Integración Numérica
Tema 3. Con respecto a los datos del Tema 2, aproxime la integral de g(x) con el método de la cuadratura de Gauss de dos términos usando n = 1, 2, 3 subintervalos.
Con éstos resultados estime la precisión de la respuesta del integral.
Previamente debe usar los datos para aproximar g(x) mediante un polinomio de interpolación.
Tema 2. Sea la función y = f(x), 0≤x≤2, con los nodos xi y los valores f( xi ), como se indica:
| x | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
| y=f(x) | 0.0 | 0.8 | 0.9 | 0.7 | 0.3 |
Se requiere evaluar la siguiente integral relacionada con los datos dados:
A = \int_0^2 g(x) \delta x = \int_0^2 \frac{1}{1+y'} \delta xAproxime la integral de g(x) con el método de Simpson 1/3, con n=4 subintervalos.
Previamente obtenga los puntos de g(x) aproximando el valor de la derivada y' con una fórmula de orden 2.
Estime el error en la aproximación de la derivada.
xi = [ 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0] yi = [ 0.0, 0.8, 0.9, 0.7, 0.3]
Tema 1. Dada la integral
\int_0^1 \frac{a^x}{(x-1)^{2/5}} \delta xDetermine:
a. Si la integral converge, justifique adecuadamente
b. Su valor aproximado, en caso de que la integral converja, usando Simpson compuesta con n=4
Tema 2. Dada la función
f(x) = \begin{cases} \sin (x) , & 0\leq x \lt \frac{\pi}{2}\\ - \frac{2x}{\pi} +2, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}a. Graficar la función
b. Integrar numéricamente con la fórmula compuesta de Simpson, n=6
c. Determinar el error absoluto del valor determinado en el literal b.
Tema 3. Demostrar la fórmula de Simpson:
\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = \frac{h}{3} \Big[f x_0 + 4 f x_1 + f x_2 \Big] - \frac{h^5}{90} f^4 \xiDonde h es la distrancia entre los nodos y ξ ∈ x0,x2
Tema 3. (25 puntos) Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:
\int_R \int x^2 (\sqrt{9 - y^2}) \delta ADonde R es la región acotada por: x2+y2 =9 .
Usar n=m=4
Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6
\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta xRúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)
Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x
Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)
Tema 2. La matriz F tiene la altura de una montaña en una región rectangular con Δx = Δy =0.2 
Aproxime el volumen de la región bajo la superficie utilizando la regla de Simpson 1/3 en ambas direcciones
F = [[2.3, 2.5, 3.1, 3.2, 2.8],
[2.4, 2.6, 2.9, 2.8, 2.7],
[2.6, 2.8, 3.1, 3.0, 2.6]]
Tema 3. (30 puntos) Para que la siguiente función sea útil en el cálculo de probabilidad, se debe encontrar el valor de k tal que el área bajo f(x) sea igual a 1.
f(x)=\begin{cases} kxe^{-x^2}, & x\geq 0\\ 0, & x\lt 0 \end{cases}Encuentre un valor aproximado de k con el siguiente procedimiento.
a. Separe el integral en dos intervalos [0, 1], [1, ∞]. Mantenga k fuera del integral.
b. Integre en el intervalo [0,1] con la fórmula de Simpson (m=2)
c. Mediante un cambio de variable elimine el límite ∞ en el segundo intervalo e integre aplicando una vez la Cuadratura de Gauss. Recuerde que esta fórmula no requiere evaluar la función en los extremos del intervalo de integración.
d. Obtenga el valor de k igualando a 1 la suma de los dos resultados anteriores