (m3/min)
    c(t) = concentración (mg/m3)

    Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones temporales en el flujo y la concentración:

    Q(t)=9+4 \cos ^2 (0.4t) c(t)=5e^{-0.5t}+2 e^{-0.15 t}

    a) Determine la masa transportada entre t1 = 2 min y t2 = 8 min, usando integración numérica de Simpson 1/3 con al menos 6 tramos.

    b) Estime la cota de error para el literal anterior.

    c) Recomiende y justifique cómo mejorar el resultado de lo calculado de forma numérica.

    Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteración con expresiones completas (10 puntos), tamaño de paso (5 puntos), cota error (5 puntos), literal c (5 puntos)

    Referencia: Chapra ejercicio 22.14 p667. ¿Cómo funciona una refinería? https://youtu.be/tFJ064TLW4E
    ¿Cómo lo hacen? - Extracción de petróleo - DiscoveryMAX en Español https://youtu.be/ua8u3iSFqsc

  • 1Eva_2021PAOI_T1 Función recursiva y raíces de ecuaciones

    1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

    Tema 1. (30 puntos) La sucesión mostrada puede ser calculada de forma recursiva para un valor inicial x0.

    x_n = ln \Bigg(\frac{1}{2+x_{n-1}} \Bigg)

    n = 1, 2, 3, ...
    x0 = -0.45

    a. Realice 7 iteraciones con la sucesión, tabule y grafique los resultados.

    Considerando solamente el intervalo  [-0.5,-0.4]

    b. ¿Se puede afirmar que para todo valor inicial x0 la sucesión converge? Justifique su respuesta.

    En algoritmos de computadora, la forma recursiva de la sucesión puede consumir rápidamente recursos, por lo que se plantea encontrar el valor al que converge la sucesión usando siguiente ecuación:

    x +ln(x+2) = 0

    x0 = -0.45

    c. Encuentre el valor que resuelve la ecuación usando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-4. Realice al menos 3 iteraciones completas y comente sobre la convergencia.

    d. Presente sus conclusiones y recomendaciones para los resultados obtenidos entre el literal b y c.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c, verifica intervalo (4 puntos), iteraciones (10 puntos), convergencia (5 puntos), literal d (4 puntos)

     

  • 1Eva_2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020

    1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

    Tema 3 (35 puntos) Para evaluar las medidas de confinamiento aplicadas durante el año 2020 se requiere de un modelo del comportamiento de contagios por unidad de tiempo.

    Se disponen de los datos de casos graves por semana mostrados en la tabla y se busca obtener un polinomio de interpolación de grado 4 semejante al mostrado en la figura.

    1Eva2021PAOI Confinamiento 2020

    Semana Fecha casos graves
    … … …
    9 2/3/2020 1435
    10 9/3/2020 1645
    11 16/3/2020 1503
    12 23/3/2020 3728
    13 30/3/2020 7154
    14 6/4/2020 6344
    15 13/4/2020 4417
    16 20/4/2020 3439
    17 27/4/2020 2791
    18 4/5/2020 2576
    19 11/5/2020 2290
    20 18/5/2020 2123
    21 25/5/2020 2023
    22 1/6/2020 2067
    23 8/6/2020 2163
    24 15/6/2020 2120
    25 22/6/2020 2125
    … … …

    a. Desarrolle el polinomio de interpolación usando los puntos sombreados en la tabla, correspondientes a las semanas 11, 13, 16, 18 y 20.

    b. Calcule los errores en el intervalo sobre los datos que no se usaron entre las semanas [11,20]

    c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio.

    d. Calcule los errores en el intervalo para el modelo del literal c y compare con los obtenidos en el literal b.

    e. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

    Rúbrica: literal a (7 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (8 puntos)

    xi = [    9,   10,   11,   12,   13,   14,
         15,   16,   17,   18,   19,   20,
         21,   22,   23,   24,   25,   26 ]
fi = [ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,
       4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,
       2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ]

    Referencia:
    - Eluniverso.com. 2/07/2021. Casos de coronavirus en Ecuador al viernes 2 de julio: 461.157 confirmados, 21.623 fallecidos y 1′416.916 vacunados. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/coronavirus-covid-19-ecuador-cifras-vacunados-casos-contagios-muertes-9-junio-2021-nota-18/ .

    - https://flo.uri.sh/visualisation/5585865/embed

    - BBC News Mundo. La “doble curva” del coronavirus y el “falso dilema” entre salvar vidas o la economía. 8/mayo/2020. https://youtu.be/SlTSFkTsZL8

  • 1Eva_2021PAOI_T2 Atención hospitalaria con medicamentos limitados

    1ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 6/Julio/2021

    Tema 2 (35 puntos) Durante el año 2020, ante el aumento de atención hospitalaria estatal en la región y el limitado acceso a medicamentos, como una primera estrategia de manejo de recursos se derivan el exceso de pacientes hacia la atención en hospitales privados. hospital dibujo con ambulancia

    En la tabla  se muestra la cantidad de los tres medicamentos (mg, ml) que se administran al atender a cada paciente clasificado por grupo etario: niños, adolescentes, adultos y adultos mayores.

    También se dispone del total de medicamentos existente en bodegas en cada semana.

    Niños Adolescentes Adultos Adultos Mayores Medicamentos /semana
    Medicamento_A 0.3 0.4 1.1 4.7 3500
    Medicamento_B 1 3.9 0.15 0.25 3450
    Medicamento_C 0 2.1 5.6 1.0 6500

    Es de interés conocer la cantidad de pacientes de cada grupo que se podría atender con los recursos disponibles.

    a.  Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo etario que podrían ser atendidos usando todos los medicamentos disponibles.

    Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad K para pacientes niños sea una variable libre, por consumir menos recursos y se podrían derivar al sistema privado.

    b.  Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre, considerando la cantidad de niños a atender como máximo de K=100.

    c. Determine la capacidad de atención usando un método Iterativo con una tolerancia de 10-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Se estima atender al inicio de semana al menos 100 pacientes de cada grupo.

    d. Suponga que la cantidad de pacientes en cada grupo para una semana dada es: [350, 1400, 1500, 1040]. ¿Hay suficiente cantidad de medicamentos para atender el promedio actual de pacientes? Analice y describa los resultados encontrados.

    e. Si se decide vacunar primero a todos los niños, entonces ya no requieren atención hospitalaria (K=0) ¿Cuál es el número máximo de pacientes de cada grupo que podría incrementarse dadas las condiciones actuales? Resuelva usando un método directo.

    Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (4 puntos), literal d (5 puntos) literal e (6 puntos)

    Referencias:
    - BBC News Mundo. El país que está vacunando contra el covid-19 primero a los jóvenes y no a los ancianos. 16/enero/2021. https://youtu.be/oo2itoBBwyY

    - Manejo clínico de la COVID-19, orientaciones provisionales 27/mayo/2020. https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/332638/WHO-2019-nCoV-clinical-2020.5-spa.pdf

  • 3Eva_2020PAOII_T3 EDP Deflexiones de una placa

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

    Tema 3. (40 puntos) Una placa cuadrada, apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a un carga por unidad de área q.

    Deflexion Placa 01
    La deflexión en la dimensión z de determina resolviendo la EDP elíptica siguiente:

    \frac{\partial^4 z}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} +\frac{\partial^4 z}{\partial y^4} =\frac{q}{D}

    sujeta a condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son cero.

    D = \frac{E \Delta x^3}{12(1-\sigma ^2)}

    El parámetro D es la rigidez de flexión, donde E=módulo de elasticidad, Δz=espesor de la placa, σ=razón de Poisson.

    Para simplificar, se define la variable u como sigue:

    u = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}

    Permitiendo volver a expresar la ecuación primera como:

    \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{q}{D}

    Con lo que el problema se reduce a resolver de manera sucesiva las dos ecuaciones de Poisson.

    Primero la ecuación respecto a u sujeta a la condición de frontera u = 0 en los extremos, después los resultados se emplean junto con la ecuación respecto a z sujeta a la condición de que z = 0 en los extremos.
    Considere una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q= 33.6 k N/m2, σ =0.3, Δz = 0.01 m, E = 2x1011 Pa.

    a) Plantee y desarrolle el ejercicio en papel para u(x,y) para al menos 3 puntos en la malla.
    Utilice Δx = Δy = 0.5 para las iteraciones.

    b) Desarrolle un algoritmo para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área resolviendo de manera sucesiva las dos ecuaciones.

    Rúbrica: gráfica de malla (5 puntos), desarrollo de expresiones, agrupar constantes, y simplificación (10 puntos), iteraciones para 3 puntos (10 puntos), Revisión de errores (5 puntos). literal b (10 puntos)

    Referencia: Deflexiones de una placa. Chapra 32.2 p938, pdf962

  • 3Eva_2020PAOII_T2 EDO - Concentración de solución en tres tanques

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

    Tema 2. (30 puntos) Tres tanques perfectamente aislados, completamente llenos con una solución cuya concentración es Ci (0) g/L.

    concentracion Solucion Tanques 01

    Los tanques están interconectados en serie de tal forma que de añadir solución al primero, se transfiere la misma cantidad por la conexión al segundo y al tercero del cual rebosa hacia afuera del sistema.

    El tercer tanque tiene una salida por rebose que mantiene constante el volumen V en cada tanque.

    Desde un tiempo t0 = 0, al primer tanque se le añade una solución que tiene una concentración 50 g/L, a razón de 300 L/min.

    Considere Ci (0) = 30 g/L y el volumen de cada tanque de 1000 L.
    En cada tanque entre lo que recibe y se transfiere al siguiente tanque se obtienen las siguientes ecuaciones:

    \frac{dC_1}{dt} = \frac{300}{1000}(50) - 0.3 C_1 \frac{dC_2}{dt} = 0.3C_1- 0.3 C_2 \frac{dC_3}{dt} = 0.3C_2- 0.3 C_3

    Determine la concentración en cada tanque durante los 3 primeros minutos de iniciar el experimento usando un método de Runge-Kutta de 2do Orden. (tres iteraciones, estime cota del error)

    Rúbrica: Planteo del sistema de ecuaciones en el método (10 puntos), iteraciones (15 puntos), estimar errores (5 puntos).

    Referencia: GIE -FRSN-UTN. https://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/ejercicios%20propuestos.pdf

  • 3Eva_2020PAOII_T1 Área de sección transversal en buque

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO II. 9/Febrero/2021

    Tema 1. (30 puntos) Al reiniciar las actividades de construcción de un buque
    luego de la cuarentena del año 2020, se requiere determinar el área transversal de la sección a ser cerrada completamente y que se muestra en la figura.

    Para estimar el área transversal del compartimento se tomaron las siguientes medidas cada 2 metros hacia arriba desde la línea central vertical (mostrada en la gráfica):

    en metros Longitud desde Centro
    Altura Izquierda Derecha
    12 -17.00 17.00
    10 -16.00 16.00
    8 -15.65 15.65
    6 -15.60 15.60
    4 -15.50 15.50
    2 -15.00 15.00
    0   -6.00  6.00

    Usando un método numérico compuesto estime el área transversal de la sección del barco y la cota de error del ejercicio. Desarrolle el ejercicio mostrando el método seleccionado, las expresiones en la ecuación con los valores usados y el error total.

    Rúbrica: Selección del métodos compuestos (5 puntos), expresiones de áreas (10 puntos), cota de errores (10 puntos), área total (5 puntos)

    tabla = [[0.0,  2.0,  4.00,  6.00,  8.00, 10.0, 12.0],
         [6.0, 15.0, 15.50, 15.60, 15.65, 16.0, 17.0]]

    Referencias: Órdenes de construcción de transporte marítimo disminuyo en abril. 2020-05-10. https://www.worldenergytrade.com/logistica/transporte/ordenes-de-construccion-de-transporte-maritimo-disminuyo-abril