1.3 Polinomio de Taylor – Ejemplos con Sympy-Python

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]
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1. Polinomio de Taylor – Serie de Taylor

La serie de Taylor proporciona un medio simplificar una función f(x) alrededor de punto x₀ de referencia mediante un polinomio. Los términos del polinomio p(x) se construyen con el valor de la función y sus derivadas en x₀.

P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

Cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio. Como ejemplo, la expresión p(x) para cuatro términos de la serie es:

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Mientras más términos se añaden, la aproximación del polinomio p(x) se adapta más a f(x) en un mayor intervalo alrededor del punto de referencia x₀.

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

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2. Ejemplo 1. Polinomio de Taylor para cos(x)

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 ejemplo 3  p11, 10Ed ejemplo 3 p8. Chapra, 4.1 p80.   Taylor Series (Wikipedia)

Para la siguiente función trigonométrica f(x), alrededor de x₀=0, encontrar :

f(x) = \cos (x)

a) el segundo polinomio de Taylor (n=2),
b) el tercer polinomio de Taylor (n=3), para aproximar cos(0.01)
c) con el resultado anterior y su término residuo aproximar

\int_{0}^{0.1} \cos(x) dx

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[Ejemplo 2  raíz() ]
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3. Desarrollo analítico

La expresión para los primeros términos del polinomio de Taylor de f(x) requiere determinar primera, segunda y tercera derivada:

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Se desarrollan las derivadas y se se evalúa cada expresión en x₀ = 0:

f(x) = cos(x)	f(0) = 1
f'(x) = -sen(x)	f'(0) = 0
f”(x) = -cos(x)	f”(0) = -1
f’”(x) = sen(x)	f’”(0) = 0
f4(x) = cos(x)	f4(0) = 1

Según el literal a del ejercicio, para n=2 y x₀=0:

\cos (x) = 1 + \frac{0}{1} (x-0) + \frac{-1}{2}(x-0)^2 + +\frac{\sin(\xi(x))}{6}(x-0)^3

A la expresión se añade un término más para estimar el error, como residuo o error de truncamiento, evaluado en ξ(x).

\cos (x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{\sin(\xi(x))}{6}x^3

con lo que si x=0.01

\cos (0.01) = 1 - \frac{1}{2}(0.01)^2 + \frac{1}{6}(0.01)^3 \sin(\xi(x)) = 0.99995 + 0.16 \text{x} 10^{-6} \sin(\xi(x))

El término del error es es del orden 10^-6, la aproximación coincide por lo menos con los cinco primeros dígitos.

El residuo o error de truncamiento ξ(x) está entre 0 y x,

0<ξ(x) <0.01

Observe que los términos impares evaluados en x₀=0 se anulan, por lo que el polinomio solo cambia con términos pares.

Tarea: revisar y continuar con los siguientes literales.

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[Ejemplo 2  raíz() ]
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4. Desarrollo de Algoritmo con Sympy-Python

Una forma de obtener el polinomio de Taylor es crear una función que resuelva el polinomio. Por facilidad en el ejercicio, para obtener la expresión de las derivadas, se usan funciones matemáticas expresadas de forma simbólica con Sympy en Python.

De ser necesario, revise los conceptos sobre: Sympy – Fórmulas y funciones simbólicas

El algoritmo usa la forma simbólica de la expresión para crear el polinomio. La variable independiente x se establece como símbolo.

El procedimiento consiste en crear cada término k-ésimo y se añade a la expresión del polinomio. El  términok se construye por partes, primero se obtiene la derivada, que luego se evalúa en derivadax0 y se incluye en la expresión del término.  Se acumulan los términok y al final se presenta la expresión del polinomio

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con Sympy
# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.

import numpy as np
import math
import sympy as sym

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.cos(x)      # f(x) por aproximar
x0 = 0          # x0 de referencia o conocido
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO

k = 0 # contador de términos
polinomio = 0
while (k < n):
    derivada   = fx.diff(x,k)
    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
    divisor   = math.factorial(k)
    terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
    polinomio = polinomio + terminok
    k = k + 1

# SALIDA
print(polinomio)

Se usa un contador k de términos para el control de la construcción de la expresión final. Un ejemplo de ejecución del algoritmo con n=3:

1 - x**2/2

Se observa que el término 2do es cero. Para una interpretación gráfica del resultado, luego el polinomio se evalúa en el intervalo [a, b] que incluya x₀.

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[Ejemplo 2  raíz() ]
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5. Algoritmo en Python como función

Puede reutilizar el algoritmo para el polinomio de Taylor presentado en el Ejemplo01 al convertirlo en una función de programación politaylor(). El procedimiento básico del algoritmo se agrega a una función def-return con el nombre politaylor() que entrega la expresión simbólica del polinomio p(x).

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con Sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.

# INGRESO
x  = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.cos(x)      # f(x) por aproximar
x0 = 0          # x0 de referencia o conocido
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO
polinomio = politaylor(fx,x0,grado)

# SALIDA
print('grado:',grado)
print('polinomio:'+str(polinomio))

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[Ejemplo 2  raíz() ]
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6. Gráfica de f(x) vs polinomio

Para comparar los resultados, se procede a realizar la gráfica de f(x) vs el polinomio.

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Para más detalles, puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea .

• Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
• Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xi
• Se evalúa fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fi y pxi.
• Se realiza la gráfica entre xi vs fi y pxi

# GRAFICA --------------------
import matplotlib.pyplot as plt

# intervalo de gráfica usando xi como referencia
a = - np.pi # izquierda
b = np.pi   # derecha
muestras = 21   # para la gráfica
titulo = 'Polinomio de Taylor para f(x)'

# Expresiones matemáticas símbolicas a numérica
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# muestras para la gráfica
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fxn(xi)
pxi= pxn(xi)

# lineas en gráfica
plt.plot(xi,fi,label='f(x)')
plt.plot(xi,pxi,label='p(x)')

# entorno de gráfica
plt.xlabel('x')
plt.xlabel('y')
plt.title(titulo)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

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7. Función de Sympy para polinomio de Taylor

Sympy dispone de la función sym.series(fx,x,x0,n) para generar el polinomio de Taylor.  La función tiene parámetros semejantes a los usados en los ejemplos anteriores y los algoritmos. Se muestra un ejemplo del uso de la función como referencia.

>>> import sympy as sym
>>> x = sym.Symbol('x')
>>> fx = sym.cos(x)
>>> polinomio = sym.series(fx,x,x0=0, n=3)
>>> polinomio
1 - x**2/2 + O(x**3)
>>> 

El curso de métodos numéricos tiene mayor atención en los pasos o algoritmos que implementan los conceptos. Los ejercicios desarrollan: primero, la parte la analítica/conceptual aplicadas a escribir con papel y lápiz, segundo, busca ejercitar habilidad de convertir los pasos usados en el papel a un algoritmo de computadora. Con ambas partes, se busca ampliar así la capacidad de análisis e interpretación de resultados, errores de aproximación, convergencia, usando gráficas semejantes a la descrita a continuación.

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[Ejemplo 2  raíz() ]
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8. Ejemplo 2. Polinomio de Taylor y el error de aproximación

Referencia: Burden 7Ed cap 1.1 Ejercicio 8. Burden 10Ed p8

Obtenga el tercer polinomio de Taylor P₃(x) para la función f(x), alrededor de x₀=0.

f(x) = \sqrt{x+1}

Aproxime el resultado para x=0.5, 0.75, 1.25 y 1.75 usando P₃(x) y calcule los errores reales.

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8.1 Desarrollo analítico

Las instrucciones requieren calcular los errores reales como la diferencia entre f(x) y el polinomio de Taylor p(x).

Usando los pasos del ejemplo01, se determina el polinomio de Taylor con n=3. Verifique su respuesta con el polinomio mostrado y calcula los valores de la tabla:

P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 +\frac{1}{16} x^3

x	P3(x)	\sqrt{x+1}	|diferencia ó error|
0.5	1.22656250000000	1.22474487139159	0.00181762860841106
0.75
1.25
1.5

Realice las observaciones a los resultados obtenidos.

Al realizar la gráfica con los valores de la tabla, se puede observar que al alejarse x del punto de referencia x₀, el error aumenta. El error se marca en amarillo entre las curvas f(x) y el polinomio p(x).

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

8.2 Algoritmo en Python para el ejemplo 2

Puede reutilizar el algoritmo para el polinomio de Taylor presentado en el Ejemplo01 al convertirlo en una función de programación politaylor(). El procedimiento basico del algoritmo se agrega a una función def-return con el nombre politaylor() que entrega la expresión simbólica del polinomio p(x).

El ejercicio continúa al evaluar p(x) en un nuevo punto xi, para calcular el error_real respecto al valor real de la expresión f(x).

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# función en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import math
import sympy as sym

def politaylor(fx,x0,n):
    # Calcula n términos del polinomio de Taylor
    # fx es simbólica, x0 es el punto de referencia.
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)

# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1.1 Ejecicio 8, Burden p15, pdf 25
# Calcule el error con polinomio Taylor grado 3

# INGRESO
x = sym.Symbol('x') # variable independiente
fx = sym.sqrt(x+1)  # f(x) por aproximar

x0 = 0   # x0 de referencia o conocido
xi = 0.5 # donde se evalúa el polinomio para error
n  = 3   # Términos de polinomio

# PROCEDIMIENTO

# Referencia, f(xi) real
fxi = fx.subs(x,xi)

# Aproximado con Taylor
polinomio = politaylor(fx,x0,n)
pxi = polinomio.subs(x,xi)

error_real = fxi - pxi

# SALIDA
print(' Taylor:     ', polinomio)
print(' xi:         ', xi)
print(' estimado  : ', pxi)
print(' real:       ', fxi)
print(' error real: ', error_real)

cuyo resultado para xi=0.5 es:

 Taylor:      x**3/16 - x**2/8 + x/2 + 1
 xi:          0.5
 estimado  :  1.22656250000000
 real:        1.22474487139159
 error real:  -0.00181762860841106

complete la tabla usando también el algoritmo en Python

Taylor:  [ Ejemplo cos(x) ] [ analítico ] [ algoritmo ] [ función ] [ gráfica ]
[Ejemplo 2  raíz() ]

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8.3 Gráfica del Error entre f(x) y p(x)

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Para más detalles, puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea .

• Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
• Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xin
• Se evalúa fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fxni y pxni.
• Se realiza la gráfica entre xin vs fxni y pxni
• Para destacar el error de truncamiento, se rellena el espacio en color amarillo entre fxni y pxni, usando plt.fill_between() .
• Para resaltar x0, se traza una línea vertical.

El algoritmo del ejercicio se continúa añadiendo las siguientes instrucciones:

# intervalo de gráfica usando xi como referencia
a = x0        # izquierda
b = x0 + 3*xi # derecha
muestras = 51 # para la gráfica

# cambia a forma lambda, expresión numérica Numpy
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# evaluar en intervalo
xin = np.linspace(a,b,muestras)
fxni = fxn(xin)
pxni = pxn(xin)

# Gráfica
plt.plot(xin,fxni,label='f(x)')
plt.plot(xin,pxni,label='p(x)')

plt.fill_between(xin,pxni,fxni,color='yellow')
plt.axvline(x0,color='green')

plt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.show()

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[Ejemplo 2  raíz() ]