integración numérica - Métodos numéricos

2025-08-262025-09-04

2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica

2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

Tema 1 (35 puntos) Un centroide es un promedio ponderado, como el centro de gravedad, pero ponderado con una propiedad geométrica como el área o el volumen, y no con una propiedad física como el peso o la masa.

Esto significa que los centroides son propiedades de formas puras, no de objetos físicos. Para el caso particular dado en f(x), los resultados de los integrales permiten obtener las coordenadas del punto medio:

$\bar{x} = \frac{Q_y}{A}$	$\bar{y} = \frac{Q_x}{A}$
$Q_y = \int x dA = \int_0^5 x^3 dx$	$Q_x = \int ydA = \int_0^5 \frac{x^4}{2} dx$
$A = \int f(x) dx = \int_0^5 x^2 dx$

Donde Qx, Qy corresponden al primer momento de área con respecto a cada eje. Realice el planteamiento de los integrales considerando que:

a. Para el integral con Qy use fórmulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

b. Para el integral con Qx use Cuadratura de Gauss de dos puntos.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función. Para A seleccione el método numérico de su preferencia.

d. Indique el resultado obtenido para el integral requerido y la cota de error.

e. Determine las coordenadas del centroide según las fórmulas presentadas.

f. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos)

Referencia: [1] Engineering Statics Open and Interactive. Daniel W. Baker, William Haynes. https://engineeringstatics.org/Chapter_07-centroids.html

[2] Centroide de una parábola mediante integración. Ingeniería elemental. 13 octubre 2022.

2025-08-262025-08-31

s2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica

Ejercicio: 2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica

Para el integral con Qy use fórmulas de Simpson con al menos 3 tramos,

Q_y = \int x dA = \int_0^5 x^3 dx

a. Para el intervalo de integración [0,5], al considerar 3 tramos, h = 5/3 que es mayor que 1. Se prefiere h≤1 de tal forma que al calcular los errores, la cota del error disminuya por estar en el orden O(h^k), por lo que tramos será al menos 5 obteniendo h=1.

xi = [ 0, 1, 2, 3, 4, 5]

c. Con 5 tramos, 6 muestras, se usarán Simpson de 3/8 y luego Simpson de 1/3.

I_{3/8} = \frac{3}{8} (1) \left( 0^3+3(1^3)+3(2^3)+3^3\right) = 20.25

I_{1/3} = \frac{1}{3} (1) \left( 3^3+4(4^3)+5^3\right) = 136

d. $Q_y =I_{3/8} + I_{1/3} = 20.25+136 =156.25$

cota de error = O(h⁵)+O(h⁵) = 2[ O(h⁵)] = 2(1⁵) = 2

Fórmulas compuestas, tramos: 5
métodos 3:Simpson3/8, 2:Simpson1/3, 1:Trapecio, 0:usado
tramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]
['S38', 20.25]
['S13', 136.0]
tramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]
Integral: 156.25

Para el integral con Qx use Cuadratura de Gauss de dos puntos

Q_x = \int ydA = \int_0^5 \frac{x^4}{2} dx

b. Para cuadratura de Gauss, se tomarían al menos 3 tramos, dado que la cota de error por truncamiento se aproxima con la ≅ f⁽⁴⁾( x )

xi = [ 0, 5/3, 10/3, 5]

c. intervalo [0, 5/3]

x_a = \frac{5/3+0}{2} - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \frac{5/3-0}{2} =0.352208

x_b = \frac{5/3+0}{2} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \frac{5/3-0}{2} =1.314458

I_0 = \frac{5/3-0}{2} \left( f(x_a) +f(1.314458) \right)

= \frac{5/3-0}{2} \left( \frac{(0.352208)^4}{2} +\frac{(1.314458) ^4}{2} \right) = 1.2502

d. usando el algoritmo se puede obtener el resultado de:

[xa,xb,f(xa),f(xb)],area
[0.352208, 1.314458, 0.007694, 1.492648] 1.250285
[xa,xb,f(xa),f(xb)],area
[2.018874, 2.981125, 8.306298, 39.490340] 39.830532
[xa,xb,f(xa),f(xb)],area
[3.685541, 4.647791, 92.251874, 233.322542] 271.312014
Integral:  312.39283264746234

Para el integral de área A:

se plantea usando Simpson de 3/8 o cualquier otro método numérico. con h=1

xi = [ 0, 1, 2, 3, 4, 5]

A = \int f(x) dx = \int_0^5 x^2 dx

I_{3/8} = \frac{3}{8} (1) \left( 0^2+3(1^2)+3(2^2)+3^2\right) = 9

I_{1/3} = \frac{1}{3} (1) \left( 3^2+4(4^2)+5^2\right) = 32.6666

d. $Q_y =I_{3/8} + I_{1/3} = 9+32.6666 =41.6666$

cota de error = O(h⁵)+O(h⁵) = 2[ O(h⁵)] = 2(1⁵) = 2

usando el algoritmo se obtiene:

Fórmulas compuestas, tramos: 5
métodos 3:Simpson3/8, 2:Simpson1/3, 1:Trapecio, 0:usado
tramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]
['S38', 9.0]
['S13', 32.666666666666664]
tramos iguales en xi: [3 0 0 2 0 0]
Integral: 41.666666666666664

e. Determine las coordenadas del centroide según las fórmulas presentadas.

\bar{x} = \frac{Q_y}{A}= \frac{156.25}{41.6666} = 3.75

\bar{y} = \frac{Q_x}{A}= \frac{312.5}{41.6666} = 7.5

literal f se deja como tarea.

2025-01-292025-08-16

2Eva_2024PAOII_T1 Área de incendio forestal en Cerro Azul

2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

Tema 1 (30 puntos) El lunes 2 de diciembre del 2024, el cuerpo de Bomberos informó sobre un incendio forestal en el Km 33 de vía Perimetral en Guayaquil, sector Cerro Azul.

Se desplegaron ocho unidades de bomberos, tres tanqueros, un camión cisterna, una ambulancia y un vehículo comando de accidentes [1]. La voracidad de las llamas obligó a las autoridades a trasladar más recursos humanos y materiales, 120 uniformados, 36 vehículos contra-incendios y un helicóptero. Se informó que hasta las 16h30, se habían usado 12000 litros de agua en la zona.

Se requiere determinar el área forestal afectada y delimitada por las coordenadas relativas representadas en la imagen.

Frontera superior

xi = [410, 450, 550, 520, 586, 606, 626, 705, 830, 884, 934, 984, 1004, 1024]
yi = [131, 194, 266, 337, 402, 483, 531, 535, 504, 466, 408, 368,  324,  288]

Frontera Inferior

xj = [410, 600, 790, 980, 1024]
yj = [131, 124, 143, 231,  288]

a. Calcular los tamaños de paso en cada frontera y plantear la integración con fórmulas compuestas

b. Desarrollar las expresiones del área para las coordenadas de la frontera superior, según el literal a.

c. Realice los cálculos para la frontera inferior y encuentre el área afectada.

d. Estime la cota de error en los cálculos.

Nota: dxi = np.diff(xi) calcula los tamaños de paso de un vector

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Frontera superior

xi	410	450	550	520	586	606	626	705	834	884	934	984	1004	1024
yi	131	194	266	337	402	483	531	535	504	466	408	368	324	288

Frontera Inferior

xj	410	600	790	980	1024
yj	131	124	143	231	288

Referencia: [1] Bomberos atienden voraz incendio forestal en Guayaquil. EL COMERCIO. 2 de diciembre 2024. https://www.elcomercio.com/actualidad/bomberos-atienden-incendio-forestal-guayaquil.html

[2] Incendios forestales han afectado 1.656 hectáreas durante la época seca en Guayaquil. Eluniverso.com. 4 de diciembre 2024. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/incendios-forestales-han-afectado-1656-hectareas-durante-la-epoca-seca-para-guayaquil-nota/

[3] Noticiero de Guayaquil (Primera Emisión 03/12/24) desde [1:52,17:03]. Teleamazonas Ecuador.

2024-08-282024-08-28

2Eva_2024PAOI_T2 Salto Bungee longitud total de cuerda

2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

Tema 2. (40 puntos)
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.

2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.

ti	vi
0	0.0000
0.25	2.4479
0.5	4.8849
0.75	7.3001
1	9.6832
1.375	13.1763
1.75	16.5451
2.125	19.7641
2.4	22.0193
2.55	23.2075

2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:

v = -3.979t² + 21.557t – 5.3997

Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.

d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.

Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia:[1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

[2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! - devinsupertramp. 23 mar 2015.

https://www.youtube.com/watch?v=l9m4cW2yxy0

2024-02-152024-02-20

3Eva_2023PAOII_T3 Volumen por solido de revolución de un peón

3ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 15/Febrero/2024

Tema 3 (40 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.

El volumen generado al girar la región de una función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.

V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx

Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada y limitada los puntos de la tabla del tema anterior y la gráfica 2D mostrada.

Realice el ejercicio usando para los integrales el método de integración por Cuadratura de Gauss para al menos lo tres primeros intervalos.

xi=[ 0, 3, 5.  , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60]
yi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768,  9.67,  4.64,  4.64,  8.9768, 0.]

Para el desarrollo de cada intervalo:
a. Realice el planteamiento de las formulas de volumen de sólido de revolución.
b. Desarrolle las expresiones completas con valores numéricos que permitan revisar sus operaciones.
c. Indique el resultado obtenido para cada integral.
d. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada presentada en la gráfica usando el algoritmo en Python.
e. Adjunte sus resultados.txt y algoritmos.py

Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (12 puntos), literal c (6 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz. Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf

[2]Curso Torno Madera. Práctica de realización de peón de ajedrez. Taller Escuela Pinocho. 21 octubre 2021

2024-01-312025-09-12

2Eva_2023PAOII_T1 Volumen por solido de revolución

2da Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

Tema 1 (30 puntos) Los sólidos de revolución se generan al girar una región plana alrededor de un eje.

V = \int_{a}^{b} \pi (f(x))^2 dx

El volumen generado al girar la región de la función f(x) en el intervalo [a,b], se puede calcular como el volumen del disco de radio f(x) y anchura dx.

f(x) = \sqrt{\sin (x/2)}

g(x) = e^{x/3} - 1

Calcule el volumen de revolución generado por la región sombreada de la gráfica que ese encuentra entre: f(x) y g(x).
Las funciones se usan en el intervalo [0.1 , 1.8]:

Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio, considerando que

a. Para el integral con f(x), use formulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

b. Para el integral con g(x) use Cuadratura de Gauss de dos puntos con al menos 2 tramos.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.

e. Determine el volumen de revolución generado por la región sombreada

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] Volúmenes de sólidos de revolución. Moisés Villena Muñoz.Capítulo 4 p78. https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
[2] 8.2.2 Gráficas en 3D en Python, sólidos de revolución. http://blog.espol.edu.ec/ccpg1001/graficas-en-3d-en-python-sistema-de-ecuaciones-y-planos/
[3] Volumes: Washer Method Animation 2. Stacey Roshan. 24 Abril 2016.

2023-09-132024-01-18

3Eva_2023PAOI_T2 Área devastada por incendios

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 2 (25 puntos) Se requiere determinar el área urbana a restaurar, que devastada por incendios en una isla del océano Pacífico, se encuentra delimitada por la playa y los puntos mostrados en la figura.

Se dispone de algunos puntos de referencia tomados desde imágenes de satélites mostrados en la tabla.

a. Plantear el ejercicio indicando el método de integración numérica a usar. Justifique su selección.

b. Desarrolle el método para los datos de la frontera superior

c. Realice los cálculos para la frontera inferior delimitada por playa

d. Estime la cota de error en los cálculos.

Frontera superior

X	350	300	350	420	444	484	504	534	568	620	660	720	780	740	800	800
Y	0	315	315	315	320	336	400	415	462	510	550	550	490	390	390	150

Frontera inferior

X	350	459	666	800
Y	0	63	130	150

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

xs = [350, 300, 350, 420, 444, 484, 504, 534, 568, 620, 660, 720, 780, 740, 800, 800]
fs = [0, 315, 315, 315, 320, 336, 400, 415, 462, 510, 550, 550, 490, 390, 390, 150]
xi = [350, 459, 666, 800]
fi = [0, 63, 130, 150]

Referencia: Incendios forestales devastan partes de la isla de Maui. DW español. 11 agosto 2023.

2023-08-312023-09-01

2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia

2da Evaluación 2023-2024 PAO I. 29/Agosto/2023

Tema 1 (30 puntos)
Una academia encarga a un joyero un modelo de medalla cuyo costo unitario se determina por el área descrita entre las funciones f(x) y g(x) presentadas.

Se considera que el grosor de la medalla es único e independiente de la forma de la medalla.

f(x) = 2-8\Big( \frac{1}{2} - x \Big)^2

0 \le x \lt 1

g(x) = -\Big( 1-x\Big)\ln \Big( 1- x \Big)

Para el desarrollo numérico, use diferentes métodos de Simpson para cada función.

a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio.

b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función.

d. Indique el resultado obtenido para el área requerida y la cota de error.

e. Encuentre el valor del tamaño de paso si se requiere una cota de error de 0.00032

Nota: en Python ln(x) se escribe np.log(x).

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: Star Trek https://intl.startrek.com/
¿A quien se le ocurrió crear la moneda? | Discovery en Español Youtube.com 8 nov 2016.

2023-01-242023-07-04

2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (30 puntos) La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la fórmula:

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt

Donde:
v   = velocidad hacia arriba,
u   = 1800 m/s, velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
m₀ = 160 000 kg, masa inicial del cohete en el tiempo t = 0,
q    = 2 500 kg/s, tasa de consumo de combustible y
g    = 9.8 m/s2, aceleración de la gravedad

Para determinar la altura alcanzada por el cohete en un vuelo de 30 segundos desarrolle la parte analítica con los siguientes métodos y compare los resultados.

a. Utilice la regla de Simpson, en el planteamiento incluya la cantidad de tramos o segmentos a usar

b. Use el método de cuadratura de Gauss para la misma cantidad de segmentos que el literal anterior

c. Compare y comente los resultados, sobre los errores entre los métodos.

Rúbrica: Planteamiento de tramos (5 puntos), integral con Simpson (10 puntos), cuadratura de Gauss (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Chapra ejercicio 24.46 p701. NASA y SpaceX realizan con éxito el despegue del primer vuelo de EE. UU. hacia la Estación Espacial Internacional en nueve años. EFE 30 mayo 2020 https://youtu.be/npcgpQUKAbg

2022-08-312022-08-31

2Eva_2022PAOI_T1 Comparar integrales numéricos Simpson y Cuadratura de Gauss

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 1. (30 puntos) Determine el área bajo la curva dada por la expresión mostrada para el intervalo de x entre [0,3]:

A = \int_0^3 \frac{e^x \sin(x)}{1+x^2} \delta x

Desarrolle el ejercicio mostrando las expresiones completas para integración numérica usando:

a) Un método de Simpson aplicado al menos dos veces para el intervalo del integral. Determine el tamaño de paso propuesto y el número de puntos necesario para usar un solo método.

b) El método de Cuadratura de Gauss de dos puntos, usando dos tramos en el intervalo.

c) Estime el error de integración para los literales a y b. Compare los resultados obtenidos.

Rúbrica: Literal a. tamaño de paso (5 puntos) expresiones correctas y completas (10 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra 5Ed. ejercicio 22.14 p667