análisis numérico - Métodos numéricos

2023-10-112025-09-09

7.4 EDP con gráficos animados en Python

Solo para fines didácticos, y como complemento para los ejercicios presentados en la unidad para Ecuaciones Diferenciales Parciales, se presentan las instrucciones para las animaciones usadas en la presentación de los conceptos y ejercicios. Los algoritmos para animación NO son necesarios para realizar los ejercicios, que requieren una parte analítica con al menos tres iteraciones en papel y lápiz. Se lo adjunta como una herramienta didáctica de asistencia para las clases.

EDP Parabólica [ concepto ] [ ejercicio ] || explícito [ algoritmo ] gráfica [ 2D ] [ 3D ] animada [ 2D ] [ 3D ] || implícito gráfica [ 3D animada ] ||
EDP Elípticas [ concepto ] [ ejercicio ] iterativo [ algoritmo ] [ 3D ] [ 3D animada ]
..

1. EDP Parabólicas método explícito

resultados del algoritmo

Método explícito EDP Parabólica
lambda:  0.25
x: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
t: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04] ... 1.0
Tabla de resultados en malla EDP Parabólica
j, U[:,: 5 ], primeras iteraciones de  100
5 [60.   44.21 32.93 27.29 25.41 25.05 25.18 25.98 28.4  33.23 40.  ]
4 [60.   42.77 31.29 26.37 25.14 25.   25.06 25.59 27.7  32.62 40.  ]
3 [60.   40.86 29.38 25.55 25.   25.   25.   25.23 26.88 31.8  40.  ]
2 [60.   38.12 27.19 25.   25.   25.   25.   25.   25.94 30.62 40.  ]
1 [60.   33.75 25.   25.   25.   25.   25.   25.   25.   28.75 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]

Algoritmo en Python

# EDP parabólicas d2u/dx2  = K du/dt
# método explícito,usando diferencias divididas
import numpy as np

# INGRESO
# Valores de frontera
Ta = 60  # izquierda de barra
Tb = 40  # derecha de barra
#Tc = 25 # estado inicial de barra en x
fxc = lambda x: 25 + 0*x # f(x) en tiempo inicial

# dimensiones de la barra
a = 0  # longitud en x
b = 1
t0 = 0 # tiempo inicial, aumenta con dt en n iteraciones

K = 4     # Constante K
dx = 0.1  # muestreo en x, tamaño de paso
dt = dx/10

n = 100  # iteraciones en tiempo
verdigitos = 2   # decimales a mostrar en tabla de resultados

# coeficientes de U[x,t]. factores P,Q,R, 
lamb = dt/(K*dx**2)
P = lamb       # izquierda P*U[i-1,j]
Q = 1 - 2*lamb # centro Q*U[i,j]
R = lamb       # derecha R*U[i+1,j]

# PROCEDIMIENTO
# iteraciones en x, longitud
xi = np.arange(a,b+dx/2,dx)
m = len(xi) 
ultimox = m-1
ultimot = n-1

# u[xi,tj], tabla de resultados
u = np.zeros(shape=(m,n+1), dtype=float)

# u[i,j], valores iniciales
u[0,:] = Ta  # Izquierda
u[ultimox,:] = Tb  # derecha
# estado inicial de barra en x, Tc
fic = fxc(xi) # f(x) en tiempo inicial
u[1:ultimox,0] = fic[1:ultimox]

# Calcula U para cada tiempo + dt
tj = np.arange(t0,(n+1)*dt,dt)
for j  in range(0,n,1):
    for i in range(1,ultimox,1):
        # ecuacion discreta, entre [1,ultimox]
        u[i,j+1] = P*u[i-1,j] + Q*u[i,j] + R*u[i+1,j]

# SALIDA
j_mostrar = 5
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('Método explícito EDP Parabólica')
print('lambda: ',np.around(lamb,verdigitos))
print('x:',xi)
print('t:',tj[0:j_mostrar],'...',tj[-1])
print('Tabla de resultados en malla EDP Parabólica')
print('j, U[:,:',j_mostrar,'], primeras iteraciones de ',n)
for j in range(j_mostrar,-1,-1):
    print(j,u[:,j])

1.1 Gráficas 2D, EDP Parabólica, método explícito

# GRAFICA 2D ------------
import matplotlib.pyplot as plt
tramos = 10
salto = int(n/tramos) # evita muchas líneas
if (salto == 0):
    salto = 1
for j in range(0,n,salto):
    vector = u[:,j]
    plt.plot(xi,vector)
    plt.plot(xi,vector, '.',color='red')
plt.xlabel('x[i]')
plt.ylabel('u[j]')
plt.title('Solución EDP parabólica')
#plt.show()

1.3 Gráficas 3D, EDP Parabólica, método explícito

Esta sección es la base para la generación de las animaciones siguientes, por lo que debe ser incluida antes de las dos siguientes animaciones 2D o 3D. Al menos hasta la parte donde se realiza la transpuesta de U.

# GRAFICA 3D -----------
tj = np.arange(0,n*dt,dt)
tk = np.zeros(tramos,dtype=float)

# Extrae parte de la matriz U,acorde a los tramos
U = np.zeros(shape=(m,tramos),dtype=float)
for k in range(0,tramos,1):
    U[:,k] = u[:,k*salto]
    tk[k] = tj[k*salto]
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi,tk)
U = np.transpose(U)

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U, color ='blue')
graf_3D.plot(xi[0],tk[1],U[1,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(xi[1],tk[1],U[1,1],'o',color ='green')
graf_3D.plot(xi[2],tk[1],U[1,2],'o',color ='green')
graf_3D.plot(xi[1],tk[2],U[2,1],'o',color ='salmon',
             label='U[i,j+1]')
graf_3D.set_title('EDP Parabólica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('t')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

1.4 Gráficas 2D animada, EDP Parabólica, método explícito

La animación en 2D para la EDP parabólica método explícito se añade, luego de comentar el #plt.show() anterior

# GRAFICA 2D ANIMADA --------
# import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
unmetodo = 'EDP Parabólica - Método explícito'
narchivo = 'EdpParabolica' # nombre archivo GIF

# Parametros de trama/foto
retardo = 500   # milisegundos entre tramas

# GRAFICA animada en fig_ani
fig_ani, graf_ani = plt.subplots()

# Lineas y puntos base
linea_f, = graf_ani.plot(xi,u[:,0])
graf_ani.axhline(0, color='k')  # Eje en x=0

maximoy = np.max(u) 
txt_y = maximoy*(1-0.1)
txt_f = graf_ani.text(xi[0],txt_y,'tiempo:',
                      horizontalalignment='left')
# Configura gráfica
graf_ani.set_xlim([xi[0],xi[ultimox]])
graf_ani.set_ylim([ np.min(u),maximoy])
graf_ani.set_title(unmetodo)
graf_ani.set_xlabel('x')
graf_ani.set_ylabel('u')
#graf_ani.legend()
graf_ani.grid()

# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,u):
    # actualiza cada linea
    linea_f.set_ydata(u[:,i])
    linea_f.set_xdata(xi)
    linea_f.set_label('tiempo linea: '+str(i))
    if (i<=9): # color de la línea
        lineacolor = 'C'+str(i)
    else:
        numcolor = i%10
        lineacolor = 'C'+str(numcolor)
    linea_f.set_color(lineacolor)
    txt_f.set_text('tiempo['+str(i)+'] = ' + str(i*dt))
    return linea_f, txt_f,

# Limpia Trama anterior
def limpiatrama(): 
    linea_f.set_ydata(np.ma.array(xi, mask=True))
    linea_f.set_label('')
    txt_f.set_text('')
    return linea_f, txt_f,

# contador de tramas
i = np.arange(0,len(tk),1)
ani = animation.FuncAnimation(fig_ani, unatrama,
                              i, fargs=(xi,u),
                              init_func=limpiatrama,
                              interval=retardo,
                              blit=False)
# Graba Archivo GIFAnimado y video
ani.save(narchivo+'_animado.gif',writer='pillow')
#ani.save(narchivo+'.mp4')
plt.draw()
plt.show()

1.5 Gráficas 3D animada, EDP Parabólica, método explícito

Para el caso de animación 3D, se cambia la sección de animación del algoritmo anterior por:

# GRAFICA 3D ANIMADA --------
# import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
unmetodo = 'EDP Parabólica - Método explícito'
narchivo = 'EdpParabolica2' # nombre archivo GIF

# Parametros de trama/foto
retardo = 500   # milisegundos entre tramas

# GRAFICA animada en fig_ani
fig_ani3D = plt.figure()
graf_ani3 = fig_ani3D.add_subplot(projection='3d')

# Lineas y puntos base
##graf_ani3.plot_wireframe(Xi,Yi,U,
##                         color ='blue',label='EDP Parabólica')
punto_a, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'o',color ='green')
punto_b, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'o',
                          color ='salmon',label='U[i,j+1]')
linea_c, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'-',color ='blue')
# Configura gráfica
graf_ani3.set_xlim(min(xi),max(xi))
graf_ani3.set_ylim(min(tk),max(tk))
graf_ani3.set_title(unmetodo)
graf_ani3.set_xlabel('x')
graf_ani3.set_ylabel('t')
graf_ani3.set_zlabel('U')
graf_ani3.legend()
graf_ani3.grid()
graf_ani3.view_init(35, -45)

mallaEDP = None
# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,tk,U,k):
    f = i//k
    c = i%k
    # actualiza cada punto
    punto_a.set_data([[xi[c],xi[c+1],xi[c+2]],
                      [tk[f],tk[f],tk[f]]])
    punto_a.set_3d_properties([U[f,c],U[f,c+1],U[f,c+2]])
    punto_b.set_data([xi[c+1]],[tk[f+1]])
    punto_b.set_3d_properties([U[f+1,c+1]])
    linea_c.set_data(xi[0:c+2],[tk[f+1]]*(c+2))
    linea_c.set_3d_properties([U[f+1,0:c+2]])
    
    global mallaEDP
    if mallaEDP:
        mallaEDP.remove()
    mallaEDP = graf_ani3.plot_wireframe(Xi[0:f+1,:],
                                        Yi[0:f+1,:],
                                        U[0:f+1,:],
                                        color ='blue',
                                        label='EDP Parabólica')
    return (punto_a,punto_b,linea_c)


# contador de tramas
k = len(xi)-2
k2 = k*(len(tk)-1)
i = np.arange(0,k2,1)
ani = animation.FuncAnimation(fig_ani3D, unatrama,
                              i ,
                              fargs=(xi,tk,U,k),
                              interval=retardo,
                              blit=False)
# Graba Archivo GIFAnimado y video
ani.save(narchivo+'_animado.gif', writer='pillow')
#ani.save(narchivo+'.mp4')
#plt.draw()
plt.show()

1.6 Gráfica 3D, EDP Parabólicas método implícito

Puesto que la solución de la tabla de resultados en U es la misma que el los dos métodos explícito e implícito, solo se adjunta la parte de la animación.

Para el caso del la gráfica 3D del método implícito se cambia la sección de gráfica animada por:

# GRAFICA 3D ANIMADA --------
# import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
unmetodo = 'EDP Parabólica - Método explícito'
narchivo = 'EdpParabolica2' # nombre archivo GIF

# Parametros de trama/foto
retardo = 500   # milisegundos entre tramas

# GRAFICA animada en fig_ani
fig_ani3D = plt.figure()
graf_ani3 = fig_ani3D.add_subplot(projection='3d')

# Lineas y puntos base
##graf_ani3.plot_wireframe(Xi,Yi,U,
##                         color ='blue',label='EDP Parabólica')
punto_a, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'o',color ='green')
punto_b, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'o',
                          color ='salmon',label='U[i,j+1]')
linea_c, = graf_ani3.plot(xi[0],tk[0],U[1,0],'-',color ='blue')
# Configura gráfica
graf_ani3.set_xlim(min(xi),max(xi))
graf_ani3.set_ylim(min(tk),max(tk))
graf_ani3.set_title(unmetodo)
graf_ani3.set_xlabel('x')
graf_ani3.set_ylabel('t')
graf_ani3.set_zlabel('U')
graf_ani3.legend()
graf_ani3.grid()
graf_ani3.view_init(35, -45)

mallaEDP = None
# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,tk,U,k):
    f = i//k
    c = i%k
    # actualiza cada punto
    punto_a.set_data([[xi[c],xi[c+1],xi[c+2]],
                      [tk[f],tk[f],tk[f]]])
    punto_a.set_3d_properties([U[f,c],U[f,c+1],U[f,c+2]])
    punto_b.set_data([xi[c+1]],[tk[f+1]])
    punto_b.set_3d_properties([U[f+1,c+1]])
    linea_c.set_data(xi[0:c+2],[tk[f+1]]*(c+2))
    linea_c.set_3d_properties([U[f+1,0:c+2]])
    
    global mallaEDP
    if mallaEDP:
        mallaEDP.remove()
    mallaEDP = graf_ani3.plot_wireframe(Xi[0:f+1,:],
                                        Yi[0:f+1,:],
                                        U[0:f+1,:],
                                        color ='blue',
                                        label='EDP Parabólica')
    return (punto_a,punto_b,linea_c)


# contador de tramas
k = len(xi)-2
k2 = k*(len(tk)-1)
i = np.arange(0,k2,1)
ani = animation.FuncAnimation(fig_ani3D, unatrama,
                              i ,
                              fargs=(xi,tk,U,k),
                              interval=retardo,
                              blit=False)
# Graba Archivo GIFAnimado y video
ani.save(narchivo+'_animado.gif', writer='pillow')
#ani.save(narchivo+'.mp4')
#plt.draw()
plt.show()

2. EDP Elípticas método iterativo

Al algoritmo desarrollado en EDP Elípticas método iterativo, se crean una lista para almacenar los valores de la matriz U por cada iteración, se usan para graficar cada iteración.

# Ecuaciones Diferenciales Parciales
# Elipticas. Método iterativo
import numpy as np

# INGRESO
# Condiciones iniciales en los bordes
Ta = 60     # izquierda
Tb = 25     # derecha
#Tc = 50    # inferior 
fxc = lambda x: 50+0*x # función inicial inferior
# Td = 70   # superior
fxd = lambda x: 70+0*x # función inicial superior

# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# discretiza, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx
iteramax = 100
tolera = 0.0001
verdigitos = 2   # decimales a mostrar en tabla de resultados

# PROCEDIMIENTO
xi = np.arange(x0,xn+dx/2,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy/2,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz u
u = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
# llena u con valores en fronteras
u[0,:]   = Ta       # izquierda
u[n-1,:] = Tb       # derecha
fic = fxc(xi)
u[:,0]   = fic  # Tc inferior
fid = fxd(xi)
u[:,m-1] = fid  # Td superior
# valor inicial de iteración dentro de u
# promedio = (Ta+Tb+Tc+Td)/4
promedio = (Ta+Tb+np.max(fic)+np.max(fid))/4
u[1:n-1,1:m-1] = promedio
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('u inicial:')
print(np.transpose(u))

# iterar puntos interiores
U_3D = [np.copy(u)]
U_error = ['--']
itera = 0
converge = False
while (itera<=iteramax and converge==False):
    itera = itera +1
    Uantes = np.copy(u)
    for i in range(1,n-1):
        for j in range(1,m-1):
            u[i,j] = (u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1])/4
    diferencia = u - Uantes
    errado_u = np.max(np.abs(diferencia))
    if (errado_u<tolera):
        converge=True
    U_3D.append(np.copy(u))
    U_error.append(np.around(errado_u,verdigitos))
    if itera<=3:
        np.set_printoptions(precision=verdigitos)
        print('itera:',itera-1,'  ; ','u:')
        print(np.transpose(u))
        print('errado_u: ', errado_u)
    if itera==4:
        print('... continua')
        
# SALIDA
print('Método Iterativo EDP Elíptica')
print('iteraciones:',itera,' converge = ', converge)
print('xi:', xi)
print('yj:', yj)
print('Tabla de resultados en malla EDP Elíptica')
print('j, U[i,j]')
for j in range(m-1,-1,-1):
    print(j,u[:,j])

2.1 Gráfica 3D, EDP Elípticas método iterativo

# GRAFICA en 3D ------
import matplotlib.pyplot as plt
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi, yj)
U = np.transpose(u) # ajuste de índices fila es x

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U,
                       color ='blue')
graf_3D.plot(Xi[1,0],Yi[1,0],U[1,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(Xi[1,1],Yi[1,1],U[1,1],'o',color ='red',
             label='U[i,j]')
graf_3D.plot(Xi[1,2],Yi[1,2],U[1,2],'o',color ='salmon')
graf_3D.plot(Xi[0,1],Yi[0,1],U[0,1],'o',color ='green')
graf_3D.plot(Xi[2,1],Yi[2,1],U[2,1],'o',color ='salmon')

graf_3D.set_title('EDP elíptica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('y')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

2.2 Gráfica 3D animada, EDP Elípticas método iterativo

# GRAFICA CON ANIMACION 3D--------
# import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
unmetodo = 'EDP Eliptica - Método iterativo'
narchivo = 'EdpElipticaItera' # nombre archivo GIF

# Parametros de trama/foto
retardo = 500   # milisegundos entre tramas

# GRAFICA animada en fig_ani
fig_ani3D = plt.figure()
graf_ani3 = fig_ani3D.add_subplot(projection='3d')

# Lineas y puntos base
punto_a, = graf_ani3.plot(xi[0],yj[0],U[0,0],'.',color ='blue')

# Configura gráfica
graf_ani3.set_xlim(min(xi),max(xi))
graf_ani3.set_ylim(min(yj),max(yj))
graf_ani3.set_title(unmetodo)
graf_ani3.set_xlabel('x')
graf_ani3.set_ylabel('t')
graf_ani3.set_zlabel('U')
# graf_ani3.legend()
graf_ani3.grid()
graf_ani3.view_init(35, -45)

etiqueta_i ='itera: '+str(0)
etiqueta_err = 'errado['+str(0)+']: '+str(U_error[0]) 
txt_i = graf_ani3.text2D(0.05, 0.95, etiqueta_i,
                         transform=graf_ani3.transAxes)
txt_errado = graf_ani3.text2D(0.05, 0.90, etiqueta_err,
                              transform=graf_ani3.transAxes)

mallaEDP = None
# Nueva Trama
def unatrama(i,xi,yj,U_3D,U_error):

    etiqueta_i ='itera: '+str(i)
    txt_i.set_text(etiqueta_i)
    etiqueta_err = 'errado['+str(i)+']: '+str(U_error[i])
    txt_errado.set_text(etiqueta_err)
    global mallaEDP
    if mallaEDP:
        graf_ani3.collections.remove(mallaEDP)
    mallaEDP = graf_ani3.plot_wireframe(Xi,Yi,
                                        np.transpose(U_3D[i]),
                                        color ='blue')
    return (txt_i,txt_errado,)


# contador de tramas
k = 11 #len(U_3D)
i = np.arange(0,k,1)
ani = animation.FuncAnimation(fig_ani3D, unatrama,
                              i ,
                              fargs=(xi,yj,U_3D,U_error),
                              interval=retardo,
                              blit=False)
# Graba Archivo GIFAnimado y video
ani.save(narchivo+'_animado.gif', writer='pillow')
#ani.save(narchivo+'.mp4')
#plt.draw()
plt.show()

2023-10-082025-09-07

7.2.4EDP Elípticas - analítico implícito con Sympy-Python

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]
..

4. EDP Elípticas - Método Implícito con Sympy-Python

Desarrollo analítico del método implicito para una ecuación diferencial parcial elíptica usando Sympy. El algoritmo reutiliza el algoritmo para la EDP Elíptica de contínua a discreta, la creación de la matriz de valores u_xy, y la función
edp_sustituyeValorU() para buscar los valores conocidos de la u(x,y).

El algoritmo usa la ecuación discreta para en cada iteración i,j reemplazar los valores de U conocidos. Los valores de U se escriben en una matriz u_xy, para diferenciar si el valor existe se usa la matriz de estados u_mask.

Con las ecuaciones de cada iteración se llena la matriz A de coeficientes y el vector B de las constantes. Al resolver el sistema de ecuaciones se obtienen todos los valores de la matriz U, completando el ejercicio. Se desarrola la solución al sistema de ecuaciones usando Sympy como alternativa a usar numpy con np.linalg.solve(A.B) que se encuentra como comentario entre las instrucciones.

 discreta :
-4⋅U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

Método Implícito - EDP Elíptica
j: 1 ; i: 1 ; ecuacion: 0
U(0, 1) + U(1, 0) - 4⋅U(1, 1) + U(1, 2) + U(2, 1) = 0
-4⋅U(1, 1) + U(1, 2) + U(2, 1) = -110.0
j: 1 ; i: 2 ; ecuacion: 1
U(1, 1) + U(2, 0) - 4⋅U(2, 1) + U(2, 2) + U(3, 1) = 0
U(1, 1) - 4⋅U(2, 1) + U(2, 2) + U(3, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 3 ; ecuacion: 2
U(2, 1) + U(3, 0) - 4⋅U(3, 1) + U(3, 2) + U(4, 1) = 0
U(2, 1) - 4⋅U(3, 1) + U(3, 2) + U(4, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 4 ; ecuacion: 3
U(3, 1) + U(4, 0) - 4⋅U(4, 1) + U(4, 2) + U(5, 1) = 0
U(3, 1) - 4⋅U(4, 1) + U(4, 2) + U(5, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 5 ; ecuacion: 4
U(4, 1) + U(5, 0) - 4⋅U(5, 1) + U(5, 2) + U(6, 1) = 0
U(4, 1) - 4⋅U(5, 1) + U(5, 2) + U(6, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 6 ; ecuacion: 5
U(5, 1) + U(6, 0) - 4⋅U(6, 1) + U(6, 2) + U(7, 1) = 0
U(5, 1) - 4⋅U(6, 1) + U(6, 2) + U(7, 1) = -50.0
j: 1 ; i: 7 ; ecuacion: 6
U(6, 1) + U(7, 0) - 4⋅U(7, 1) + U(7, 2) + U(8, 1) = 0
U(6, 1) - 4⋅U(7, 1) + U(7, 2) = -75.0
j: 2 ; i: 1 ; ecuacion: 7
U(0, 2) + U(1, 1) - 4⋅U(1, 2) + U(1, 3) + U(2, 2) = 0
U(1, 1) - 4⋅U(1, 2) + U(1, 3) + U(2, 2) = -60.0
j: 2 ; i: 2 ; ecuacion: 8
U(1, 2) + U(2, 1) - 4⋅U(2, 2) + U(2, 3) + U(3, 2) = 0
j: 2 ; i: 3 ; ecuacion: 9
U(2, 2) + U(3, 1) - 4⋅U(3, 2) + U(3, 3) + U(4, 2) = 0
j: 2 ; i: 4 ; ecuacion: 10
U(3, 2) + U(4, 1) - 4⋅U(4, 2) + U(4, 3) + U(5, 2) = 0
j: 2 ; i: 5 ; ecuacion: 11
U(4, 2) + U(5, 1) - 4⋅U(5, 2) + U(5, 3) + U(6, 2) = 0
j: 2 ; i: 6 ; ecuacion: 12
U(5, 2) + U(6, 1) - 4⋅U(6, 2) + U(6, 3) + U(7, 2) = 0
j: 2 ; i: 7 ; ecuacion: 13
U(6, 2) + U(7, 1) - 4⋅U(7, 2) + U(7, 3) + U(8, 2) = 0
U(6, 2) + U(7, 1) - 4⋅U(7, 2) + U(7, 3) = -25.0
j: 3 ; i: 1 ; ecuacion: 14
U(0, 3) + U(1, 2) - 4⋅U(1, 3) + U(1, 4) + U(2, 3) = 0
U(1, 2) - 4⋅U(1, 3) + U(1, 4) + U(2, 3) = -60.0
j: 3 ; i: 2 ; ecuacion: 15
U(1, 3) + U(2, 2) - 4⋅U(2, 3) + U(2, 4) + U(3, 3) = 0
j: 3 ; i: 3 ; ecuacion: 16
U(2, 3) + U(3, 2) - 4⋅U(3, 3) + U(3, 4) + U(4, 3) = 0
j: 3 ; i: 4 ; ecuacion: 17
U(3, 3) + U(4, 2) - 4⋅U(4, 3) + U(4, 4) + U(5, 3) = 0
j: 3 ; i: 5 ; ecuacion: 18
U(4, 3) + U(5, 2) - 4⋅U(5, 3) + U(5, 4) + U(6, 3) = 0
j: 3 ; i: 6 ; ecuacion: 19
U(5, 3) + U(6, 2) - 4⋅U(6, 3) + U(6, 4) + U(7, 3) = 0
j: 3 ; i: 7 ; ecuacion: 20
U(6, 3) + U(7, 2) - 4⋅U(7, 3) + U(7, 4) + U(8, 3) = 0
U(6, 3) + U(7, 2) - 4⋅U(7, 3) + U(7, 4) = -25.0
j: 4 ; i: 1 ; ecuacion: 21
U(0, 4) + U(1, 3) - 4⋅U(1, 4) + U(1, 5) + U(2, 4) = 0
U(1, 3) - 4⋅U(1, 4) + U(1, 5) + U(2, 4) = -60.0
j: 4 ; i: 2 ; ecuacion: 22
U(1, 4) + U(2, 3) - 4⋅U(2, 4) + U(2, 5) + U(3, 4) = 0
j: 4 ; i: 3 ; ecuacion: 23
U(2, 4) + U(3, 3) - 4⋅U(3, 4) + U(3, 5) + U(4, 4) = 0
j: 4 ; i: 4 ; ecuacion: 24
U(3, 4) + U(4, 3) - 4⋅U(4, 4) + U(4, 5) + U(5, 4) = 0
j: 4 ; i: 5 ; ecuacion: 25
U(4, 4) + U(5, 3) - 4⋅U(5, 4) + U(5, 5) + U(6, 4) = 0
j: 4 ; i: 6 ; ecuacion: 26
U(5, 4) + U(6, 3) - 4⋅U(6, 4) + U(6, 5) + U(7, 4) = 0
j: 4 ; i: 7 ; ecuacion: 27
U(6, 4) + U(7, 3) - 4⋅U(7, 4) + U(7, 5) + U(8, 4) = 0
U(6, 4) + U(7, 3) - 4⋅U(7, 4) + U(7, 5) = -25.0
j: 5 ; i: 1 ; ecuacion: 28
U(0, 5) + U(1, 4) - 4⋅U(1, 5) + U(1, 6) + U(2, 5) = 0
U(1, 4) - 4⋅U(1, 5) + U(2, 5) = -130.0
j: 5 ; i: 2 ; ecuacion: 29
U(1, 5) + U(2, 4) - 4⋅U(2, 5) + U(2, 6) + U(3, 5) = 0
U(1, 5) + U(2, 4) - 4⋅U(2, 5) + U(3, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 3 ; ecuacion: 30
U(2, 5) + U(3, 4) - 4⋅U(3, 5) + U(3, 6) + U(4, 5) = 0
U(2, 5) + U(3, 4) - 4⋅U(3, 5) + U(4, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 4 ; ecuacion: 31
U(3, 5) + U(4, 4) - 4⋅U(4, 5) + U(4, 6) + U(5, 5) = 0
U(3, 5) + U(4, 4) - 4⋅U(4, 5) + U(5, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 5 ; ecuacion: 32
U(4, 5) + U(5, 4) - 4⋅U(5, 5) + U(5, 6) + U(6, 5) = 0
U(4, 5) + U(5, 4) - 4⋅U(5, 5) + U(6, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 6 ; ecuacion: 33
U(5, 5) + U(6, 4) - 4⋅U(6, 5) + U(6, 6) + U(7, 5) = 0
U(5, 5) + U(6, 4) - 4⋅U(6, 5) + U(7, 5) = -70.0
j: 5 ; i: 7 ; ecuacion: 34
U(6, 5) + U(7, 4) - 4⋅U(7, 5) + U(7, 6) + U(8, 5) = 0
U(6, 5) + U(7, 4) - 4⋅U(7, 5) = -95.0

 A : 
 [[-4.  1.  0. ...  0.  0.  0.]
 [ 1. -4.  1. ...  0.  0.  0.]
 [ 0.  1. -4. ...  0.  0.  0.]
 ...
 [ 0.  0.  0. ... -4.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0. ...  1. -4.  1.]
 [ 0.  0.  0. ...  0.  1. -4.]]

 B : 
 [-110.  -50.  -50.  -50.  -50.  -50.  -75.  -60.    0.    0.    0.    0.
    0.  -25.  -60.    0.    0.    0.    0.    0.  -25.  -60.    0.    0.
    0.    0.    0.  -25. -130.  -70.  -70.  -70.  -70.  -70.  -95.]
Resultados para U(x,y)
xi: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5  1.75 2.  ]
yj: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5 ]
 j, U[i,j]
6 [70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70. 70.]
5 [60.   64.02 64.97 64.71 63.62 61.44 57.16 47.96 25.  ]
4 [60.   61.1  61.14 60.25 58.35 54.98 49.23 39.67 25.  ]
3 [60.   59.23 58.25 56.81 54.53 50.89 45.13 36.48 25.  ]
2 [60.   57.56 55.82 54.19 52.09 48.92 43.91 36.14 25.  ]
1 [60.   55.21 53.27 52.05 50.73 48.78 45.46 39.15 25.  ]
0 [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]

Instrucciones en Python

Las instrucciones completas con Sympy-Python son:

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Elipticas
# EDP Elípticas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# u(x,y) funciones continuas y variables simbólicas usadas
x = sym.Symbol('x',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y) # funcion
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# U[i,j] funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True)
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

# centrada, centrada, atras
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior 

# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# muestreo en ejes, discreto, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx # supone dx=dy
iteramax = 100 # revisa convergencia
tolera = 0.0001

verdigitos = 2      # para mostrar en tabla de resultados
casicero = 1e-15    # para redondeo de términos en ecuacion

# PROCEDIMIENTO
def edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u):
    ''' EDP contínua a discreta, usa diferencias divididas
        proporcionadas en parámetros, indica las variables x,y
        con función u de (x,y)
    '''
    resultado={}
    # expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
    LHS = edp.lhs
    RHS = edp.rhs
    if not(edp.rhs==0):
        LHS = LHS-RHS
        RHS = 0
        edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    # orden de derivada por x, y
    edp_x = edp.subs(x,0)
    edp_y = edp.subs(y,0)
    ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
    ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
    resultado['ordenDx'] = ordenDx  # guarda en resultados
    resultado['ordenDy'] = ordenDy
    # coeficiente derivada orden mayor a 1 (d2u/dx2)
    coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
    if not(coeff_x==1):
        LHS = LHS/coeff_x
        RHS = RHS/coeff_x
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    K_ = edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
    if abs(K_)%1<casicero: # si es entero
        K_ = int(K_)
    resultado['edp=0']  = edp
    resultado['K_']  = K_
    
    discreta = edp.lhs  # EDP discreta
    for derivada in dif_dividida: # reemplaza diferencia dividida
        discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])
    resultado['discreta=0'] = discreta
    return (resultado)

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    edp es la ecuación como lhs=rhs
    '''
    coeff_x = 1.0 # valor inicial
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=False
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==True:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def redondea_coef(ecuacion, precision=6,casicero = 1e-15):
    ''' redondea coeficientes de términos suma de una ecuacion
    ecuación como lhs=rhs
    '''
    tipo = type(ecuacion)
    tipo_eq = False
    if tipo == sym.core.relational.Equality:
        RHS = ecuacion.rhs
        ecuacion = ecuacion.lhs
        tipo = type(ecuacion)
        tipo_eq = True

    if tipo == sym.core.add.Add: # términos suma de ecuacion
        term_sum = sym.Add.make_args(ecuacion)
        ecuacion = sym.S.Zero # vacia
        for term_k in term_sum:
            # factor multiplicativo de termino suma
            term_mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            producto = sym.S.One
            for factor in term_mul:
                if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                    factor = np.around(float(factor),precision)
                    if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                        factor = int(factor)
                producto = producto*factor
            ecuacion = ecuacion + producto
    
    if tipo == sym.core.mul.Mul: # termino único, busca factores
        term_mul = sym.Mul.make_args(ecuacion)
        producto = sym.S.One
        for factor in term_mul:
            if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                factor = np.around(float(factor),precision)
                if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                    factor = int(factor)
            producto = producto*factor
        ecuacion = producto
    
    if tipo == float: # # solo un numero
        if (abs(ecuacion)%1)<casicero: 
            ecuacion = int(ecuacion)
    if tipo_eq==True: # era igualdad, integra lhs=rhs
        ecuacion = sym.Eq(ecuacion,RHS)
    
    return(ecuacion)

def edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy):
    '''simplifica ecuacion con valores de lambda, dx y dy
    entregando la edp discreta simplificada
    '''
    discreta = resultado['discreta=0']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    K_ = resultado['K_']
    lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
    if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
    resultado['Lambda_L'] = lamb
    # valor de Lambda en ecuacion edp
    L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy)])
    if abs(L_k)%1<casicero: # si es entero
        L_k = int(L_k)
    resultado['Lambda L_k'] = L_k
    # simplifica con lambda L
    discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
    resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L
    discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
    discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
    discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
    discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
    resultado['discreta_L = 0'] = discreta_L
    # sustituye constantes en ecuación a iterar
    discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(L,L_k)])
    discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
    resultado['discreta'] = discreta_L
    return(resultado)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = 0 # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny=1
            ordenx=1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar=1
        if cambiar:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = discreta_L.subs(1.0,1)
    return(discreta_L)

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = 0 ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)

# PROCEDIMIENTO
# transforma edp continua a discreta
resultado = edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u)
resultado = edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy)
discreta = resultado['discreta']

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Elíptica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

# ITERAR para cada i,j dentro de U ------------
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(x0,xn+dx/2,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy/2,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[:,m-1] = fxd(xi)  # superior  Td
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda
u_mask[-1,:] = True # derecha
u_mask[:,0]  = True # inferior
u_mask[:,-1] = True # superior

# Método implícito para EDP Elíptica
# ITERAR para plantear las ecuaciones en [i,j]
resultado = {}
eq_itera = [] ; tamano = (n-2)*(m-2)
A = np.zeros(shape=(tamano,tamano),dtype=float)
B = np.zeros(tamano,dtype=float)
for j_k in range(1,m-1,1): # no usar valores en bordes
    for i_k in range(1,n-1,1): 
        eq_conteo = (j_k - 1)*(n-2)+(i_k-1)
        discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                     x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
        resultado[eq_conteo]= {'j':j_k, 'i':i_k,
                                 'discreta_ij': discreta_ij}
        # usa valores de frontera segun u_mask con True
        discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                        xi,yj,u_xy,u_mask)
        discreta_ij = discreta_k[0]
        A_diagonal  = discreta_k[1] # lista de (i,j,coeficiente) 
        B_diagonal  = discreta_k[2]
        resultado[eq_conteo]['discreta_k'] = discreta_k[0]
        # añade ecuacion a resolver
        eq_itera.append(discreta_ij)
        # Aplica coeficientes de ecuacion en A y B:
        # A_diagonal tiene lista de (i,j,coeficiente) 
        for uncoeff in A_diagonal:
            columna = (uncoeff[1]-1)*(n-2)+(uncoeff[0]-1)
            fila = (j_k - 1)*(n-2)+(i_k-1)
            A[fila,columna] = uncoeff[2]
        B[eq_conteo] = float(B_diagonal) # discreta_ij.rhs
resultado['A'] = np.copy(A)
resultado['B'] = np.copy(B)

# resuelve el sistema de ecuaciones en eq_itera en Sympy
X_k = sym.solve(eq_itera)[0]
# actualiza uxt[i,j] , u_mask segun X_k en Sympy
for nodo_Uij in X_k: 
    [i_k,j_k] = nodo_Uij.args
    u_xy[i_k,j_k] = X_k[nodo_Uij]
    u_mask[i_k,j_k] = True
# resuelve el sistema A.X=B en Numpy
#X = np.linalg.solve(A,B)
# tarea: llevar valores X a u_xy

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('\nMétodo Implícito - EDP Elíptica')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    elif (tipo==dict):
        print('j:',resultado[entrada]['j'],'; '
              'i:',resultado[entrada]['i'],'; '
              'ecuacion:',entrada)
        sym.pprint(resultado[entrada]['discreta_ij'])
        if resultado[entrada]['discreta_k'].rhs!=0:
            sym.pprint(resultado[entrada]['discreta_k'])
    else:
        print('\n',entrada,': \n',resultado[entrada])
print('Resultados para U(x,y)')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]

2023-10-072025-09-07

7.2.3 EDP Elípticas - analítico iterativo con Sympy-Python

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]
..

1. Ejercicio

Referencia: Chapra 29.1 p866, Rodríguez 10.3 p425, Burden 12.1 p694

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{ \partial y^2} = 0

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 25, Tc = 50, Td = 70
Longitud en x0 = 0, xn = 2, y0 = 0, yn = 1.5
Tamaño de paso dx = 0.25, dy = dx
iteramax=100, tolera = 0.0001

(ecuación de Laplace, Ecuación de Poisson con f(x,y)=0)

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]

2. EDP Elípticas contínua a discreta

El resultado de las operaciones en la expresión usando el algoritmo es:

EDP Elíptica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 2

 edp=0 :
  2              2             
 ∂              ∂              
───(u(x, y)) + ───(u(x, y)) = 0
  2              2             
∂x             ∂y              
 K_ : 1

 discreta=0 :
-2⋅U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1)   -2⋅U(i, j) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
────────────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
                   2                                        2                 
                 Dy                                       Dx                  
 Lambda_L :
  2
Dy 
───
  2
Dx 
 Lambda L_k : 1

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                                             2             2                 2
                                         2⋅Dy ⋅U(i, j)   Dy ⋅U(i - 1, j)   Dy ⋅ U(i + 1, j)
-2⋅U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) - ───────────── + ─────────────── + ───────────────
                                                2                2                 2   
                                              Dx               Dx                Dx  

 discreta_L = 0 :
L⋅U(i - 1, j) + L⋅U(i + 1, j) + (-2⋅L - 2)⋅U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) = 0

 discreta :
-4⋅U(i, j) + U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

discreta_iterativa
          U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
U(i, j) = ─────────────────────────────────────────────────────
                                    4

El desarrollo analítico inicia convirtiendo la ecuación diferencial parcial elíptica de la forma contínua a su representación discreta usando las expresiones de derivadas en diferencias divididas. El cambio de la expresión se realiza usando Sympy.

La EDP se escribe en formato Sympy en el bloque de ingreso. La ecuación EDP se compone del lado izquierdo (LHS) y lado derecho (RHS), indicando u como una función de las variables x,y.

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion: LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
EDP = sym.Eq(LHS-RHS,0)

las diferencias divididas se ingresan como un diccionario:

# centrada, centrada, atras
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

las condiciones iniciales en los bordes, pueden ser funciones matemáticas, por lo que se usa el formato lambda. En el ejercicio básico presentado en la parte teórica, los bordes tienen temperaturas constantes, por lo que en ésta sección se escriben las condiciones como la constante mas cero por la variable independiente, facilitando la evaluación de un vector xi por ejemplo.

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior, función inicial 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior, función inicial

los demás parámetros del ejercicio se ingresan más adelante de forma semejante al ejercicio con Numpy.

Todas las expresiones se escriben al lado izquierdo (LHS) de la igualdad, la parte del lado derecho(RHS) se la prefiere mantener en cero. La expresión se organiza manteniendo el coeficiente en 1 para el termino de Dx de mayor orden. Se sustituyen las derivadas por diferencias divididas, para luego simplificar la expresión usando λ como referencia.

Instrucciones en Python

Los resultados al aplicar una operación a la expresión se guardan en un diccionario, para revisar cada paso intermedio al final

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Elipticas
# EDP Elípticas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# u(x,y) funciones continuas y variables simbólicas usadas
x = sym.Symbol('x',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True)
u = sym.Function('u')(x,y) # funcion
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
# U[i,j] funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True) # indices
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion de Poisson
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) + sym.diff(u,y,2)
RHS = fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

# centrada, centrada, atras
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,2): (U.subs(j,j-1)-2*U+U.subs(j,j+1))/(Dy**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

# Condiciones iniciales en los bordes
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 25 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 50 +0*x  # inferior 
fxd = lambda x: 70 +0*x  # superior 

# dimensiones de la placa
x0 = 0    # longitud en x
xn = 2
y0 = 0    # longitud en y
yn = 1.5
# muestreo en ejes, discreto, supone dx=dy
dx = 0.25  # Tamaño de paso
dy = dx # supone dx=dy
iteramax = 100 # revisa convergencia
tolera = 0.0001

verdigitos = 2      # para mostrar en tabla de resultados
casicero = 1e-15    # para redondeo de términos en ecuacion

# PROCEDIMIENTO
def edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u):
    ''' EDP contínua a discreta, usa diferencias divididas
        proporcionadas en parámetros, indica las variables x,y
        con función u de (x,y)
    '''
    resultado={}
    # expresión todo a la izquierda LHS (Left Hand side)
    LHS = edp.lhs
    RHS = edp.rhs
    if not(edp.rhs==0):
        LHS = LHS-RHS
        RHS = 0
        edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    # orden de derivada por x, y
    edp_x = edp.subs(x,0)
    edp_y = edp.subs(y,0)
    ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
    ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
    resultado['ordenDx'] = ordenDx  # guarda en resultados
    resultado['ordenDy'] = ordenDy
    # coeficiente derivada orden mayor a 1 (d2u/dx2)
    coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
    if not(coeff_x==1):
        LHS = LHS/coeff_x
        RHS = RHS/coeff_x
    edp = sym.Eq(LHS,RHS)
    K_ = edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
    if abs(K_)%1<casicero: # si es entero
        K_ = int(K_)
    resultado['edp=0']  = edp
    resultado['K_']  = K_
    
    discreta = edp.lhs  # EDP discreta
    for derivada in dif_dividida: # reemplaza diferencia dividida
        discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])
    resultado['discreta=0'] = discreta
    return (resultado)

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx
    edp es la ecuación como lhs=rhs
    '''
    coeff_x = 1.0 # valor inicial
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar=False
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = 1
            if coeff_usar==True:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def redondea_coef(ecuacion, precision=6,casicero = 1e-15):
    ''' redondea coeficientes de términos suma de una ecuacion
    ecuación como lhs=rhs
    '''
    tipo = type(ecuacion)
    tipo_eq = False
    if tipo == sym.core.relational.Equality:
        RHS = ecuacion.rhs
        ecuacion = ecuacion.lhs
        tipo = type(ecuacion)
        tipo_eq = True

    if tipo == sym.core.add.Add: # términos suma de ecuacion
        term_sum = sym.Add.make_args(ecuacion)
        ecuacion = sym.S.Zero # vacia
        for term_k in term_sum:
            # factor multiplicativo de termino suma
            term_mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            producto = sym.S.One
            for factor in term_mul:
                if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                    factor = np.around(float(factor),precision)
                    if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                        factor = int(factor)
                producto = producto*factor
            ecuacion = ecuacion + producto
    
    if tipo == sym.core.mul.Mul: # termino único, busca factores
        term_mul = sym.Mul.make_args(ecuacion)
        producto = sym.S.One
        for factor in term_mul:
            if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                factor = np.around(float(factor),precision)
                if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                    factor = int(factor)
            producto = producto*factor
        ecuacion = producto
    
    if tipo == float: # # solo un numero
        if (abs(ecuacion)%1)<casicero: 
            ecuacion = int(ecuacion)
    if tipo_eq==True: # era igualdad, integra lhs=rhs
        ecuacion = sym.Eq(ecuacion,RHS)
    
    return(ecuacion)

def edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy):
    '''simplifica ecuacion con valores de lambda, dx y dy
    entregando la edp discreta simplificada
    '''
    discreta = resultado['discreta=0']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    K_ = resultado['K_']
    lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
    if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
    resultado['Lambda_L'] = lamb
    # valor de Lambda en ecuacion edp
    L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy)])
    if abs(L_k)%1<casicero: # si es entero
        L_k = int(L_k)
    resultado['Lambda L_k'] = L_k
    # simplifica con lambda L
    discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
    resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L
    discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
    discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
    discreta_L = sym.collect(discreta_L,U)
    discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
    resultado['discreta_L = 0'] = discreta_L
    # sustituye constantes en ecuación a iterar
    discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(L,L_k)])
    discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
    resultado['discreta'] = discreta_L
    return(resultado)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = False # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny=1
            ordenx=1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar=True
        if cambiar==True:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
    return(discreta_L)

# PROCEDIMIENTO -------------------------------
# transforma edp continua a discreta
resultado = edp_discreta(edp,dif_dividida,x,y,u)
resultado = edp_simplificaLamba(resultado,dx,dy)
discreta = resultado['discreta']

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Elíptica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]
..

3. EDP Elípticas - Método iterativo con Sympy-Python

El desarrollo del método iterativo para una ecuación diferencial parcial elíptica usando Sympy, sigue a continuación del anterior.

Se añaden las instrucciones para iterar la expresión discreta para cada i,j dentro de la matriz U creada para el ejercicio. Se aplican las condiciones iniciales a los bordes, para luego proceder a iterar.

Como en las actividades del curso se requiere realizar al menos 3 iteraciones para las expresiones del algoritmo con papel y lápiz, solo se presentarán los resultados para la primera fila en j=0

Los resultados del algoritmo luego del resultado del algoritmo anterior se presentan como:

discreta_iterativa
          U(i, j - 1) + U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j)
U(i, j) = ─────────────────────────────────────────────────────
                                    4                          

 iterar i,j:
j:  1  ;  i:  1
          U(0, 1)   U(1, 0)   U(1, 2)   U(2, 1)
U(1, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(1, 1) = 53.125
j:  1  ;  i:  2
          U(1, 1)   U(2, 0)   U(2, 2)   U(3, 1)
U(2, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(2, 1) = 51.40625
j:  1  ;  i:  3
          U(2, 1)   U(3, 0)   U(3, 2)   U(4, 1)
U(3, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(3, 1) = 50.9765625
j:  1  ;  i:  4
          U(3, 1)   U(4, 0)   U(4, 2)   U(5, 1)
U(4, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(4, 1) = 50.869140625
j:  1  ;  i:  5
          U(4, 1)   U(5, 0)   U(5, 2)   U(6, 1)
U(5, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(5, 1) = 50.84228515625
j:  1  ;  i:  6
          U(5, 1)   U(6, 0)   U(6, 2)   U(7, 1)
U(6, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(6, 1) = 50.8355712890625
j:  1  ;  i:  7
          U(6, 1)   U(7, 0)   U(7, 2)   U(8, 1)
U(7, 1) = ─────── + ─────── + ─────── + ───────
             4         4         4         4   
U(7, 1) = 44.271392822265625

Método iterativo EDP Elíptica
continuar el desarrollo con: 
xi: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5  1.75 2.  ]
yj: [0.   0.25 0.5  0.75 1.   1.25 1.5 ]
 j, U[i,j]
2 [60.   51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 51.25 25.  ]
1 [60.   53.12 51.41 50.98 50.87 50.84 50.84 44.27 25.  ]
0 [50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.]

Se pueden sustituir los valores de las expresiones, evaluando cada u[i,j] y completando la matriz y para la gráfica. Esta parte queda como tarea.

Instrucciones en Python

Las instrucciones adicionales al algoritmo de EDP elíptica contínua a discreta empiezan con la creación de la matriz u_xy para los valores, los vectores xi,yj y una matriz u_mask que indica si se dispone de un valor calculado o conocido en ese punto (x,y) . Para el método iterativo, la matriz se rellena con el promedio de los valores máximos de las funciones dadas para los bordes de la placa.

Tarea: El algoritmo desarrolla el cálculo para j_k=1, solo la primera fila. Se deja como tarea desarrollar para toda la matriz.

# ITERAR para cada i,j dentro de U ------------
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(x0,xn+dx/2,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy/2,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)

# Matriz U 
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[:,m-1] = fxd(xi)  # superior  Td
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda
u_mask[-1,:] = True # derecha
u_mask[:,0]  = True # inferior
u_mask[:,-1] = True # superior

# valor inicial de iteración dentro de u
# promedio = (Ta+Tb+Tc+Td)/4
promedio = (np.max(fya(yj))+np.max(fyb(yj))+\
            np.max(fxc(xi))+np.max(fxd(xi)))/4
u_xy[1:n-1,1:m-1]   = promedio
u_mask[1:n-1,1:m-1] = True
u0 = np.copy(u_xy) # copia para revisión

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = False ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar==True:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)

# Método iterativo para EDP Elíptica
# separa término U[j,j] del centro,con valor no conocido
buscar = U.subs(j,j)
discreta = sym.solve(discreta,buscar)
discreta = sym.factor_terms(discreta[0])
discreta = sym.Eq(buscar,discreta)
resultado['discreta_iterativa'] = discreta

print('\ndiscreta_iterativa')
sym.pprint(discreta)

# Desarrollo de iteraciones en cada nodo i,j, para la fila j_k
# genera el valor en cada punto
# Nota: Solo la primera fila, Tarea desarrollar para la matriz
print('\n iterar i,j:')
j_k = 1
for i_k in range(1,n-1,1):
    print('j: ',j_k,' ; ','i: ',i_k)
    discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                 x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
    sym.pprint(discreta_ij)
    RHS = discreta_ij.rhs
    discreta_ij = sym.Eq(RHS,0)
    # usa valores de frontera segun u_mask con True
    discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                    xi,yj,u_xy,u_mask)
    u_xy[i_k,j_k] = sym.Float(-discreta_k[2])
    print(buscar.subs({i:i_k,j:j_k}),
          '=',u_xy[i_k,j_k])
    
# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('\nMétodo iterativo EDP Elíptica')
print('continuar el desarrollo con: ')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(2,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]
..

Grafica en 3D para EDP Elípticas

A partir de la solución en matriz U_xy, Xi, Yi

# GRAFICA en 3D ------
import matplotlib.pyplot as plt
# Malla para cada eje X,Y
Xi, Yi = np.meshgrid(xi, yj)
U_xy = np.transpose(u_xy) # ajuste de índices fila es x

fig_3D = plt.figure()
graf_3D = fig_3D.add_subplot(111, projection='3d')
graf_3D.plot_wireframe(Xi,Yi,U_xy,
                       color ='blue')
graf_3D.plot(Xi[1,0],Yi[1,0],U_xy[1,0],'o',color ='orange')
graf_3D.plot(Xi[1,1],Yi[1,1],U_xy[1,1],'o',color ='red',
             label='U[i,j]')
graf_3D.plot(Xi[1,2],Yi[1,2],U_xy[1,2],'o',color ='salmon')
graf_3D.plot(Xi[0,1],Yi[0,1],U_xy[0,1],'o',color ='green')
graf_3D.plot(Xi[2,1],Yi[2,1],U_xy[2,1],'o',color ='salmon')
graf_3D.set_title('EDP elíptica')
graf_3D.set_xlabel('x')
graf_3D.set_ylabel('y')
graf_3D.set_zlabel('U')
graf_3D.legend()
graf_3D.view_init(35, -45)
plt.show()

EDP Elípticas [ contínua a discreta ] || Sympy [ iterativo ] [ implícito ] [ gráfica_3D ]

2023-10-062025-09-07

7.1.4 EDP Parabólica - analítico implícito con Sympy-Python

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || sympy: [ explícito ] [ implícito ]
..

4. EDP Parabólica - Método implícito con Sympy

Para el ejercicio presentado en el numeral 1, se desarrolla el método implícito.

Las diferencias finitas centradas y hacia atrás se definen en el diccionario dif_dividida.

Para desarrollar la expresión discreta, se incorpora la función edp_sustituye_L(), que busca el en cada término de la suma los componentes de λ y los sustituye por la variable L.

Para cada valor de j, se crean las ecuaciones desde la forma discreta de la EDP, moviendo a la derecha los valores conocidos para generar un sistema de ecuaciones A.X=B. Se resuelve el sistema de ecuaciones y se actualiza la matriz u[i,j] de resultados.

Por la extensión de los pasos a mostrar, para las iteraciones en cada fila, solo se presentan para la primera fila. En caso de requerir observar más filas, puede cambiar el parámetro en el bloque de salida, en el condicional:

    elif (tipo==dict):
        if entrada<2

Los resultados para el algoritmo son:

EDP Parabólica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 1

 edp=0 :
  2                             
 ∂               ∂              
───(u(x, y)) - 4⋅──(u(x, y)) = 0
  2              ∂y             
∂x                              
 K_ : 4

 Lambda_L :
  Dy 
─────
    2
4⋅Dx 
 Lambda L_k : 0.250000000000000

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                             2⋅Dy⋅U(i, j)   Dy⋅U(i - 1, j)   Dy⋅U(i + 1, j)
-4⋅U(i, j) + 4⋅U(i, j - 1) - ──────────── + ────────────── + ──────────────
                                   2               2                2      
                                 Dx              Dx               Dx       

 discreta_L=0 :
4⋅L⋅U(i - 1, j) + 4⋅L⋅U(i + 1, j) + (-8⋅L - 4)⋅U(i, j) + 4⋅U(i, j - 1) = 0

 discreta :
-6⋅U(i, j) + 4⋅U(i, j - 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

Método implícito EDP Parabólica
j: 1 ; i: 1
U(0, 1) + 4⋅U(1, 0) - 6⋅U(1, 1) + U(2, 1) = 0
-6⋅U(1, 1) + U(2, 1) = -160.0
j: 1 ; i: 2
U(1, 1) + 4⋅U(2, 0) - 6⋅U(2, 1) + U(3, 1) = 0
U(1, 1) - 6⋅U(2, 1) + U(3, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 3
U(2, 1) + 4⋅U(3, 0) - 6⋅U(3, 1) + U(4, 1) = 0
U(2, 1) - 6⋅U(3, 1) + U(4, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 4
U(3, 1) + 4⋅U(4, 0) - 6⋅U(4, 1) + U(5, 1) = 0
U(3, 1) - 6⋅U(4, 1) + U(5, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 5
U(4, 1) + 4⋅U(5, 0) - 6⋅U(5, 1) + U(6, 1) = 0
U(4, 1) - 6⋅U(5, 1) + U(6, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 6
U(5, 1) + 4⋅U(6, 0) - 6⋅U(6, 1) + U(7, 1) = 0
U(5, 1) - 6⋅U(6, 1) + U(7, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 7
U(6, 1) + 4⋅U(7, 0) - 6⋅U(7, 1) + U(8, 1) = 0
U(6, 1) - 6⋅U(7, 1) + U(8, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 8
U(7, 1) + 4⋅U(8, 0) - 6⋅U(8, 1) + U(9, 1) = 0
U(7, 1) - 6⋅U(8, 1) + U(9, 1) = -100.0
j: 1 ; i: 9
U(8, 1) + 4⋅U(9, 0) - 6⋅U(9, 1) + U(10, 1) = 0
U(8, 1) - 6⋅U(9, 1) = -140.0
A :
[[-6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.  1.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  1. -6.]]
B :
[-160. -100. -100. -100. -100. -100. -100. -100. -140.]
X :
[31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57]
Resultados para U(x,y)
xi: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
yj: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04]
 j, U[i,j]
4 [60.   40.67 30.61 26.75 25.51 25.18 25.24 25.76 27.41 31.71 40.  ]
3 [60.   38.34 29.06 26.09 25.28 25.09 25.13 25.47 26.74 30.72 40.  ]
2 [60.   35.25 27.49 25.55 25.12 25.03 25.05 25.24 26.07 29.39 40.  ]
1 [60.   31.01 26.03 25.18 25.03 25.01 25.01 25.08 25.44 27.57 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]

Instrucciones en Python

Para el método implícito se añade la sección donde se reemplazan los valores en los bordes y en la barra en la matriz U(x,y) en el algoritmo identificada como u_xy . Para diferenciar si el valor existe se usa la matriz de estados u_mask con estados True/False.

También se incorpora la función edp_sustituyeValorU() que para cada término suma de la ecuación busca en la matriz u_xy si el valor U(i,j) existe y lo cambia. Luego pasa el valor al lado derecho de la ecuación par formar el sistema de ecuaciones.

Con los valores existentes antes de la iteración, se obtienen las ecuaciones por cada punto i,j de una fila para el sistema de ecuaciones en la forma A.x=B. El sistema se resuelve con las instrucciones de Numpy. El resultado se actualiza en la matriz u_xy y la matriz u_mask para indicar que el valor ya está disponible.

Compare los resultados con el método numérico y mida los tiempos de ejecución de cada algoritmo para escribir sus observaciones.

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas
# EDP Parabólicas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# u(x,y) funciones continuas y variables simbólicas usadas
t = sym.Symbol('t',real=True) # independiente
x = sym.Symbol('x',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True) 
u = sym.Function('u')(x,y) # funcion
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
K = sym.Symbol('K',real=True)
# U[i,j] funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True) # indices
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dt = sym.Symbol('Dt',real=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

# centrada, atras
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U - U.subs(j,j-1))/Dy}

buscar = U.subs(j,j+1) # U[i,j+1] método explícito

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

# [a,b] dimensiones de la barra
a = 0  # longitud en x
b = 1
y0 = 0 # tiempo inicial, aumenta con dt en n iteraciones

# muestreo en ejes, discreto
x_tramos = 10
dx  = (b-a)/x_tramos
dy  = dx/10
n_iteraciones = 4 # iteraciones en tiempo

verdigitos = 2      # para mostrar en tabla de resultados
casicero = 1e-15    # para redondeo de términos en ecuacion

# PROCEDIMIENTO

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx,
    edp es la ecuación como lhs=rhs
    '''
    coeff_x = 1.0 # valor inicial
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar = False
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = True
            if coeff_usar==True:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def redondea_coef(ecuacion, precision=6,casicero = 1e-15):
    ''' redondea coeficientes de términos suma de una ecuacion
    ecuación como lhs=rhs
    '''
    tipo = type(ecuacion)
    tipo_eq = False
    if tipo == sym.core.relational.Equality:
        RHS = ecuacion.rhs  # separa lado derecho
        ecuacion = ecuacion.lhs # analiza lado izquierdo
        tipo = type(ecuacion)
        tipo_eq = True

    if tipo == sym.core.add.Add: # términos suma de ecuacion
        term_sum = sym.Add.make_args(ecuacion)
        ecuacion = sym.S.Zero  # vacia
        for term_k in term_sum:
            # factor multiplicativo de termino suma
            term_mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            producto = sym.S.One
            for factor in term_mul:
                if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                    factor = np.around(float(factor),precision)
                    if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                        factor = int(factor)
                producto = producto*factor
            ecuacion = ecuacion + producto
            
    if tipo == sym.core.mul.Mul: # termino único, busca factores
        term_mul = sym.Mul.make_args(ecuacion)
        producto = sym.S.One
        for factor in term_mul:
            if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                factor = np.around(float(factor),precision)
                if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                    factor = int(factor)
            producto = producto*factor
        ecuacion = producto
        
    if tipo == float: # solo un numero
        if (abs(ecuacion)%1)<casicero: 
            ecuacion = int(ecuacion)
            
    if tipo_eq==True: # era igualdad, integra lhs=rhs
        ecuacion = sym.Eq(ecuacion,RHS)

    return(ecuacion)

def edp_sustituye_L(resultado):
    ''' sustituye lambda con Dy**ordeny/Dx**x/K_
    por L, al simplificar Lambda
    '''
    discreta = resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny']
    ordenDy = resultado['ordenDy']
    ordenDx = resultado['ordenDx']
    discreta_L = 0
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(discreta)
    for term_k in term_suma:
        # busca partes de L y cambia por valor L
        cambiar = False # por orden de derivada
        if term_k.has(Dx) and term_k.has(Dy):
            partes = term_k.args
            ordeny = 1
            ordenx = 1
            for unaparte in partes:    
                if unaparte.has(Dy):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordeny = partey[1]
                if unaparte.has(Dx):
                    if unaparte.is_Pow:
                        partey = unaparte.args
                        ordenx = partey[1]
            if (ordeny<=ordenDy and ordenx<=-ordenDx):
                cambiar = True
        if cambiar==True:
            term_k = term_k*L/resultado['Lambda_L']
        discreta_L = discreta_L + term_k
        # simplifica unos con decimal a entero 
        discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
    return(discreta_L)


resultado = {} # resultados en diccionario
# orden de derivada por x, y
edp_x = edp.subs(x,0)
edp_y = edp.subs(y,0)
ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
resultado['ordenDx'] = ordenDx  # guarda en resultados
resultado['ordenDy'] = ordenDy
# coeficiente derivada orden mayor a 1 (d2u/dx2)
coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
LHS = edp.lhs  # lado izquierdo de edp
RHS = edp.rhs  # lado derecho de edp
if not(coeff_x==1):
    LHS = LHS/coeff_x
    RHS = RHS/coeff_x
# toda la expresión a la izquierda
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)
K_ = -edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
if abs(K_)%1<casicero: # si es entero
    K_ = int(K_)
resultado['edp=0']  = edp
resultado['K_']  = K_

# lambda en ecuacion edp
lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
resultado['Lambda_L'] = lamb
# valor de Lambda en ecuacion edp
L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy)])
if abs(L_k)%1<casicero: # si es entero
    L_k = int(L_k)
resultado['Lambda L_k'] = L_k

discreta = edp.lhs # EDP discreta
for derivada in dif_dividida:
    discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])

# simplifica con Lambda L
discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L

discreta_L = edp_sustituye_L(resultado)
discreta_L = sym.collect(discreta_L,U) # agrupa u[,]
discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
resultado['discreta_L=0'] = discreta_L
        
# sustituye constantes en ecuación a iterar
discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(L,L_k)])
discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
resultado['discreta'] = discreta_L

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Parabólica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

# Método implícito EDP Parabólica ------------
# ITERAR para cada i,j dentro de U 
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(a,b+dx/2,dx)
yj = np.arange(y0,n_iteraciones*dy+dy/2,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)
# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# u_mask[i,j] con valores iniciales o calculados:True
u_mask = np.zeros(shape=(n,m),dtype=bool)
u_mask[0,:]  = True # izquierda Ta
u_mask[-1,:] = True # derecha   Tb
u_mask[:,0]  = True # inferior  Tc

# Método implícito para EDP Parabólica
# a usar en iteraciones
discreta = resultado['discreta']

def edp_sustituyeValorU(discreta,xi,yj,u_xy,u_mask):
    '''Sustituye en edp discreta los valores conocidos de U[i,j]
    tomados desde u_xy, marcados con u_mask
    u_mask indica si el valor se ha calculado con edp.
    '''
    LHS = discreta.lhs # lado izquierdo de ecuacion
    RHS = discreta.rhs # lado derecho
    # sustituye U[i,j] con valores conocidos
    A_diagonal = [] # lista de i,j para matriz de coeficientes A
    # Separa términos suma
    term_suma = sym.Add.make_args(LHS)
    for term_k in term_suma:
        # busca U[i,j] y cambia por valor uxt[i,j]
        cambiar = False ; cambiar_valor = 0 ; cambiar_factor = 0
        # separa cada factor de término
        factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_Mul:
            # busca U[i,j] en matriz uxt[i,j]
            if factor_k.is_Function:
                [i_k,j_k] = factor_k.args
                if not(np.isnan(u_xy[i_k,j_k])):
                    cambiar = u_mask[i_k,j_k]
                    cambiar_factor = factor_k
                    cambiar_valor = u_xy[i_k,j_k]
                else:
                    A_diagonal.append([i_k,j_k,term_k/factor_k])
        # encontró valor U[i,j],term_k va a la derecha de ecuación
        if cambiar == True:
            LHS = LHS - term_k
            term_ki = term_k.subs(cambiar_factor,cambiar_valor)
            RHS = RHS - term_ki
    discreta = sym.Eq(LHS,RHS)
    B_diagonal = RHS
    resultado = [discreta,A_diagonal,B_diagonal]
    return (resultado)

# ITERAR para plantear las ecuaciones en [i,j]
resultado = {} # resultados en diccionario
eq_itera = [] ; tamano = (n-2)
A = np.zeros(shape=(tamano,tamano),dtype=float)
B = np.zeros(tamano,dtype=float)
for j_k in range(1,m,1): # no usar valores en bordes
    resultado[j_k] ={}
    for i_k in range(1,n-1,1): 
        eq_conteo = i_k-1
        discreta_ij = discreta.subs({i:i_k,j:j_k,
                                     x:xi[i_k],y:yj[j_k]})
        resultado[j_k][eq_conteo]= {'j':j_k, 'i':i_k,
                                 'discreta_ij': discreta_ij}
        # usa valores de frontera segun u_mask con True
        discreta_k = edp_sustituyeValorU(discreta_ij,
                                        xi,yj,u_xy,u_mask)
        discreta_ij = discreta_k[0]
        A_diagonal  = discreta_k[1] # lista de (i,j,coeficiente) 
        B_diagonal  = discreta_k[2] # constante para B
        resultado[j_k][eq_conteo]['discreta_k'] = discreta_k[0]
        # añade ecuacion a resolver
        eq_itera.append(discreta_ij)
        # Aplica coeficientes de ecuacion en A y B:
        # A_diagonal tiene lista de (i,j,coeficiente) 
        for uncoeff in A_diagonal:
            columna = uncoeff[0]-1
            fila = eq_conteo
            A[fila,columna] = uncoeff[2]
        B[eq_conteo] = float(B_diagonal) # discreta_ij.rhs
    # resuelve el sistema A.X=B en Numpy
    X_k = np.linalg.solve(A,B)
    # actualiza uxt[i,j] , u_mask segun X_k
    u_xy[1:n-1,j_k] = X_k
    u_mask[1:n-1,j_k] = True
    # almacena resultados
    resultado[j_k]['A'] = np.copy(A)
    resultado[j_k]['B'] = np.copy(B)
    resultado[j_k]['X'] = np.copy(X_k)

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('\nMétodo implícito EDP Parabólica')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    elif (tipo==dict):
        if entrada<2:
            eq_conteo = resultado[entrada].keys()
            for una_eq in eq_conteo:
                if una_eq=='A' or una_eq=='B' or una_eq=='X':
                    print(una_eq,':')
                    print(resultado[entrada][una_eq])
                else:
                    print('j:',resultado[entrada][una_eq]['j'],'; '
                          'i:',resultado[entrada][una_eq]['i'])
                    sym.pprint(resultado[entrada][una_eq]['discreta_ij'])
                    sym.pprint(resultado[entrada][una_eq]['discreta_k'])
    else:
        print('\n',entrada,': \n',resultado[entrada])
print('Resultados para U(x,y)')
print('xi:',xi)
print('yj:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || sympy: [ explícito ] [ implícito ]

2023-10-052025-09-07

7.1.3 EDP Parabólica - analítico explícito con Sympy-Python

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || sympy: [ explícito ] [ implícito ]
..

1. Ejercicio

Referencia: Chapra 30.2 p888 pdf912, Burden 9Ed 12.2 p725, Rodríguez 10.2 p406

\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = K\frac{\partial u}{\partial t}

Valores de frontera: Ta = 60, Tb = 40, T0 = 25
Longitud en x a = 0, b = 1, Constante K= 4
Tamaño de paso dx = 0.1, dt = dx/10

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || [ sympy_explícito ] [sympy_ implícito ]
..

2. EDP Parabólica contínua a discreta

El resultado del algoritmo para el ejercicio propuesto es:

EDP Parabólica contínua a discreta
 ordenDx : 2
 ordenDy : 1

 edp=0 :
  2                             
 ∂               ∂              
───(u(x, y)) - 4⋅──(u(x, y)) = 0
  2              ∂y             
∂x                              
 K_ : 4

 Lambda_L :
  Dy 
─────
    2
4⋅Dx 
 Lambda L_k : 0.250000000000000

 (discreta=0)*Dy**ordeny :
                            2⋅Dy⋅U(i, j)   Dy⋅U(i - 1, j)   Dy⋅U(i + 1, j)
4⋅U(i, j) - 4⋅U(i, j + 1) - ──────────── + ────────────── + ──────────────
                                  2               2                2      
                                Dx              Dx               Dx       

 discreta_L=0 :
⎛    2⋅Dy⎞                           Dy⋅U(i - 1, j)   Dy⋅U(i + 1, j)    
⎜4 - ────⎟⋅U(i, j) - 4⋅U(i, j + 1) + ────────────── + ────────────── = 0
⎜      2 ⎟                                  2                2          
⎝    Dx  ⎠                                Dx               Dx           

 discreta :
2⋅U(i, j) - 4⋅U(i, j + 1) + U(i - 1, j) + U(i + 1, j) = 0

El desarrollo analítico comienza en escribir la ecuación diferencial parcial parabólica de la forma contínua a la representación discreta, siguiendo los criterios indicados en la parte teórica usando derivadas expresadas en diferencias divididas.

La EDP se escribe en formato Sympy en el bloque de ingreso en dos partes: lado izquierdo (LHS) de la ecuación y lado derecho (RHS), definiendo u como una función de variables x,y.

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

La ecuación f(x,y) se añade para ser usada con otros ejercicios que puede revisar en la sección de Evaluaciones.

Las expresiones para diferencias divididas seleccionadas se ingresan como un diccionario:

# centrada, adelante 
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U.subs(j,j+1)-U)/Dy}

Las condiciones iniciales en los extremos a y b, y la temperatura en la barra, pueden ser funciones matemáticas, por lo que se propone usar el formato lambda de las variables x o y. En el ejercicio básico presentado en la parte teórica, la barra tiene temperatura constante, por lo que escribe como una constante mas cero por la variable independiente, esta forma facilita la evaluación de un vector xi por ejemplo, en caso de disponer una expresión diferente.

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

los demás parámetros del ejercicio se ingresan más adelante de forma semejante al ejercicio con Numpy.

Al desarrollar el método explícito se requiere indicar el nodo u(i,j+1) a buscar

buscar = U.subs(j,j+1) # U[i,j+1] método explícito

El valor de K se puede determinar en la expresión al reordenar para que el término de Dx de mayor grado sea la unidad. El valor de K será el del término Dy con signo negativo, al encontrarse en el lado izquierdo (LHS) de la expresión, en la propuesta teórica se encontraba como positivo del lado derecho.

El término de mayor grado se puede obtener al revisar la expresión por cada término de la suma, buscando el factor que contiene Dx o Dy en cada caso. Por ser un poco ordenado se añade la función edp_coef_Dx().

Instrucciones en Python

Para revisar los resultados de algunos pasos para obtener la expresión discreta de EDP, se usa un diccionario a ser usado en el bloque de salida. Para las expresiones de ecuación se usa sym.pprint().

# Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas
# EDP Parabólicas contínua a discreta con Sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# u(x,y) funciones continuas y variables simbólicas usadas
t = sym.Symbol('t',real=True) # independiente
x = sym.Symbol('x',real=True)
y = sym.Symbol('y',real=True) 
u = sym.Function('u')(x,y) # funcion 
f = sym.Function('f')(x,y) # funcion complemento
K = sym.Symbol('K',real=True)
# U[i,j] funciones discretas y variables simbólicas usadas
i  = sym.Symbol('i',integer=True,positive=True) # indices
j  = sym.Symbol('j',integer=True,positive=True)
Dt = sym.Symbol('Dt',real=True,positive=True)
Dx = sym.Symbol('Dx',real=True,positive=True)
Dy = sym.Symbol('Dy',real=True,positive=True)
L  = sym.Symbol('L',real=True)
U  = sym.Function('U')(i,j)

# INGRESO
fxy = 0*x+0*y  # f(x,y) = 0 , ecuacion complementaria
# ecuacion edp : LHS=RHS
LHS = sym.diff(u,x,2) 
RHS = 4*sym.diff(u,y,1) + fxy
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0)

# centrada, adelante 
dif_dividida ={sym.diff(u,x,2): (U.subs(i,i-1)-2*U+U.subs(i,i+1))/(Dx**2),
               sym.diff(u,y,1): (U.subs(j,j+1)-U)/Dy}

buscar = U.subs(j,j+1) # U[i,j+1] método explícito

# Valores de frontera
fya = lambda y: 60 +0*y  # izquierda
fyb = lambda y: 40 +0*y  # derecha
fxc = lambda x: 25 +0*x  # inferior, función inicial

# [a,b] dimensiones de la barra
a = 0  # longitud en x
b = 1
y0 = 0 # tiempo inicial, aumenta con dt en n iteraciones

# muestreo en ejes, discreto
x_tramos = 10
dx  = (b-a)/x_tramos
dy  = dx/10
n_iteraciones = 4 # iteraciones en tiempo

verdigitos = 2      # para mostrar en tabla de resultados
casicero = 1e-15    # para redondeo de términos en ecuacion

# PROCEDIMIENTO --------------------------------------

def edp_coef_Dx(edp,x,ordenx):
    ''' Extrae el coeficiente de la derivada Dx de ordenx,
    edp es la ecuación como lhs=rhs
    '''
    coeff_x = 1.0 # valor inicial
    # separa cada término de suma
    term_suma = sym.Add.make_args(edp.lhs)
    for term_k in term_suma:
        if term_k.is_Mul: # mas de un factor
            factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            coeff_temp = 1; coeff_usar = False
            # separa cada factor de término 
            for factor_k in factor_Mul:
                if not(factor_k.is_Derivative):
                    coeff_temp = coeff_temp*factor_k
                else: # factor con derivada de ordenx
                    partes = factor_k.args
                    if partes[1]==(x,ordenx):
                        coeff_usar = True
            if coeff_usar==True:
                coeff_x = coeff_x*coeff_temp
    return(coeff_x)

def redondea_coef(ecuacion, precision=6,casicero = 1e-15):
    ''' redondea coeficientes de términos suma de una ecuacion
    ecuación como lhs=rhs
    '''
    tipo = type(ecuacion)
    tipo_eq = False
    if tipo == sym.core.relational.Equality:
        RHS = ecuacion.rhs  # separa lado derecho
        ecuacion = ecuacion.lhs # analiza lado izquierdo
        tipo = type(ecuacion)
        tipo_eq = True

    if tipo == sym.core.add.Add: # términos suma de ecuacion
        term_sum = sym.Add.make_args(ecuacion)
        ecuacion = sym.S.Zero  # vacia
        for term_k in term_sum:
            # factor multiplicativo de termino suma
            term_mul = sym.Mul.make_args(term_k)
            producto = sym.S.One
            for factor in term_mul:
                if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                    factor = np.around(float(factor),precision)
                    if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                        factor = int(factor)
                producto = producto*factor
            ecuacion = ecuacion + producto
            
    if tipo == sym.core.mul.Mul: # termino único, busca factores
        term_mul = sym.Mul.make_args(ecuacion)
        producto = sym.S.One
        for factor in term_mul:
            if not(factor.has(sym.Symbol)): # es numerico
                factor = np.around(float(factor),precision)
                if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero
                    factor = int(factor)
            producto = producto*factor
        ecuacion = producto
        
    if tipo == float: # solo un numero
        if (abs(ecuacion)%1)<casicero: 
            ecuacion = int(ecuacion)
            
    if tipo_eq==True: # era igualdad, integra lhs=rhs
        ecuacion = sym.Eq(ecuacion,RHS)

    return(ecuacion)


resultado = {} # resultados en diccionario
# orden de derivada por x, y
edp_x = edp.subs(x,0)
edp_y = edp.subs(y,0)
ordenDx = sym.ode_order(edp_x,u)
ordenDy = sym.ode_order(edp_y,u)
resultado['ordenDx'] = ordenDx  # guarda en resultados
resultado['ordenDy'] = ordenDy
# coeficiente derivada orden mayor a 1 (d2u/dx2)
coeff_x = edp_coef_Dx(edp,x,ordenDx)
LHS = edp.lhs  # lado izquierdo de edp
RHS = edp.rhs  # lado derecho de edp
if not(coeff_x==1):
    LHS = LHS/coeff_x
    RHS = RHS/coeff_x
# toda la expresión a la izquierda
edp = sym.Eq(LHS-RHS,0) 
K_ = -edp_coef_Dx(edp,y,ordenDy)
if abs(K_)%1<casicero: # si es entero
    K_ = int(K_)
resultado['edp=0']  = edp
resultado['K_']  = K_

# lambda en ecuacion edp
lamb = (Dy**ordenDy)/(Dx**ordenDx)
if ordenDy==1 and ordenDx==2:
        lamb = lamb/K_
resultado['Lambda_L'] = lamb
# valor de Lambda en ecuacion edp
L_k = lamb.subs([(Dx,dx),(Dy,dy)])
if abs(L_k)%1<casicero:
    L_k = int(L_k)
resultado['Lambda L_k'] = L_k

discreta = edp.lhs # EDP discreta
for derivada in dif_dividida: # reemplaza diferencia dividida
    discreta = discreta.subs(derivada,dif_dividida[derivada])

# simplifica con Lambda_L
discreta_L = sym.expand(discreta*(Dy**ordenDy),mul=True)
resultado['(discreta=0)*Dy**ordeny'] = discreta_L

discreta_L = discreta_L.subs(lamb,L)
discreta_L = sym.collect(discreta_L,U) #agrupa u[,]
discreta_L = sym.Eq(discreta_L,0)
resultado['discreta_L=0'] = discreta_L
        
# sustituye constantes en ecuación a iterar
discreta_L = discreta_L.subs([(Dx,dx),(Dy,dy),(L,L_k)])
discreta_L = redondea_coef(discreta_L)
resultado['discreta'] = discreta_L

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
algun_numero = [int,float,str,'Lambda L_k']
print('EDP Parabólica contínua a discreta')
for entrada in resultado:
    tipo = type(resultado[entrada])
    if tipo in algun_numero or entrada in algun_numero:
        print('',entrada,':',resultado[entrada])
    else:
        print('\n',entrada,':')
        sym.pprint(resultado[entrada])

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || sympy: [ explícito ] [ implícito ]

3. EDP Parabólica - Método explícito con Sympy

El desarrollo del método explícito para una ecuación diferencial parcial parabólica usando Sympy, requiere añadir instrucciones para procesar la expresión obtenida en el algoritmo anterior con los valores de i,j.

Se añaden las instrucciones para iterar la expresión discreta para cada i,j dentro de la matriz U creada para el ejercicio. Se aplican las condiciones iniciales a los bordes de la matriz, para luego proceder a iterar.

Como en las actividades del curso se requiere realizar al menos 3 iteraciones para las expresiones del algoritmo con papel y lápiz, solo se presentarán los resultados de las expresiones para la primera fila en j=0.

El algoritmo para la EDP del ejemplo muestra el siguiente resultado:

Método explícito EDP Parabólica
discreta_itera:
              U(i, j)   U(i - 1, j)   U(i + 1, j)
U(i, j + 1) = ─────── + ─────────── + ───────────
                 2           4             4     

 iterar i,j:
j:  0  ;  i:  1  ;  ecuacion: 0
          U(0, 0)   U(1, 0)   U(2, 0)
U(1, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(1, 1) = 33.75
j:  0  ;  i:  2  ;  ecuacion: 1
          U(1, 0)   U(2, 0)   U(3, 0)
U(2, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(2, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  3  ;  ecuacion: 2
          U(2, 0)   U(3, 0)   U(4, 0)
U(3, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(3, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  4  ;  ecuacion: 3
          U(3, 0)   U(4, 0)   U(5, 0)
U(4, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(4, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  5  ;  ecuacion: 4
          U(4, 0)   U(5, 0)   U(6, 0)
U(5, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(5, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  6  ;  ecuacion: 5
          U(5, 0)   U(6, 0)   U(7, 0)
U(6, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(6, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  7  ;  ecuacion: 6
          U(6, 0)   U(7, 0)   U(8, 0)
U(7, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(7, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  8  ;  ecuacion: 7
          U(7, 0)   U(8, 0)   U(9, 0)
U(8, 1) = ─────── + ─────── + ───────
             4         2         4   
U(8, 1) = 25.0
j:  0  ;  i:  9  ;  ecuacion: 8
          U(8, 0)   U(9, 0)   U(10, 0)
U(9, 1) = ─────── + ─────── + ────────
             4         2         4    
U(9, 1) = 28.75
... continua calculando

x: [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
t: [0.   0.01 0.02 0.03 0.04]
 j, U[i,j]
4 [60.   42.77 31.29 26.37 25.14 25.   25.06 25.59 27.7  32.62 40.  ]
3 [60.   40.86 29.38 25.55 25.   25.   25.   25.23 26.88 31.8  40.  ]
2 [60.   38.12 27.19 25.   25.   25.   25.   25.   25.94 30.62 40.  ]
1 [60.   33.75 25.   25.   25.   25.   25.   25.   25.   28.75 40.  ]
0 [60. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 25. 40.]

Instrucciones en Python

# Método explícito EDP Parabólica ------------
# ITERAR para cada i,j dentro de U 
# x[i] , y[j]  valor en posición en cada eje
xi = np.arange(a,b+dx/2,dx)
yj = np.arange(y0,n_iteraciones*dy+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)
# Matriz U
u_xy = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)
u_xy = u_xy*np.nan # valor inicial dentro de u
# llena u con valores en fronteras
u_xy[:,0]   = fxc(xi)  # inferior  Tc
u_xy[0,:]   = fya(yj)  # izquierda Ta
u_xy[n-1,:] = fyb(yj)  # derecha   Tb
u0 = np.copy(u_xy)     # matriz u inicial

# busca el término no conocido
u_explicito = sym.solve(discreta_L,buscar)
u_explicito = sym.Eq(buscar,u_explicito[0])
resultado['discreta_itera'] = u_explicito

print('\nMétodo explícito EDP Parabólica')
print('discreta_itera:')
sym.pprint(u_explicito)

# iterando
print('\n iterar i,j:')
j_k = 0
for j_k in range(0,m-1,1):
    for i_k in range(1,n-1,1):
        eq_conteo = j_k*(n-2)+(i_k-1)
        discreta_ij = u_explicito.subs({i:i_k,j:j_k})
        valorij = 0 # calcula valor de nodo ij
        # separa cada término de suma
        term_suma = sym.Add.make_args(discreta_ij.rhs)
        for term_k in term_suma:
            term_ki = 1
            if term_k.is_Function:
                [i_f,j_f] = term_k.args
                term_ki = u_xy[i_f,j_f]
            elif term_k.is_Mul: # mas de un factor
                factor_Mul = sym.Mul.make_args(term_k)
                # separa cada factor de término 
                for factor_k in factor_Mul:
                    if factor_k.is_Function:
                        [i_f,j_f] = factor_k.args
                        term_ki = term_ki*u_xy[i_f,j_f]
                    else:
                        term_ki = term_ki*factor_k
            else:
                term_ki = term_k
            valorij = valorij + term_ki
        [i_f,j_f] = discreta_ij.lhs.args
        u_xy[i_f,j_f] = float(valorij) # actualiza matriz u
        # muestra las primeras m iteraciones
        if eq_conteo<(n-2):
            print('j: ',j_k,' ; ','i: ',i_k,
                  ' ; ','ecuacion:',eq_conteo)
            sym.pprint(discreta_ij)
            print(discreta_ij.lhs,'=',float(valorij))
print('... continua calculando')

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=verdigitos)
print('\nx:',xi)
print('t:',yj)
print(' j, U[i,j]')
for j_k in range(m-1,-1,-1):
    print(j_k, (u_xy[:,j_k]))

EDP Parabólica [ contínua a discreta ] || sympy: [ explícito ] [ implícito ]

2023-09-092025-08-16

6.6.1 EDO lineal - ecuaciones auxiliar, general y complementaria con Sympy-Python

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

Referencia: Sympy ODE solver. Stewart James. Cálculo de varias variables. 17.2 p1148.

Continuando con el ejercicio de la sección anterior de una ecuación diferencial ordinaria, lineal y de coeficientes constantes, se obtuvo la solución homogénea o ecuación complementaria con dsolve(). Para el desarrollo analítico de la solución se requieren describir los pasos tales como la ecuación auxiliar, como se describe a continuación como un ejercicio de análisis de expresiones con Sympy.

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1. Ejemplo. Ecuación diferencial de un circuito RLC

Referencia: Lathi Ejemplo 2.1.a p155, Ejemplo 2.9 p175, Oppenheim 2.4.1 p117, ejemplo 1 de Modelo entrada-salida

circuito RLC

El circuito RLC con entrada x(t) de la figura tiene una corriente y(t) o salida del sistema que se representa por medio de una ecuación diferencial.

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \frac{dx(t)}{dt}

Las condiciones iniciales del sistema a tiempo t=0 son y(0)=0 , y'(0)=-5

1.1 Ecuación diferencial y condiciones de frontera o iniciales

La ecuación diferencial del ejercicio con Sympy se escribe con el operador sym.diff(y,t,1). Indicando la variable independiente 't', que 'y' es una función y el orden de la derivada con 1. esquema que se mantiene para la descripción de las condiciones iniciales.

# ecuacion: lado izquierdo = lado derecho
#           Left Hand Side = Right Hand Side
LHS = sym.diff(y(t),t,2) + 3*sym.diff(y(t),t,1) + 2*y(t)
RHS = sym.diff(x(t),t,1)
ecuacion = sym.Eq(LHS,RHS)

# condiciones de frontera o iniciales
y_cond = {y(0) : 0,
          sym.diff(y(t),t,1).subs(t,0) : -5}

1.2 Clasificar la ecuación diferencial ordinaria

Sympy permite revisar el tipo de EDO a resolver usando la instrucción:

>>> sym.classify_ode(ecuacion, y(t))
('factorable', 
 'nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters', 
 'nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters_Integral')
>>>

1.3 Ecuación homogénea

Para el análisis de la respuesta del circuito, se inicia haciendo la entrada x(t)=0, también conocida como ecuación para "respuesta a entrada cero" o ecuación homogénea.

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = 0

En el algoritmo, La ecuación homogénea se obtiene al substituir x(t)=0 en cada lado de la ecuación, que también es un paso para encontrar la respuesta a entrada cero. La ecuación homogénea se escribe de la forma f(t)=0.

# ecuación homogénea x(t)=0, entrada cero
RHSx0 = ecuacion.rhs.subs(x(t),0).doit()
LHSx0 = ecuacion.lhs.subs(x(t),0).doit()
homogenea = LHSx0 - RHSx0

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1.4. Ecuación auxiliar o característica.

En la ecuación homogénea , se procede a sustituir en la ecuación el operador dy/dt de la derivada con una variable r elevada al orden de la derivada de cada término . El resultado es una ecuación algebraica que se analiza encontrando las raíces de r.

r ^2 + 3r +2 = 0

Los valores de r que resuelven la ecuación permiten estimar la forma de la solución para y(t) conocida como la ecuación general.

Se usan diferentes formas para mostrar la ecuación auxiliar, pues en algunos casos se requiere usar la forma de factores, en otros casos los valores de las raíces y las veces que se producen. Formas usadas para generar diagramas de polos y ceros, o expresiones de transformada de Laplace. Motivo por el que los resultados se los presenta en un diccionario, y así usar la respuesta que sea de interés en cada caso.

homogenea :
                        2          
           d           d           
2*y(t) + 3*--(y(t)) + ---(y(t)) = 0
           dt           2          
                      dt           
auxiliar : r**2 + 3*r + 2
Q : r**2 + 3*r + 2
Q_factor : (r + 1)*(r + 2)
Q_raiz : {-1: 1, -2: 1}
>>>

Instrucciones con Python

# Ecuación Diferencial Ordinaria EDO
# ecuación auxiliar o característica 
# Lathi 2.1.a pdf 155, (D^2+ 3D + 2)y = Dx
import sympy as sym

# INGRESO
t = sym.Symbol('t', real=True)
r = sym.Symbol('r')
y = sym.Function('y')
x = sym.Function('x')

# ecuacion: lado izquierdo = lado derecho
#           Left Hand Side = Right Hand Side
LHS = sym.diff(y(t),t,2) + 3*sym.diff(y(t),t,1) + 2*y(t)
RHS = sym.diff(x(t),t,1)
ecuacion = sym.Eq(LHS,RHS)

# condiciones de frontera o iniciales
y_cond = {y(0) : 0,
          sym.diff(y(t),t,1).subs(t,0) : -5}

# PROCEDIMIENTO
def edo_lineal_auxiliar(ecuacion,
                 t = sym.Symbol('t'),r = sym.Symbol('r'),
                 y = sym.Function('y'),x = sym.Function('x')):
    ''' ecuacion auxiliar o caracteristica de EDO
        t independiente
    '''
    # ecuación homogénea x(t)=0, entrada cero
    RHSx0 = ecuacion.rhs.subs(x(t),0).doit()
    LHSx0 = ecuacion.lhs.subs(x(t),0).doit()
    homogenea = LHSx0 - RHSx0
    homogenea = sym.expand(homogenea,t)

    # ecuación auxiliar o característica
    Q = 0*r
    term_suma = sym.Add.make_args(homogenea)
    for term_k in term_suma:
        orden_k = sym.ode_order(term_k,y)
        coef = 1 # coefientes del término suma
        factor_mul = sym.Mul.make_args(term_k)
        for factor_k in factor_mul:
            cond = factor_k.has(sym.Derivative)
            cond = cond or factor_k.has(y(t))
            if not(cond):
                coef = coef*factor_k
        Q = Q + coef*(r**orden_k)
               
    # Q factores y raices
    Q_factor = sym.factor(Q,r)
    Q_poly   = sym.poly(Q,r)
    Q_raiz   = sym.roots(Q_poly)
    
    auxiliar = {'homogenea' : sym.Eq(homogenea,0),
                'auxiliar'  : Q,
                'Q'         : Q,
                'Q_factor'  : Q_factor,
                'Q_raiz'    : Q_raiz }
    return(auxiliar)

# analiza la ecuación diferencial
edo_tipo = sym.classify_ode(ecuacion, y(t))
auxiliar = edo_lineal_auxiliar(ecuacion,t,r)

# SALIDA
print('clasifica EDO:')
for untipo in edo_tipo:
    print(' ',untipo)
print('ecuacion auxiliar:')
for entrada in auxiliar:
    print(' ',entrada,':',auxiliar[entrada])

Otra forma de mostrar el resultado es usando un procedimiento creado para mostrar elementos del diccionario según corresponda a cada tipo. el procedimiento se adjunta al final.

Las funciones se incorporan a los algoritmos del curso en matg1052.py

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1.5 Ecuación diferencial, ecuación general y complementaria con Sympy-Python

La ecuación general se encuentra con la instrucción sym.dsolve(), sin condiciones iniciales, por que el resultado presenta constantes Ci por determinar.

    # solucion general de ecuación homogénea
    general = sym.dsolve(homogenea, y(t))
    general = general.expand()

el resultado para el ejercicio es

general :
           -t       -2*t
y(t) = C1*e   + C2*e

Para encontrar los valores de las constantes, se aplica cada una de las condiciones iniciales a la ecuación general, obteniendo un sistema de ecuaciones.

     # Aplica condiciones iniciales o de frontera
    eq_condicion = []
    for cond_k in y_cond: # cada condición
        valor_k = y_cond[cond_k]
        orden_k = sym.ode_order(cond_k,y)
        if orden_k==0: # condicion frontera
            t_k = cond_k.args[0] # f(t_k)
            expr_k = general.rhs.subs(t,t_k)
        else: # orden_k>0
            # f.diff(t,orden_k).subs(t,t_k)
            subs_param = cond_k.args[2] # en valores
            t_k = subs_param.args[0]  # primer valor
            dyk = general.rhs.diff(t,orden_k)
            expr_k = dyk.subs(t,t_k)
        eq_condicion.append(sym.Eq(valor_k,expr_k))

con el siguiente resultado:

eq_condicion :
0 = C1 + C2
-5 = -C1 - 2*C2

El sistema de ecuaciones se resuelve con la instrucción

constante = sym.solve(eq_condicion)

que entrega un diccionario con cada valor de la constante

constante : {C1: -5, C2: 5}

La ecuación complementaria se obtiene al sustituir en la ecuación general los valores de las constantes.

El resultado del algoritmo

homogenea :
                        2          
           d           d           
2*y(t) + 3*--(y(t)) + ---(y(t)) = 0
           dt           2          
                      dt           
general :
           -t       -2*t
y(t) = C1*e   + C2*e    
eq_condicion :
0 = C1 + C2
-5 = -C1 - 2*C2
constante : {C1: -5, C2: 5}
complementaria :
            -t      -2*t
y(t) = - 5*e   + 5*e    
>>>

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

2. Algoritmo con Python

Las instrucciones detalladas se presentan en el algoritmo integrado.

# Solución complementaria a una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO
# Lathi 2.1.a pdf 155, (D^2+ 3D + 2)y = Dx
import sympy as sym
equivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},
                {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},
                'numpy',]
import matg1052 as fcnm

# INGRESO
t = sym.Symbol('t', real=True)
r = sym.Symbol('r')
y = sym.Function('y')
x = sym.Function('x')

# ecuacion: lado izquierdo = lado derecho
#           Left Hand Side = Right Hand Side
LHS = sym.diff(y(t),t,2) + 3*sym.diff(y(t),t,1) + 2*y(t)
RHS = sym.diff(x(t),t,1)
ecuacion = sym.Eq(LHS,RHS)

# condiciones de frontera o iniciales
y_cond = {y(0) : 0,
          sym.diff(y(t),t,1).subs(t,0) : -5}

# PROCEDIMIENTO
def edo_lineal_complemento(ecuacion,y_cond):
    # ecuación homogénea x(t)=0, entrada cero
    RHSx0 = ecuacion.rhs.subs(x(t),0).doit()
    LHSx0 = ecuacion.lhs.subs(x(t),0).doit()
    homogenea = LHSx0 - RHSx0

    # solucion general de ecuación homogénea
    general = sym.dsolve(homogenea, y(t))
    general = general.expand()

    # Aplica condiciones iniciales o de frontera
    eq_condicion = []
    for cond_k in y_cond: # cada condición
        valor_k = y_cond[cond_k]
        orden_k = sym.ode_order(cond_k,y)
        if orden_k==0: # condicion frontera
            t_k    = cond_k.args[0] # f(t_k)
            expr_k = general.rhs.subs(t,t_k)
        else: # orden_k>0
            subs_param = cond_k.args[2] # en valores
            t_k = subs_param.args[0]  # primer valor
            dyk = sym.diff(general.rhs,t,orden_k)
            expr_k = dyk.subs(t,t_k)
        eq_condicion.append(sym.Eq(valor_k,expr_k))

    constante = sym.solve(eq_condicion)

    # ecuacion complementaria
    # reemplaza las constantes en general
    yc = general
    for Ci in constante:
        yc = yc.subs(Ci, constante[Ci])
    
    complemento = {'homogenea'      : sym.Eq(homogenea,0),
                   'general'        : general,
                   'eq_condicion'   : eq_condicion,
                   'constante'      : constante,
                   'complementaria' : yc}
    return(complemento)

# analiza ecuacion diferencial
edo_tipo = sym.classify_ode(ecuacion, y(t))
auxiliar = fcnm.edo_lineal_auxiliar(ecuacion,t,r)
complemento = edo_lineal_complemento(ecuacion,y_cond)
yc = complemento['complementaria'].rhs

# SALIDA
print('clasifica EDO:')
for elemento in edo_tipo:
    print(' ',elemento)

fcnm.print_resultado_dict(auxiliar)
fcnm.print_resultado_dict(complemento)

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

3. Gráfica de la ecuación complementaria y_c

Para la gráfica se procede a convertir la ecuación y_c en la forma numérica con sym.lambdify(). Se usa un intervalo de tiempo entre [0,5] y 51 muestras con el siguiente resultado:

solucion homogenea EDO

Instrucciones en Python

# GRAFICA ------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
t_a = 0 ; t_b = 5 # intervalo tiempo [t_a,t_b]
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
yt = sym.lambdify(t,yc, modules=equivalentes) 
ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)
yi = yt(ti)

# Grafica
plt.plot(ti,yi, color='orange', label='yc(t)')
untitulo = 'yc(t)=$'+ str(sym.latex(yc))+'$'
plt.title(untitulo)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('yc(t)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

4. Mostrar el resultado del diccionario según el tipo de entrada

Para mostrar los resultados de una forma más fácil de leer, se usará sym.pprint() para las ecuaciones, y print() simple para los demás elementos del resultado

def print_resultado_dict(resultado):
    ''' print de diccionario resultado
        formato de pantalla
    '''
    for entrada in resultado:
        tipo = type(resultado[entrada])
        if tipo == sym.core.relational.Equality:
            print(entrada,':')
            sym.pprint(resultado[entrada])
        elif tipo==list or tipo==tuple:
            tipoelem = type(resultado[entrada][0])
            if tipoelem==sym.core.relational.Equality:
                print(entrada,':')
                for fila in resultado[entrada]:
                    sym.pprint(fila)
            else:
                print(entrada,':')
                for fila in resultado[entrada]:
                    print(' ',fila)
        else:
            print(entrada,':',resultado[entrada])
    return()

[ ejemplo ] ecuación: [ auxiliar ] [ general, complementaria ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

2023-09-082025-08-16

6.6 EDO lineal - solución complementaria y particular con Sympy-Python

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

Referencia: [1] Sympy ODE solver. [2] Stewart James. Cálculo de varias variables. 17.2 p1148

Los métodos analíticos para encontrar una solución y(t) a una ecuación diferencial ordinaria EDO requieren identificar el tipo de la ecuación para establecer el método de solución. Sympy incorpora librerías que pueden asistir en la solución con muchos de los métodos analíticos conocidos.

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1. Ecuación diferencial de un circuito RLC

Referencia: Lathi Ejemplo 2.1.a p155, Ejemplo 2.9 p175, Oppenheim 2.4.1 p117, ejemplo 1 de Modelo entrada-salida circuito RLC

El circuito RLC con entrada x(t) de la figura tiene una corriente y(t) o salida del sistema que se representa por medio de una ecuación diferencial.

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \frac{dx(t)}{dt}

Las condiciones iniciales del sistema a tiempo t=0 son y(0)=0 , y'(0)=-5

Encuentre la solución considerando como entrada x(t)

x(t) = 10 e^{-3t} \mu(t)

1.1 Ecuación diferencial y condiciones de frontera o iniciales

La ecuación diferencial del ejercicio con Sympy se escribe con el operador sym.diff(y,t,k). Indicando la variable independiente, que 'y' es una función y el orden de la derivada con k.

La igualdad de una ecuación puede escribirse como lado izquierdo (LHS) es igual al lado derecho (RHS). Una ecuación en Sympy se compone de las dos partes sym.Eq(LHS,RHS).

# INGRESO
t = sym.Symbol('t', real=True)
r = sym.Symbol('r')
y = sym.Function('y')
x = sym.Function('x')

# ecuacion: lado izquierdo = lado derecho
#           Left Hand Side = Right Hand Side
LHS = sym.diff(y(t),t,2) + 3*sym.diff(y(t),t,1) + 2*y(t)
RHS = sym.diff(x(t),t,1)
ecuacion = sym.Eq(LHS,RHS)

Las condiciones de frontera o iniciales y(0)=0, y'(0)=-5 se establecen en un diccionario en el siguiente formato,

# condiciones de frontera o iniciales
y_cond = {y(0) : 0,
          sym.diff(y(t),t,1).subs(t,0) : -5}

La entrada x(t) para el sistema, que inicia en t=0 se define junto a μ(t) o Heaviside(t) como:

# ecuacion entrada x(t)
xp = 10*sym.exp(-3*t)*sym.Heaviside(t)

1.2 Clasificar la ecuación diferencial ordinaria

Para revisar el tipo de EDO a resolver se tiene la instrucción:

>>> sym.classify_ode(ecuacion, y(t))
('factorable', 
 'nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters', 
 'nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters_Integral')
>>>

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

Solución EDO como suma de solución complementaria y solución particular

La solución para una EDO puede presentarse también como la suma de una solución complementaria y una solución particular

y(t) = y_p(t) + y_c(t)

respuesta entrada cero de un sistema
[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1.3 Solución complementaria y_c(t)

La solución complementaria de la EDO se interpreta también como respuesta de entrada cero del circuito, donde la salida y(t) depende solo de las condiciones iniciales del circuito. Para el ejemplo, considera solo las energías internas almacenadas en el capacitor y el inductor. Para éste caso x(t) = 0

Es necesario crear la ecuación homogénea con x(t)=0 en la ecuación diferencial para encontrar la solución con las condiciones iniciales dadas en el enunciado del ejercicio.

# ecuación homogénea x(t)=0, entrada cero
RHSx0 = ecuacion.rhs.subs(x(t),0).doit()
LHSx0 = ecuacion.lhs.subs(x(t),0).doit()
homogenea = LHSx0 - RHSx0

# solucion general de ecuación homogénea
yc = sym.dsolve(homogenea, y(t),ics=y_cond)
yc = yc.expand()

el resultado de la ecuación complementaria es

solucion complementaria y_c(t): 
            -t      -2*t
y(t) = - 5*e   + 5*e

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

1.4 Solución particular y_p(t)

En el caso de la solución particular, se simplifica la ecuación diferencial al sustituir x(t) con la entrada particular x_p(t). Las condiciones iniciales en este caso consideran que el circuito no tenía energía almacenada en sus componentes (estado cero), por lo que las condiciones iniciales no se consideran.

# ecuación particular x(t)=0, estado cero
RHSxp = ecuacion.rhs.subs(x(t),x_p).doit()
LHSxp = ecuacion.lhs.subs(x(t),x_p).doit()
particular = LHSxp - RHSxp

# solucion particular de ecuación homogénea
yp = sym.dsolve(particular, y(t))

Se aplica nuevamente la búsqueda de la solución con sym.dsolve() y se obtiene la solución particular que incluye parte del modelo de la ecuación homogénea con los coeficientes Ci

>>> sym.pprint(yp.expand())
           -t       -2*t      -t                    -2*t                    -3*t
y(t) = C1*e   + C2*e     - 5*e  *Heaviside(t) + 20*e    *Heaviside(t) - 15*e    *Heaviside(t)

>>> yp.free_symbols
{C2, C1, t}
>>>

En éste punto se incrementan los términos de las constantes C1 y C2 como símbolos, que para tratar exclusivamente la solución particular, se reemplazan con ceros. Para obtener las variables de la ecuación se usa la instrucción yp.free_symbols que entrega un conjunto. El conjunto se descarta el símbolo t y se sustituye todos los demás por cero en la ecuación.

    # particular sin terminos Ci
    y_Ci = yp.free_symbols
    y_Ci.remove(t) # solo Ci
    for Ci in y_Ci: 
        yp = yp.subs(Ci,0)

quedando la solución particular como:

            -t                    -2*t                    -3*t             
y(t) = - 5*e  *Heaviside(t) + 20*e    *Heaviside(t) - 15*e    *Heaviside(t)

1.5 Solución EDO como suma de complementaria + particular

La solución de la ecuación diferencial ordinaria, ante la entrada x(t) y condiciones iniciales es la suma de los componentes complementaria y particular:

# solucion total = complementaria + particular
ytotal = yc.rhs + yp.rhs

El resultado de todo el algoritmo permite interpretar la respuesta con los conceptos de las respuestas del circuito a entrada cero y estado cero, que facilitan el análisis de las soluciones en ejercicios de aplicación.

ecuación diferencial a resolver: 
                        2                 
           d           d          d       
2*y(t) + 3*--(y(t)) + ---(y(t)) = --(x(t))
           dt           2         dt      
                      dt                  
condiciones iniciales
  y(0)  =  0
  Subs(Derivative(y(t), t), t, 0)  =  -5
clasifica EDO:
  factorable
  nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters
  nth_linear_constant_coeff_variation_of_parameters_Integral
x(t): 
    -3*t             
10*e    *Heaviside(t)
solucion complementaria yc(t): 
            -t      -2*t
y(t) = - 5*e   + 5*e    
solucion particular yp(t): 
       /     -t       -2*t       -3*t\             
y(t) = \- 5*e   + 20*e     - 15*e    /*Heaviside(t)
solucion y(t) = yc(t) +yp(t): 
/     -t       -2*t       -3*t\                   -t      -2*t
\- 5*e   + 20*e     - 15*e    /*Heaviside(t) - 5*e   + 5*e    
>>>

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

2. Algoritmo en Python

# Solución de unaEcuación Diferencial Ordinaria EDO
# Lathi 2.1.a pdf 155, (D^2+ 3D + 2)y = Dx
import sympy as sym

# INGRESO
t = sym.Symbol('t', real=True)
y = sym.Function('y')
x = sym.Function('x')

# ecuacion: lado izquierdo = lado derecho
#           Left Hand Side = Right Hand Side
LHS = sym.diff(y(t),t,2) + 3*sym.diff(y(t),t,1) + 2*y(t)
RHS = sym.diff(x(t),t,1)
ecuacion = sym.Eq(LHS,RHS)

# condiciones de frontera o iniciales
y_cond = {y(0) : 0,
          sym.diff(y(t),t,1).subs(t,0) : -5}

# ecuacion entrada x(t)
xp = 10*sym.exp(-3*t)*sym.Heaviside(t)

# PROCEDIMIENTO
edo_tipo = sym.classify_ode(ecuacion, y(t))

# ecuación homogénea x(t)=0, entrada cero
RHSx0 = ecuacion.rhs.subs(x(t),0).doit()
LHSx0 = ecuacion.lhs.subs(x(t),0).doit()
homogenea = LHSx0 - RHSx0

# solucion general de ecuación homogénea
yc = sym.dsolve(homogenea, y(t),ics=y_cond)
yc = yc.expand()

def edo_lineal_particular(ecuacion,xp):
    ''' edo solucion particular con entrada x(t)
    '''
    # ecuación particular x(t)=0, estado cero
    RHSxp = ecuacion.rhs.subs(x(t),xp).doit()
    LHSxp = ecuacion.lhs.subs(x(t),xp).doit()
    particular = LHSxp - RHSxp

    # solucion particular de ecuación homogénea
    yp = sym.dsolve(particular, y(t))

    # particular sin terminos Ci
    y_Ci = yp.free_symbols
    y_Ci.remove(t) # solo Ci
    for Ci in y_Ci: 
        yp = yp.subs(Ci,0)
        
    # simplifica y(t) y agrupa por escalon unitario
    yp = sym.expand(yp.rhs,t)
    lista_escalon = yp.atoms(sym.Heaviside)
    yp = sym.collect(yp,lista_escalon)
    yp = sym.Eq(y(t),yp)
    
    return(yp)

yp = edo_lineal_particular(ecuacion,xp)
# solucion total
ytotal = yp.rhs + yc.rhs


# SALIDA
print('ecuación diferencial a resolver: ')
sym.pprint(ecuacion)

# condiciones iniciales
print('condiciones iniciales')
for caso in y_cond:
    print(' ',caso,' = ', y_cond[caso])

print('clasifica EDO:')
for elemento in edo_tipo:
    print(' ',elemento)

print('x(t): ')
sym.pprint(xp)

print('solucion complementaria yc(t): ')
sym.pprint(yc)

print('solucion particular yp(t): ')
sym.pprint(yp)

print('solucion y(t) = yc(t) +yp(t): ')
sym.pprint(ytotal)

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]
..

3. Grafica de resultados

Se adjunta la gráfica de los resultados de las ecuaciones complementaria, particular y total

Instrucciones adicionales en Python

# GRAFICA ------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
equivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},
                {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},
                'numpy',]

# INGRESO
t_a = 0 ; t_b = 5 # intervalo tiempo [t_a,t_b]
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
y_c = sym.lambdify(t,yc.rhs, modules=equivalentes)
y_p = sym.lambdify(t,yp.rhs, modules=equivalentes)
y_cp = sym.lambdify(t,ytotal, modules=equivalentes)
ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)
yci = y_c(ti)
ypi = y_p(ti)
ycpi = y_cp(ti)

# Grafica
plt.plot(ti,yci, color='orange', label='yc(t)')
plt.plot(ti,ypi, color='dodgerblue', label='yp(t)')
plt.plot(ti,ycpi, color='green', label='y(t)')
untitulo = 'y(t)=$'+ str(sym.latex(ytotal))+'$'
plt.title(untitulo)
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Un desarrollo semejante del ejercicio aplicando conceptos del curso de señales y sistemas de proporciona en:

LTI CT Respuesta del Sistema Y(s)=ZIR+ZSR con Sympy-Python

[ ejemplo ] solución: [ complementaria ] [ particular ] [ algoritmo ] [ gráfica ]

2022-08-052025-04-07

8.3.1 Regresión polinomial de grado m - Ejercicio Temperatura para un día con Python

De una estación meteorológica se obtiene un archivo.csv con los datos de los sensores disponibles durante una semana.

2021OctubreEstMetorologica.csv

Para analizar el comportamiento de la variable de temperatura, se requiere disponer de un modelo polinomial que describa la temperatura a lo largo del día, para un solo día.

Como valores de variable independiente utilice un equivalente numérico decimal de la hora, minuto y segundo.

a. Realice la lectura del archivo, puede usar las instrucciones descritas en el enlace: Archivos.csv con Python – Ejercicio con gráfica de temperatura y Humedad (CCPG1001: Fundamentos de programación)

b. Seleccione los datos del día 1 del mes para realizar la gráfica, y convierta tiempo en equivalente decimal.

c. Mediante pruebas, determine el grado del polinomio más apropiado para minimizar los errores.

Desarrollo

literal a

Se empieza con las instrucciones del enlace dadas añadiendo los parpametros de entrada como undia = 0 y grado del polinomio como gradom = 2 como el ejercicio anterior.

literal b

En el modelo polinomial, el eje x es un número decimal, por lo que los valores de hora:minuto:segundo se convierte a un valor decimal. Para el valor decimal de xi se usa la unidad de horas y las fracciones proporcionales de cada minuto y segundo.

literal c

Se inicia con el valor de gradom = 2, observando el resultado se puede ir incrementando el grado del polinomio observando los parámetros de error y coeficiente de determinación hasta cumplir con la tolerancia esperada segun la aplicación del ejercicio.

Resultados obtenidos:

columnas en tabla: 
Index(['No', 'Date', 'Time', 'ColdJunc0', 'PowerVolt', 'PowerKind', 'WS(ave)',
       'WD(ave)', 'WS(max)', 'WD(most)', 'WS(inst_m)', 'WD(inst_m)',
       'Max_time', 'Solar_rad', 'TEMP', 'Humidity', 'Rainfall', 'Bar_press.',
       'Soil_temp', 'fecha', 'horadec'],
      dtype='object')
ymedia =  25.036805555555553
 f = -6.57404678141012e-6*x**6 + 0.00052869201494877*x**5 - 0.0152875582352169*x**4 + 0.184200388015364*x**3 - 0.761164009032398*x**2 + 0.393278389794015*x + 22.1142936414255
coef_determinacion r2 =  0.9860621424061621
98.61% de los datos
     se describe con el modelo

Instrucciones en Python

# lecturas archivo.csv de estación meteorológica
import numpy as np
import sympy as sym
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.dates import DateFormatter, DayLocator

# INGRESO
narchivo = "2021OctubreEstMetorologica.csv"
sensor = 'TEMP'
undia  = 2 # dia a revisar
gradom = 6 # grado del polinomio

# PROCEDIMIENTO
tabla = pd.read_csv(narchivo, sep=';',decimal=',')
n_tabla = len(tabla)

# fechas concatenando columnas de texto
tabla['fecha'] = tabla['Date']+' '+tabla['Time']

# convierte a datetime
fechaformato = "%d/%m/%Y %H:%M:%S"
tabla['fecha'] = pd.to_datetime(tabla['fecha'],
                                format=fechaformato)
# serie por dia, busca indices
diaIndice = [0] # indice inicial
for i in range(1,n_tabla-1,1):
    i0_fecha = tabla['fecha'][i-1]
    i1_fecha = tabla['fecha'][i]
    if i0_fecha.day != i1_fecha.day:
        diaIndice.append(i)
diaIndice.append(len(tabla)-1) # indice final
m = len(diaIndice)

# horas decimales en un día
horadia = tabla['fecha'].dt.hour
horamin = tabla['fecha'].dt.minute
horaseg = tabla['fecha'].dt.second
tabla['horadec'] = horadia + horamin/60 + horaseg/3600

# PROCEDIMIENTO Regresión Polinomial grado m
m = gradom
# Selecciona dia
i0 = diaIndice[undia]
i1 = diaIndice[undia+1]
# valores a usar en regresión
xi = tabla['horadec'][i0:i1]
yi = tabla[sensor][i0:i1]
n  = len(xi)

# llenar matriz a y vector B
k = m + 1
A = np.zeros(shape=(k,k),dtype=float)
B = np.zeros(k,dtype=float)
for i in range(0,k,1):
    for j in range(0,i+1,1):
        coeficiente = np.sum(xi**(i+j))
        A[i,j] = coeficiente
        A[j,i] = coeficiente
    B[i] = np.sum(yi*(xi**i))

# coeficientes, resuelve sistema de ecuaciones
C = np.linalg.solve(A,B)

# polinomio
x = sym.Symbol('x')
f = 0
fetiq = 0
for i in range(0,k,1):
    f = f + C[i]*(x**i)
    fetiq = fetiq + np.around(C[i],4)*(x**i)

fx = sym.lambdify(x,f)
fi = fx(xi)

# errores
ym = np.mean(yi)
xm = np.mean(xi)
errado = fi - yi

sr = np.sum((yi-fi)**2)
syx = np.sqrt(sr/(n-(m+1)))
st = np.sum((yi-ym)**2)

# coeficiente de determinacion
r2 = (st-sr)/st
r2_porcentaje = np.around(r2*100,2)

# SALIDA
print(' columnas en tabla: ')
print(tabla.keys())
print('ymedia = ',ym)
print(' f =',f)
print('coef_determinacion r2 = ',r2)
print(str(r2_porcentaje)+'% de los datos')
print('     se describe con el modelo')

# grafica
plt.plot(xi,yi,'o',label='(xi,yi)')
plt.plot(xi,fi, color='orange', label=fetiq)

# lineas de error
for i in range(i0,i1,1):
    y0 = np.min([yi[i],fi[i]])
    y1 = np.max([yi[i],fi[i]])
    plt.vlines(xi[i],y0,y1, color='red',
               linestyle = 'dotted')

plt.xlabel('xi - hora en decimal')
plt.ylabel('yi - '+ sensor)
plt.legend()
etiq_titulo = sensor+ ' dia '+str(undia)
plt.title(etiq_titulo+': Regresion polinomial grado '+str(m))
plt.show()

Tarea

Determinar el polinomio de regresión para los días 3 y 5, y repetir el proceso para el sensor de Humedad ('Humidity')

Referencia: Archivos.csv con Python – Ejercicio con gráfica de temperatura y Humedad en Fundamentos de Programación

2022-08-042025-04-07

8.3 Regresión polinomial de grado m con Python

Referencia: Chapra 17.2 p482, Burden 8.1 p501

Una alternativa a usar transformaciones ente los ejes para ajustar las curvas es usar regresión polinomial extendiendo el procedimiento de los mínimos cuadrados.

Suponga que la curva se ajusta a un polinomio de segundo grado o cuadrático

y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +e

usando nuevamente la suma de los cuadrados de los residuos, se tiene,

S_r = \sum_{i=1}^n (y_i- (a_0 + a_1 x_i + a_2 x_i^2))^2

para minimizar los errores se deriva respecto a cada coeficiente: a₀, a₁, a₂

\frac{\partial S_r}{\partial a_0} = -2\sum (y_i- a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2)

\frac{\partial S_r}{\partial a_1} = -2\sum x_i (y_i- a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2)

\frac{\partial S_r}{\partial a_2} = -2\sum x_i^2 (y_i- a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2)

Se busca el mínimo de cada sumatoria, igualando a cero la derivada y reordenando, se tiene el conjunto de ecuaciones:

a_0 (n) + a_1 \sum x_i + a_2 \sum x_i^2 = \sum y_i

a_0 \sum x_i + a_1 \sum x_i^2 + a_2 \sum x_i^3 =\sum x_i y_i

a_0 \sum x_i^2 + a_1 \sum x_i^3 + a_2 \sum x_i^4 =\sum x_i^2 y_i

con incógnitas a₀, a₁ y a₂, cuyos coeficientes se pueden evaluar con los puntos observados. Se puede usar un médoto directo de la unidad 3 para resolver el sistema de ecuaciones Ax=B.

\begin{bmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2 \\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \\ \sum x_i^2 y_i \end{bmatrix}

C = np.linalg.solve(A,B)

y = C_0 + C_1 x + C_2 x^2

El error estándar se obtiene como:

S_{y/x} = \sqrt{\frac{S_r}{n-(m+1)}}

siendo m el grado del polinomio usado, para el caso presentado m = 2

S_r = \sum{(yi-fi)^2}

S_r es la suma de los cuadrados de los residuos alrededor de la línea de regresión.

x_i	y_i	(y_i-y_media)²	(y_i-f_i)²
...	...
...	...
	∑y_i	S_t	S_r

r^2 = \frac{S_t-S_r}{S_t}

S_t = \sum{(yi-ym)^2}

siendo S_t la suma total de los cuadrados alrededor de la media para la variable dependiente y. Este valor es la magnitud del error residual asociado con la variable dependiente antes de la regresión.

El algoritmo se puede desarrollar de forma semejante a la presentada en la sección anterior,

Ejercicio Chapra 17.5 p484

Los datos de ejemplo para la referencia son:

xi = [0,   1,    2,    3,    4,   5]
yi = [2.1, 7.7, 13.6, 27.2, 40.9, 61.1]

resultado de algoritmo:

fx  =  1.86071428571429*x**2 + 2.35928571428571*x + 2.47857142857143
Syx =  1.117522770621316
coef_determinacion r2 =  0.9985093572984048
99.85% de los datos se describe con el modelo
>>>

Instrucciones en Python

# regresion con polinomio grado m=2
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
xi = [0,   1,    2,    3,    4,   5]
yi = [2.1, 7.7, 13.6, 27.2, 40.9, 61.1]
m  = 2

# PROCEDIMIENTO
xi = np.array(xi)
yi = np.array(yi)
n  = len(xi)

# llenar matriz a y vector B
k = m + 1
A = np.zeros(shape=(k,k),dtype=float)
B = np.zeros(k,dtype=float)
for i in range(0,k,1):
    for j in range(0,i+1,1):
        coeficiente = np.sum(xi**(i+j))
        A[i,j] = coeficiente
        A[j,i] = coeficiente
    B[i] = np.sum(yi*(xi**i))

# coeficientes, resuelve sistema de ecuaciones
C = np.linalg.solve(A,B)

# polinomio
x = sym.Symbol('x')
f = 0
fetiq = 0
for i in range(0,k,1):
    f = f + C[i]*(x**i)
    fetiq = fetiq + np.around(C[i],4)*(x**i)

fx = sym.lambdify(x,f)
fi = fx(xi)

# errores
ym = np.mean(yi)
xm = np.mean(xi)
errado = fi - yi

sr = np.sum((yi-fi)**2)
syx = np.sqrt(sr/(n-(m+1)))
st = np.sum((yi-ym)**2)

# coeficiente de determinacion
r2 = (st-sr)/st
r2_porcentaje = np.around(r2*100,2)

# SALIDA
print('ymedia = ',ym)
print(' f =',f)
print('coef_determinacion r2 = ',r2)
print(str(r2_porcentaje)+'% de los datos')
print('     se describe con el modelo')

# grafica
plt.plot(xi,yi,'o',label='(xi,yi)')
# plt.stem(xi,yi, bottom=ym)
plt.plot(xi,fi, color='orange', label=fetiq)

# lineas de error
for i in range(0,n,1):
    y0 = np.min([yi[i],fi[i]])
    y1 = np.max([yi[i],fi[i]])
    plt.vlines(xi[i],y0,y1, color='red',
               linestyle = 'dotted')

plt.xlabel('xi')
plt.ylabel('yi')
plt.legend()
plt.title('Regresion polinomial grado '+str(m))
plt.show()

2022-08-032025-04-07

8.2 Regresión por Mínimos cuadrados con Python

Referencia: Chapra 17.1.2 p 469. Burden 8.1 p499

Criterio de ajuste a una línea recta por mínimos cuadrados

Una aproximación de la relación entre los puntos x_i, y_i por medio de un polinomio de grado 1, busca minimizar la suma de los errores residuales de los datos.

y_{i,modelo} = p_1(x) = a_0 + a_1 x_i

Se busca el valor mínimo para los cuadrados de las diferencias entre los valores de y_i con la línea recta.

S_r = \sum_{i=1}^{n} \Big( y_{i,medida} - y_{i,modelo} \Big)^2

S_r= \sum_{i=1}^{n} \Big( y_{i} - (a_0 + a_1 x_i) \Big)^2

para que el error acumulado sea mínimo, se deriva respecto a los coeficientes de la recta a₀ y a₁ y se iguala a cero,

\frac{\partial S_r}{\partial a_0}= (-1)2 \sum_{i=1}^{n} \Big( y_{i} - a_0 - a_1 x_i \Big)

\frac{\partial S_r}{\partial a_1}= (-1)2 \sum_{i=1}^{n} \Big( y_{i} - a_0 - a_1 x_i \Big)x_i

0 = \sum_{i=1}^{n} y_i - \sum_{i=1}^{n} a_0 - \sum_{i=1}^{n} a_1 x_i

0= \sum_{i=1}^{n} y_i x_i - \sum_{i=1}^{n} a_0x_i - \sum_{i=1}^{n} a_1 x_i^2

simplificando,

\sum_{i=1}^{n} a_0 + a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n} y_{i}

a_0 \sum_{i=1}^{n} x_i + a_1 \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i x_i

que es un conjunto de dos ecuaciones lineales simultaneas con dos incógnitas a₀ y a₁, los coeficientes del sistema de ecuaciones son las sumatorias que se obtienen completando la siguiente tabla:

Tabla de datos y columnas para ∑ en la fórmula
x_i	y_i	x_iy_i	x_i²	y_i²
x₀	y₀	x₀y₀	x₀²	y₀²
...	...
...	...
∑ x_i	∑ y_i	∑ x_iy_i	∑ x_i²	∑ y_i²

\begin{bmatrix} n & \sum x_i \\ \sum x_i & \sum x_i^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \end{bmatrix}

cuya solución es:

a_1 = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - \big( \sum x_i \big) ^2 }

a_0 = \overline{y} - a_1 \overline{x}

usando la media de los valores en cada eje para encontrar a₀

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación se puede obtener con las sumatorias anteriores usando la siguiente expresión:

r= \frac{n \sum x_i y_i - \big( \sum x_i \big) \big( \sum y_i\big)} {\sqrt{n \sum x_i^2 -\big(\sum x_i \big) ^2 }\sqrt{n \sum y_i^2 - \big( \sum y_i \big)^2}}

En un ajuste perfecto, S_r = 0 y r = r² = 1, significa que la línea explica
el 100% de la variabilidad de los datos.

Aunque el coeficiente de correlación ofrece una manera fácil de medir la bondad del ajuste, se deberá tener cuidado de no darle más significado del que ya tiene.

El solo hecho de que r sea “cercana” a 1 no necesariamente significa que el ajuste sea “bueno”. Por ejemplo, es posible obtener un valor relativamente alto de r cuando la relación entre y y x no es lineal.

Los resultados indicarán que el modelo lineal explicó r² % de la incertidumbre original

Algoritmo en Python

Siguiendo con los datos propuestos del ejemplo en Chapra 17.1 p470:

xi = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 
yi = [0.5, 2.5, 2., 4., 3.5, 6, 5.5]

Aplicando las ecuaciones para a₀ y a₁ se tiene el siguiente resultado para los datos de prueba:

 f =  0.839285714285714*x + 0.0714285714285712
coef_correlación   r  =  0.9318356132188194
coef_determinación r2 =  0.8683176100628931
86.83% de los datos está descrito en el modelo lineal
>>>

con las instrucciones:

# mínimos cuadrados, regresión con polinomio grado 1
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
xi = [1,   2,   3,  4,  5,   6, 7]
yi = [0.5, 2.5, 2., 4., 3.5, 6, 5.5]

# PROCEDIMIENTO
xi = np.array(xi,dtype=float)
yi = np.array(yi,dtype=float)
n  = len(xi)

# sumatorias y medias
xm  = np.mean(xi)
ym  = np.mean(yi)
sx  = np.sum(xi)
sy  = np.sum(yi)
sxy = np.sum(xi*yi)
sx2 = np.sum(xi**2)
sy2 = np.sum(yi**2)

# coeficientes a0 y a1
a1 = (n*sxy-sx*sy)/(n*sx2-sx**2)
a0 = ym - a1*xm

# polinomio grado 1
x = sym.Symbol('x')
f = a0 + a1*x

fx = sym.lambdify(x,f)
fi = fx(xi)

# coeficiente de correlación
numerador = n*sxy - sx*sy
raiz1 = np.sqrt(n*sx2-sx**2)
raiz2 = np.sqrt(n*sy2-sy**2)
r = numerador/(raiz1*raiz2)

# coeficiente de determinacion
r2 = r**2
r2_porcentaje = np.around(r2*100,2)

# SALIDA
# print('ymedia =',ym)
print(' f = ',f)
print('coef_correlación   r  = ', r)
print('coef_determinación r2 = ', r2)
print(str(r2_porcentaje)+'% de los datos')
print('     está descrito en el modelo lineal')

# grafica
plt.plot(xi,yi,'o',label='(xi,yi)')
# plt.stem(xi,yi,bottom=ym,linefmt ='--')
plt.plot(xi,fi, color='orange',  label=f)

# lineas de error
for i in range(0,n,1):
    y0 = np.min([yi[i],fi[i]])
    y1 = np.max([yi[i],fi[i]])
    plt.vlines(xi[i],y0,y1, color='red',
               linestyle ='dotted')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.title('minimos cuadrados')
plt.show()

Coeficiente de correlación con Numpy

Tambien es posible usar la librería numpy para obtener el resultado anterior,

>>> coeficientes = np.corrcoef(xi,yi)
>>> coeficientes
array([[1.        , 0.93183561],
       [0.93183561, 1.        ]])
>>> r = coeficientes[0,1]
>>> r
0.9318356132188195

1. EDP Parabólicas método explícito

1.1 Gráficas 2D, EDP Parabólica, método explícito

1.3 Gráficas 3D, EDP Parabólica, método explícito

1.4 Gráficas 2D animada, EDP Parabólica, método explícito

1.5 Gráficas 3D animada, EDP Parabólica, método explícito

1.6 Gráfica 3D, EDP Parabólicas método implícito

2. EDP Elípticas método iterativo

2.1 Gráfica 3D, EDP Elípticas método iterativo

2.2 Gráfica 3D animada, EDP Elípticas método iterativo

4. EDP Elípticas - Método Implícito con Sympy-Python

Instrucciones en Python

1. Ejercicio

2. EDP Elípticas contínua a discreta

Instrucciones en Python

3. EDP Elípticas - Método iterativo con Sympy-Python

Instrucciones en Python

Grafica en 3D para EDP Elípticas

4. EDP Parabólica - Método implícito con Sympy

Instrucciones en Python

1. Ejercicio

2. EDP Parabólica contínua a discreta

Instrucciones en Python

3. EDP Parabólica - Método explícito con Sympy

Instrucciones en Python

1. Ejemplo. Ecuación diferencial de un circuito RLC

1.1 Ecuación diferencial y condiciones de frontera o iniciales

1.2 Clasificar la ecuación diferencial ordinaria

1.3 Ecuación homogénea

1.4. Ecuación auxiliar o característica.

1.5 Ecuación diferencial, ecuación general y complementaria con Sympy-Python

2. Algoritmo con Python

3. Gráfica de la ecuación complementaria yc

4. Mostrar el resultado del diccionario según el tipo de entrada

1. Ecuación diferencial de un circuito RLC

1.1 Ecuación diferencial y condiciones de frontera o iniciales

1.2 Clasificar la ecuación diferencial ordinaria

Solución EDO como suma de solución complementaria y solución particular

1.3 Solución complementaria yc(t)

1.4 Solución particular yp(t)

1.5 Solución EDO como suma de complementaria + particular

2. Algoritmo en Python

3. Grafica de resultados

Desarrollo

literal a

literal b

literal c

Instrucciones en Python

Tarea

Ejercicio Chapra 17.5 p484

Instrucciones en Python

Criterio de ajuste a una línea recta por mínimos cuadrados

Coeficiente de correlación

Algoritmo en Python

Coeficiente de correlación con Numpy

3. Gráfica de la ecuación complementaria y_c

1.3 Solución complementaria y_c(t)

1.4 Solución particular y_p(t)