Ecuaciones Diferenciales Parciales
Tema 4. Aproxime la solución de la EDP elíptica:
\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}1 < x < 2
1 < y < 2
use h = k = 0.5
Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{\pi ^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} =00 ≤ x ≤ 1, t>0
condiciones de borde: u(0,t) = u(1,t) = 0, t>0,
condiciones iniciales u(x,0) = cos(π(x-0.5)), 0 ≤ x ≤ 1
a) Use dx = 0.2 y dt = 0.01. Realize 3 pasos en el tiempo.
b) Estime el error.
c) Calcule la temperatura promedio para t=0 como el área bajo la curva, mediante el método de Simpson. Repita para t=0.01 y calcule el porcentaje que disminuye.
Rúbrica: Construir la malla hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i,j hasta 5 puntos, calcular el estimado de u(i,j) hasta la tercera fila hasta 5 puntos, calcular la temperatura media estimada hasta 5 puntos.
Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{4}{\pi ^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt\ x \lt 4, 0\lt t u(0,t) = u(4,t) = 0, 0\lt t u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi}{4}x \Big) \Big( 1 + 2 \cos \Big( \frac{\pi}{4}x\Big)\Big) 0 \leq x \leq 4a) Use n=20 en el sentido de x; y m=10, obtenga el modelo (solo planteado).
b) Aproxime la solución con n=4, hasta 2Δt, y
c) estime el error en el punto P(x1, t1)
Tema 3. La ecuación de Poisson se puede escribir en tres dimensiones como
\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2} = f(x, y ,z)a. Plantee las Temperaturas dentro de un cubo unitario con condiciones de frontera cero y f = -10. Utilice Δx = Δy = Δz = 1/3
b. Utilice el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema en el literal a, (realice tres iteraciones y estime el error)
Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,
\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2c}{\partial x^2} - U\frac{\partial c}{\partial x} - kcDonde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),
donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.
Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.
Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.
Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)
Tema 3. En un tubo de órgano musical, la presión del aire p(x,t) se rige por la ecuación de onda 
Donde L es la longitud del tubo y c es una constante física.
Si el tubo se encuentra abierto, las condiciones de frontera estarán dadas por:
p(0,t) = p0
p(L,t) = p0
Si el tubo está cerrado en el extremo donde x=L, las condiciones de frontera serán:
p(0,t) = p0
\frac{\partial p(l,t)}{\partial x} = 0
Suponga que c=1, L=1 y que las condiciones iniciales son
p(x,0) = p0 cos(2πx)
\frac{\partial p(x,0)}{\partial t} = 0
0 \leq x \leq L
a. Aproxime la presión de un tubo abierto usando las diferencias finitas con p0 = 0.9 en x = 1/2 para t = 0.5 y t = 1,
b. Modifique el procedimiento del literal a para el problema del tubo de órgano cerrado con p0 = 0.9 y luego aproxime p(0.5 , 0.5) y p(0.5 , 1) usando h = 0.1 y k = 0.1
Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5Con las condiciones de frontera:
u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5 u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1Usando un tamaño de paso hx = hy = 0.25
Tema 4. Resolver el siguiente problema de valor en la frontera:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2 0\lt x \lt 1 0\lt y \lt 1 \begin {cases} u(0,y)=0\\ u(1,y)=\sinh (\pi) \sin (\pi y), & 0\leq y \leq 1\\ u(x,0) = u(x,1) = x(1-x), & 0\leq x \leq 1 \end{cases}con h = k = 1/3
Tema 3. Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2t> 0 , 0≤ x ≤ 1
\begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0, & t\gt0 \\u(x,0) = \sin (\pi x) + x(1-x) \end{cases}Con h= 0.25 y k=0.04, realizar solo dos iteraciones en el tiempo (j=1,2) .
Indicación: Para establecer el algoritmo, utilice la fórmula progresiva para la primera derivada.
Tema 4. Deducir el algoritmo de diferencia finita que aproxima la solución de la ecuación de onda dada:
\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} 0\lt x \lt l, t \gt 0 \begin{cases}u(0,t) = u(l,t) , & t\ge 0 \\u(x,0) = f(x) , & 0\leq x \leq l\\ \frac{\delta u (x,0)}{\delta t} = g(x) , & 0\leq x \leq l\end{cases}Donde las funciones f y g son del espacio C∞ [0,l], el mismo intervalo para las x.