2.4 Método de Newton-Raphson – Concepto

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Método de Newton-Raphson

Referencia: Burden 2.3 p49, Chapra 6.2 p148, Rodríguez 3.3 p52

Se deduce a partir de la interpretación gráfica o por medio del uso de la serie de Taylor de dos términos.

De la gráfica, se usa el triángulo formado por la recta tangente que pasa por f(x_i), con pendiente f'(x_i)  y el eje x.

f'(x_i) = \frac{f(x_i) - 0}{x_i - x_{i+1}}

El punto x_i+1 es la intersección de la recta tangente con el eje x, que es más cercano a la raíz de f(x), valor que es usado para la próxima iteración.

Reordenando la ecuación de determina la fórmula para el siguiente punto:

x_{i+1} = x_i -\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}

El error se determina como la diferencia entre los valores sucesivos encontrados |x_i+1 – x_i|

La gráfica animada muestra el proceso aplicado varias veces sobre f(x) para encontrar la raíz.

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Recta Tangente para la gráfica

Si se quiere dibujar la recta tangente en el punto inicial, la ecuación de la recta se obtiene usando: el valor de la pendiente con la derivada f'(x) y cambiando la constante b por b₀ para no confundirla con la b del intervalo [a,b]

y = mx + b y = f'(x) x + b_0

Es necesario disponer de un punto conocido de la recta (x₀,f(x₀)) y la pendiente en ese punto f'(x₀), quedando solo el término de la constante como incógnita .

f(x_0) = f'(x_0) x_0 + b_0 f(x_0) - f'(x_0) x_0 = b_0

La función recta tangente se expresa para la gráfica como:

b_0 = f(x_0) - f'(x_0) x_0 rtg(x)= f'(x_0) x + b_0

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Tarea

Use la serie de Taylor hasta la primera derivada para encontrar el siguiente punto de aproximación x_i+1

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