Método de Newton-Raphson para raíces de ecuación de una variable
Tema 1. Se requiere aproximar el punto de la curva dada por
y=2x^{5}-3xe^{-x}-10ubicado en el tercer cuadrante, donde su recta tangente sea paralela al eje X.
Determine:
a) La ecuación que corresponda a la solución del problema.
b) Un intervalo donde exista la solución requerida. Justifique su respuesta.
c) La aproximación de la solución, usando el método de Newton, con una tolerancia de 10-6.
Tema 1. Los ingresos netos de un fondo de inversiones se puede modelar mediante:
C(t)=Ate^{-t/3}Unidades en millones de dólares después de inyectarle A millones de dólares, t es tiempo en años. 
a) Encuentre el tiempo t en el que el fondo de inversiones C(t) alcanza el máximo y determine el monto de la inversión inicial A necesaria para que el máximo sea igual a un millón de dólares.
b) Encuentre el tiempo t en el que el nivel del fondo de inversiones disminuye a un cuarto de millón de dólares. Use el método de Newton con una aproximación de 0.0001
Tema 1. Determine de ser posible, el valor del parámetro α > 0 , tal que
\int_{\alpha}^{2\alpha} x e^{x}dx = 10a) Justifique la existencia del parámetro α.
b) En caso de existir el parámetro α , aplicar el método de Newton para aproximar el valor de α , con una tolerancia de 10−4 .
Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).
f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \piEncuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.
Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del día y del día de la semana.
Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:
p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)0≤x≤4
x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos
a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p
b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001
c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.
Gráfica de referencia
Tema 1. (30 puntos) Suponga que el precio de un producto f(x) depende de la cantidad disponible x, con la siguiente relación:
f(x) = 50 ln(x) 10 \leq x \leq 40a) Determine la cantidad del producto para que el precio sea igual a 160.
Use el método de Newton con una precisión 10-4,
b) Encuentre un intervalo [a, b] tal que para cualquier aproximación inicial que pertenezca a ese intervalo, el método de Newton converge en el literal anterior.
Tema 1. (30 puntos) 
Se propone el siguiente modelo para describir la demanda de un producto, en donde t es tiempo en meses:
a) Encuentre el primer valor de t para el cual la demanda alcanza el valor de 80 unidades.
Use el método de Newton para los cálculos.
Elija el valor inicial y muestre los valores intermedios.
Calcule la respuesta con cuatro decimales exactos.
b) Encuentre el valor de t para el cual la demanda alcanza el valor máximo.
Use el método de Newton para los cálculos .
Elija un valor inicial y muestre los valores intermedios.
Calcule la respuesta con cuatro decimales exactos.
Tema 1. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:
c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias sea menor o igual a 9.
a) Encuentre un intervalo en el que exista una raíz de la ecuación
b) Elija un valor inicial del tiempo tal que el método de Newton-Raphson converja a la solución requerida.
c) Calcule la solución con el método de Newton-Raphson con una precisión de 0.001
Referencias: Contaminación del Agua - BrainPOP Español.
Tema 3. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:
c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 unidades o menos.
a) Determine un intervalo de existencia de la raíz de la ecuación. (Grafique)
b) Encuentre un valor de t tal que la convergencia del método de Newton-Raphson este garantizada.
c) Aproxime la raíz con el método de Newton-Raphson, indicando la cota del error.
Referencias: Contaminación del Agua - BrainPOP Español.
Tema 3. Se requiere factorar el polinomio:
P_3(x) = 2x^3-5x^2 + 3x-0.1 P_3(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)Utilizando el siguiente procedimiento:
a. Calcule r1 resolviendo P3(x) = 0 con Newton, ε = 0.0001
b. Obtenga el polinomio cociente Q2(x), a partir de P3(x) = (x - r1)Q2(x)
c. Calcule r2 y r3 de la ecuación Q2(x) = 0
d. Escriba los otros factores de Q2(x) = (x - r2)(x - r3)
Observe la gráfica del problema para la solución
