Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Tema 1. El problema con valor de frontera
y'' = y'+ 2y+ cos(x)0 ≤ x ≤ π/2
y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1
a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.
b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.
Tema 2. (30 puntos) La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión del mástil de un bote expuesto a la fuerza del viento:
\frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{f}{2EI} (L-x)^2Donde:
f = fuerza,
E = módulo de elasticidad,
L = longitud del mástil
I = momento de inercia.
Calcule la deflexión si y = 0 y \frac{\delta y}{\delta x} = 0 en x = 0.
Para sus cálculos considere f=60, L =30, E = 1.25x108 e I = 0.05.
a. Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a dicha ecuación.
b. Aproxime usando Runge-Kutta 4to orden, para n=30 sub-intervalos. (solo expresado)
c. Aproxime considerando h=2 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden.
Referencias: Chapra 24.2 p284 pdf121
Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años. 
Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística
\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2donde d = k P(t).
Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9x10-2 y que k = 1.4x10-7.
Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.
Referencias:
Tema 2. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (ver figura) está dada por
EI \frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{wLx}{2} - \frac{wx^2}{2}
Donde E = módulo de elasticidad, I = momento de inercia
Resuelva para la deflexión de la viga con el método de disparo con Runge-Kutta de 2do orden y (Δx = 2.5 ft).
Aplique los siguientes valores de parámetros:
E = 30.000 ksi
I = 800 in4
w = 1 kip/in
L = 10 ft.
Referencia: Chapra 5Ed Cap28 Ejercicio 28.23 p849 pdf873.
Tema 4. Deducir el método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera:
y''= p(x) y' + q(x) y + r(x) a\leq x \leq b y(a)= \alpha y(b)= \betaPara las derivadas, usar las fórmulas de diferencia centrada. Las funciones son continuas en [a,b].
Tema 3. Deducir el método iterativo del punto medio para el problema de valor inicial:
\begin{cases} y'= f(t,y), a\leq t \leq b \\ y(a) = \alpha \end{cases}
a partir de y(ti+1) = y(ti) + h T(2) (ti, y(ti))
Donde h es el tamaño de paso.
Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.
En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:
Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.
Determine la cantidad de contaminación s(t) para
t = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.
Tema 2. (20 puntos) El meteorólogo Edward Lorenz propuso inicialmente el siguiente sistema para predecir el comportamiento del clima:
\begin{cases} x'(t) = \alpha (y(t) - x(t)) \\ y'(t) = \rho x(t) - y(t) - x(t) z(t) \\ z'(t) = -\beta z(t) + x(t) y(t) \end{cases}Para su estudio eligió los parámetros α = 10, β = 8/3 , ρ=28 con las condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 7, z(0) = 7
Use el método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden con h = 0.25 para calcular la solución cuando t=1
Referencia: Chapra 28.2 p833 pdf857
Tema 2. Resolver el problema de valor inicial, usando el método de Taylor con n=2 .
y'= (1-2x) y^2 0\leq x \leq 1 y(0) = -\frac{1}{6}, h = 0.2a. Escribir el algoritmo para la función específica dada.
b. Presentar la tabla de resultados.
Tema 2. Resolver el problema de valor inicial:
\frac{\delta y}{\delta x} -\frac{y}{x} = xe^x y(1) = e-1, 1\leq x \leq 3a. Escribir el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden para la función específica f(x,y).
b. Escribir una tabla de resultados, con h=0.2