Bases numéricas se usan para diferentes propósitos, para interpretarlas apropiadamente se requieren algoritmos que usan cocientes, residuos y acumuladores.
Se presentan algunos ejercicios resueltos en los que se requiere realizar el cambio de bases numérica desarrollados con Python.
Para convertir el número Decimal 5 en Binario hay que descomponer el número en la nueva base numérica, para luego trabajar con los residuos y ubicar cada uno desde la posición menos significativa a la más significativa.
Las operaciones se basan principalmente en el uso de cocientes, residuos y acumuladores y el proceso se muestra en la figura:
Observe la diferencia en las operaciones para el divisor y la base, las operaciones son similares a las del ejercicio de Binario a Decimal.
Cambia el divisor y la ponderación usadas, sin embargo las operaciones seguirán siendo básicamente las mismas.
Con esta observación se pueden plantear los cambios de base con otras bases numéricas, por ejemplo la de base 8 también conocida como Octal.
[ Decimal a Binario ] [ Ejercicio ] [ Algoritmo ] || [ Binario a Decimal ] ..
3. Algoritmo Decimal a Binario
Puesto que el ejercicio es una variante del mostrado como Binario a Decimal, se muestra directamente su forma en: Diagrama de flujo, pseudo-código y en Python.
El ejemplo en seudo-código:
Proceso DecimalBinario
Leer decimal
binario ← 0
i ← 0
Mientras decimal > 0
digito ← decimal mod 2
decimal ← trunc(decimal/2)
binario ← binario+digito*10^i
i ← i + 1
FinMientras
Escribir binario
FinProceso
Algoritmo en Python
# Decimal a binario# INGRESO
decimal = int(input("número decimal: "))
# PROCEDIMIENTO
binario = 0
i = 0
while (decimal>0):
digito = decimal%2
decimal = int(decimal//2)
binario = binario+digito*(10**i)
i = i+1
# SALIDAprint("en binario: ",binario)
Resultados en Python
número decimal:5
en binario: 101
>>>
Ejercicios:
Realizar los algoritmos Binario a Decimal y Decimal a Binario usando el lazo Repita-Hasta.
Crear un algoritmo para convertir un número de base numérica x a base y.
Comprobar el algoritmo usando los valores: 23x númeroy. Sugerencia, convierta el número de la base x primero a decimal y luego transforme el resultado a la siguiente base numérica y.
Referencia: Baldor, Aurelio (1974). Capítulo III Otros sistemas de numeración. Aritmética de Baldor, Guatemala. Cultural Centroamericana S.A..https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
Los números binarios se conforman con los símbolos 0 y 1, que se combinan para representar cualquier número.
Una etiqueta de un producto en código de barras es la representación binaria del número que identifica el producto.
Para representar números superiores a 1 dígito, se aplica un método semejante al de formación de números decimales, combinando ordenadamente los símbolos. Se repiten las combinaciones de dígitos anteriores y se le añade un dígito para continuar la numeración
Decimal
Binaria
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
…
…
En el sistema binario se utiliza la ponderación por posición de dígito en la misma forma que en la numeración decimal, por ejemplo:
posición
3
2
1
0
ponderación
23
22
21
20
peso en decimal
8
4
2
1
Número en binario 5(10)=101(2)
=0*8+1*4+0*2+1*1
0
1
0
1
La posición más a la derecha es menos significativa y de menor ponderación o peso: 20
La siguiente posición hacia la izquierda tiene un peso equivalente a: 21
La siguiente posición a la izquierda usa un equivalente a: 23
Y así sucesivamente.
Se puede encontrar el valor decimal de un número binario cualquiera multiplicando el dígito correspondiente por el “peso” que tiene y sumando los resultados parciales.
Para convertir el número binario 101 a decimal, se realizan las operaciones de ponderación usando los residuos de la división para 10 del número en base 10.
La operación de residuo es la extracción de cada dígito empezando por el menos significativo. cada dígito se pondera por 2i, siendo i la posición del dígito.
Para realizar el algoritmo, se separa cada dígito del número binario, y luego se realiza la operación de ponderación para acumularla en el resultado final.
En la ponderación se usará un contador de posición para ser usado como el exponente de la base 2.
El algoritmo en diagrama de flujo se representará como:
Algoritmo en Python
# Binario a Decimal
binario = int(input("número en binario: "))
decimal = 0
i = 0
while (binario>0):
digito = binario%10
binario = int(binario//10)
decimal = decimal+digito*(2**i)
i = i+1
# SALIDAprint("en decimal: ",decimal)
con los siguientes resultados:
>>>
número en binario: 101
en decimal: 5
>>>
número en binario: 1000
en decimal: 8
>>>
número en binario: 111
en decimal: 7
>>>
A través del tiempo la humanidad adoptado diferentes formas de numeración, tanto en símbolos como en bases.
Las formas simbólicas de numeración más conocidas son:
la arábiga (0, 1, 2, 3,… 9) usada en estos días, y
la romana (I, II, III, IV, V, VI,…X,…).
El uso de computadores nos obliga a revisar el tema de sistemas de numeración, debido a que internamente el computador opera en numeración binaria basada en dos símbolos representados como 0 y 1.
La electrónica digital, que permite construir una computadora, trabaja sobre dos estados del circuito: abierto o cerrado, verdadero o falso, 1 o 0.
Es común ver en las etiquetas de un producto el denominado código de barras que facilita el trabajo de identificar el producto vendido.
El código de barras permite usar un dispositivo para “leer” la representación binaria del producto, cada barra de color blanco o negro representa un dígito binario del número. Para estos casos es necesario disponer de un algoritmo que permita leer y convertir un código de producto de binario a decimal, así como el decimal a binario en el caso de la impresión o escritura del código de barras.
Base Numérica Decimal
La base numérica 10 nos resulta muy natural y no requiere mucha descripción. Se basa en diez símbolos conocidos como numeración arábiga: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para números superiores a 9 se añade a la izquierda un dígito y se los combina ordenadamente: 10, 11, 12, …, 19, 20, 21, …
Al aplicar el mismo método de formación de números usando otra base numérica se obtiene resultados simulares como se muestra en la siguiente sección.
Referencias: Capítulo II Numeración. Baldor, Aurelio (1974). Aritmética de Baldor, Guatemala. Cultural Centroamericana S.A.
Ejercicios resueltos sobre números aleatorios con simulaciones de juegos de mesa o aleatorios son una herramienta para encontrar una solución a una situación.
Ejercicios resueltos con Números Aleatorios, random()
Referencia: Van Rossum 10.6 p85, Rodriguez 5.9 p99, Downey 12.1
Para simular un número de azar se recurre al concepto de números aleatorios, que por ejemplo es el valor obtenido al lanzar un dado para juegos de tablero. Si el dado es estándar, no se puede predecir el valor que saldrá en el dado.
Un número aleatorio se define como un número real cualquiera en el intervalo [0,1).
La forma básica de generar un número aleatorio en Python es usando la librería random(), que se puede usar con operaciones adicionales para simulaciones de dados, movimientos en juegos, etc.
>>> import random as rnd
>>> rnd.random()
0.28033599517631624
>>> rnd.random()
0.07239272147532794
>>>
Ejemplo de número aleatorios para un dado en Python
Para simular un dado de seis caras, que es un número aleatorio entero en el intervalo [0,6] se construye paso a paso:
dado ← entero(aleatorio*6)+1
1. Un número aleatorio
Se empieza con la forma básica para generar un número aleatorio entre [0,1)
>>> import random as rnd
>>> aleatorio = rnd.random()
>>> aleatorio
0.9531257439341784
2. Se debe convertir del intervalo [0,1) al intervalo de un dado de 6 caras,
multiplicando el aleatorio por 6, obteniendo un real de [0,6). No se incluye el 6.
Realice un algoritmo para simular el precio del barril de petróleo durante un mes de 30 días, suponiendo que son valores enteros que fluctúan en forma aleatoria entre $ 130 y $ 150 y se obtenga las siguientes respuestas:
a) El promedio del precio del petróleo.
b) ¿Cuál fue el día en el que estuvo más barato el barril de petróleo?
Diagrama de Flujo ejercicio – números aleatorios
Desarrollo
Para iniciar el algoritmo, se puede considerar como variable de entrada los días del mes, o asignarles directamente 30 días.
La primera aproximación al problema para responder el literal a) consiste en generar números aleatorios en el rango [130, 150] y acumular sus valores para el promedio.
Será necesario disponer de un contador para controlar el número de veces que se generan los precios de forma aleatoria en el lazo de repetición.
Una de las formas de resolver el problema es con un lazo repita hasta, cuyo diagrama de flujo se muestra a continuación:
Instrucciones en Python
# Ejercicio 1. Precio del petroleoimport random as rnd
# INGRESO
diasmes = int(input('dias que tiene el mes: '))
# PROCEDIMIENTO
total = 0
dia = 0
rango = (150-130)+1
whilenot(dia>=diasmes):
precio = int(rnd.random()*rango) + 130
total = total + precio
dia = dia + 1
promedio = total/diasmes
# SALIDAprint(promedio)
dias que tiene el mes: 30
137.56666666666666
>>>
Para la pregunta b) es necesario analizar la manera de encontrar el día con el precio más barato.
En este caso se utilizará el algoritmo para búsqueda del menor, que consiste en iniciar con el supuesto para el valor menor de precio y día, probando contra el precio de cada día y de ser necesario se cambian los valores menores.
Diagrama de Flujo ejercicio – búsqueda de menor valor
Es un similar al caso de usar una hipótesis y realizar luego las pruebas.
Como supuesto, se escogerá el valor máximo de precio con el objetivo que el primer precio que aparece sustituye los valores.
# Ejercicio 1. Precio del petroleoimport random as rnd
# INGRESO
diasmes = int(input('dias que tiene el mes: '))
# PROCEDIMIENTO
total = 0
dia = 0
rango = (150-130)+1
diamenor = 0
preciomenor = 150
whilenot(dia>=diasmes):
precio = int(rnd.random()*rango) + 130
total = total + precio
if (precio<preciomenor):
diamenor = dia
preciomenor = precio
dia = dia + 1
promedio = total/diasmes
# SALIDAprint(promedio)
print(diamenor)
dias que tiene el mes: 30
140.06666666666666
22
>>>
Otra forma de realizar el algoritmo consiste en cambiar la perspectiva del lazo repita- hasta por un mientras repita. Para el cambio será necesario solo negar la expresión usada en el lazo repita-hasta en días<diasmes.
Diagrama de Flujo ejercicio – aleatorios y búsqueda de menor valor con mientras-repita
Para cada ejercicio, describa un algoritmo en seudo-código, dibuje un diagrama de flujo y realice dos pruebas de escritorio.
1. Un bote tiene capacidad de llevar X kilos. Se tiene una lista con los pesos en kilos ordenados en forma creciente de las personas que desean subir al bote.
Determine cuantaspersonas puede llevar el bote.
Bote paseo control de carga maxima
2. Repita la lectura de un número entero hasta que sea positivo, entonces, determine cuantas cifras tiene. El método que debe usar es contar cuantas veces es divisible para 10.
3. Dado un número entero positivo, determine la suma de sus dígitos.
Ejemplo: 7258 -> 7+2+5+8 = 22
4. Dado un número entero positivo, muéstrelo con las dígitos en orden opuesto.
Ejemplo. escribe 7258 y el resultado será 8527
5. Dados dos números enteros muestre su MCD y su MCM.
Ejemplo. escribe 25 y 20. obtiene como resultado 5 y 100
Nota: si a, b son los datos y MCM es su mínimo común múltiplo y MCD es su máximo común divisor, se tiene que MCD * MCM = a * b
6. Dado un número entero positivo determine su equivalente en el sistema binario con el siguiente procedimiento:
– divida el número para 2 sucesivamente hasta que el cociente sea 0.
– Entonces, los residuos que se obtienen son los dígitos del número binario, pero en orden opuesto.
– Forme el número con estos residuos mientras los obtiene y muestre su valor
7. Modifique el algoritmo anterior para invertir el número obtenido y mostrar el número binario con los dígitos en la posición correcta.
8. El siguiente procedimiento genera una secuencia de números enteros:
a) Dado un número entero
b) Sume los cuadrados de los dígitos del número y forme un nuevo número con el residuo entre la suma y 9
c) Repita sucesivamente el paso b) con cada nuevo número obtenido, hasta que el resultados sea el número 1, o hasta que se hayan realizado mas de 10 repeticiones.
d) Si se obtuvo el resultado 1, muestre el número inicial, la cantidad de repeticiones realizadas, y el mensaje «número suertudo»
9. Modifique el algoritmo anterior para encontrar los «números suertudos» existentes entre 10 y 99
10. Describa un algoritmo para realizar el control de la anotación de un encuentro de tenis de mesa.
– En este juego intervienen 2 jugadores identificados como 1 y 2 .
– A cada uno se le agrega un punto cada vez que realiza una jugada a su favor si es que tiene el servicio a su favor, si no únicamente pasa el servicio a su favor.
– El juego termina cuando un jugador llega a 15 puntos teniendo por lo menos dos puntos de diferencia con respecto al otro jugador.
– Al inicio debe ingresar el número 1 o 2 indicando cual jugador comienza con el servicio a su favor, y luego sucesivamente ingrese el resultado de cada jugada ( 1 o 2).
– Al terminar debe mostrar un mensaje indicando cuál es el ganador.
11. Encuentre todos los números naturales entre 1 y 100 tales que la suma de sus dígitos de como resultado un numero primo.
Ejemplo : 34: 3+4 = 7 debe mostrar el 34 pues 7 es un número primo
12. Muestre los primeros n números de la secuencia de Fibonacci, siendo n un número entero.
Los términos de la secuencia de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Note que a partir del tercer término cada nuevo término es igual a la suma de los dos anteriores.
13. Repita la lectura de un número entero hasta que sea par. Luego encuentre dos números primos tales que la suma sea igual al número par dado.
14. Dado el radio r de una circunferencia, encuentre el polígono regular de menor número de lados inscrito en la circunferencia, de tal manera que la suma de sus lados difiera de la longitud de la circunferencia en no mas de 0.0001.
Sugerencia: repita los cálculos con polígonos regulares incrementando su número de lados con n = 3, 4, 5, 6,…..
Referencia: Van Rossum 4.4 p21, Rodríguez 3.4.3.a p33, Downey 7.4
En algunos problemas existen bloques de operaciones que se repiten. Estas operaciones se pueden repetir hasta que se cumpla una condición o repetir mientras se cumpla una condición. Las estructuras de control incorporan lazos, bucles o ciclos para repetir: repita-hasta, mientras-repita (while) y «para»(for).
Ejemplo: Para aprobar un curso o materia de estudio se debe superar la nota mínima para aprobar (60/100).
La condición para continuar al siguiente curso que se aplica en el Bucle se escribe como nota<60/100. En el diagrama de flujo la condición se presenta al final del bloque de operaciones, en el algoritmo en Python se escribe al inicio.
nota = 0 # nota inicialwhile (nota<60/100):
print('tomar el curso')
print('hacer el examen')
nota = input('nota final:')
Ejemplo: Es el procedimiento usado en las evaluaciones para nivel o curso de idiomas (inglés).
El estudiante primero realiza un examen, si no obtiene la calificación mínima debe tomar el nivel/curso A, caso contrario puede pasar al nivel/curso B.
La condición para continuar en el lazo o bucle nota<60/100, se evalúa antes de usar el bloque de operaciones, tanto en el diagrama de flujo como en el algoritmo.
nota = 0 # nota inicialprint('hacer el examen de ingles')
nota = input('nota final:')
whilenot(nota<60/100):
print('tomar el curso de ingles')
print('hacer el examen de ingles')
nota = input('nota final:')
Para el planteamiento del ejercicio o problema al escribir el algoritmo, se selecciona el lazo “repita-hasta” o “mientras-repita” según sea más sencillo de expresar o leer en el planteamiento del ejercicio. Sin embargo, se puede intercambiar la forma del lazo usando la negación del condicional y cambiando la posición del condicional (inicio o al final).
Por ejemplo en matemáticas la expresión se lee:
f(n) \sum_1^n 1/n
«sumatoria desde 1 hasta n de la expresión matemática 1/n«. En el algoritmo, se establecen los límites como desde i=1 hasta que i llegue a n,evitando que se hagan cálculos para i>n.
fn = 0
n = 4
i = 1 # desde i=1whilenot(i>n): # hasta i llege a n, evite i>n
fn = fn + 1/i
i = i+1
print(fn)
Realice un algoritmo para encontrar el término n-ésimo de la secuencia de números triangulares.
Un número triangular puede entenderse como el número de elementos usados para formar una pirámide plana, como se muestra en la figura.
Diagrama de Flujo – números triangulares
Desarrollo:
Usando la analogía de la construcción de una pirámide, se observa que para construir un piso se usa un bloque, para añadir el piso 2 se usan 2 bloques, para añadir el piso 3 se usan 3 bloques, etc.
Cuántoses la variable de ingreso que indica el número de pisos que se construirán.
Para iniciar los trabajos, se anuncia la construcción del primer piso y que se han usado 0 bloques.
En el procedimiento de construcción de la pirámide, pisoes una variable tipo contador; usadoses una variable tipo acumulador que registra los bloques usados en la construcción de cada piso. Se construye un nuevo piso, acumulando los bloques usados hasta que se hayan construido los pisos de la variable cuántos.
La variable de salida que muestra el valor resultante es: usados.
Diagrama de Flujo – Números triangulares con Mientras-Repita
El ejemplo se desarrolló usando el lazo Repita-Hasta.
Sin embargo, si se quiere cambiar el estilo usando el lazo Mientras-Repita, se lo expresa cambiando el condicional al inicio y negando la expresión:
Repita-Hasta: (pisos>cuántos)
// construir pisos hasta que
// se completen los pedidos
// en la variable cuántos
while not(pisos>cuántos)
while (pisos≤ cuántos)
//Construir pisos mientras
//sean menores e iguales a
//los pedidos en la variable cuántos.
Diagrama de Flujo – Números triangulares con Repita-Hasta
Extendiendo el ejercicio anterior, construya un algoritmo para determinar si un número t es triangular.
Para esto el lazo se debe controlar mediante el número de bloques usados comparados con el número t.
Si los usados son iguales o mayores a t, no es necesario continuar el proceso pues se obtuvo un resultado afirmativo, o los usados superan lo requerido y el número t no es triangular.
Puede mostrarse la respuesta como un valor verdadero (1) o falso (0) al comparar la igualdad entre t y usados.
La diferencia de las estructuras se puede observar entre el diagrama de Flujo anterior y el presentado.
Bucles o Ciclos «for» – Estructuras para Repetir o iterar
Referencia: Van Rossum 4.2 p19, Rodriguez 3.4.3.b p36, Downey 7.3
En algoritmos es frecuente encontrar lazos, bucles o ciclos controlados por solamente un contador, por lo que, los lazos y el contador se pueden integrar y resumir en una forma de representación conocida como el lazo “Para” o «for».
Usamos un diagrama de flujo para mostrar el concepto con un lazo Mientras-Repita.
El contador i, con valor de inicio, permite el control de operaciones de un bloque mediante el lazo mientras con la expresión i menor o igual que fin.
Luego del bloque de operaciones, se incrementa el valor de i para revisar la condición del lazo y repetir si es necesario.
Integrando las operaciones del contador y el lazo, en un diagrama de flujo se pueden simplificar en una estructura de control conocida como “Para”:
Se puede leer también: “Para los valores de i empezando en inicio, avanzando en pasos de incremento hasta llegar al valor de fin, repita el siguiente bloque de operaciones”.
Para lazos con expresiones de repetir más complejas (i>n y j<k) será más práctico usar las formas repita-hasta o mientras-repita, como se mostrará en la sección de ejemplos.
Referencia: Elementos esenciales para programación: Algoritmos y Estructuras de Datos Latin Project. Primera Edición 2014. Sección 4.2. p.77
Ejercicios resueltos en Python y diagramas de flujo como ejemplos de las estructuras de control para condicionales if else (selección). Se desarrollan con los conceptos descritos hasta la Unidad 03 Condicionales – Ejercicios y Tarea
1. Ejercicio 6. interruptores para encender un foco
En un circuito eléctrico hay tres interruptores, los cuales pueden estar en estado cerrado(1) o abierto(0).
Para que un equipo funcione, se requiere que al menos dos estén cerrados. Si los datos son el estado de los interruptores, determine si el equipo funcionará.
Desarrollo:
Al inicio, supone que el foco no está encendido (0) .
Instrucciones en Python
# Ejercicio 6. Interruptores y un foco# INGRESO
a = int(input('interruptor a: '))
b = int(input('interruptor b: '))
c = int(input('interruptor c: '))
# PROCEDIMIENTO
encendido = 0
if (a==1):
if (b==1 or c ==1):
encendido = 1
else:
if (b==1):
if (c==1):
encendido = 1
# SALIDAprint('estado del foco: ',encendido)
2. Ejercicio 12. Bloque rectangular pasa por orificio en pared.
Bloque y circulo
Lea las tres dimensiones de un bloque rectangular.
Encuentre las tres diagonales de sus caras diferentes y determine si pudiera atravesar por un orificio circular de diámetro dado.
Nota: Para el desarrollo considere usar la diagonal de cada lado, que es la parte de mayor longitud que debe pasar por el diámetro del círculo.
Instrucciones en Python
# Problema de la caja y el orificio en la paredimport numpy as np
# INGRESO
a = float(input("lado a: "))
b = float(input('lado b: '))
c = float(input('lado c: '))
d = float(input('lado d: '))
# PROCEDIMIENTO
diagonal1 = np.sqrt(a**2 + c**2)
diagonal2 = np.sqrt(a*a + b*b)
diagonal3 = np.sqrt(b*b + c*c)
pasa = 0
if (diagonal1<d):
pasa = 1
if (diagonal2<d):
pasa = 1
if (diagonal3<d):
pasa = 1
# SALIDAprint(pasa)
Tarea: Realizar diagrama de Flujo. Desarrollado en Pizarra durante la clase
Considere solo la parte de condicionales, a partir del ingreso de las coordenadas x,y donde cae el dardo.
Instrucciones en Python
# Un dardo en tablero# 1ra Evaluación I Término 2007. Tema 1import numpy as np
# INGRESO
x = float(input('coordenada x: '))
y = float(input('coordenada y: '))
# PROCEDIMIENTO
distancia = np.sqrt(x**2 + y**2)
premio = 0
if (distancia <= 10):
premio = 50
if (distancia>10 and distancia<=40):
premio = 40
if (distancia>40 and distancia<=80):
premio = 30
# SALIDAprint('el premio obtenido es: ', premio)
Desarrollado para un solo penal.
Dado el sector del arco [1,6] donde un jugador lanza el balón y el sector donde el arquero protege, determinar:
a) si hubo gol (1 ó 0)
b) si hubo gol, indicar si fué por izquierda (1), centro(2), derecha(3)
Se inicia considerando que no hubo gol, por lo que la sección=0 para el área donde entró el gol. Hay gol si jugador ≠ jugador.
Diagrama de Flujo
Instrucciones en Python
# analizar un penal# Parcial I Término 2005. Tema 4.# INGRESO
jugador = int(input('sector del jugador:'))
arquero = int(input('sector del arquero:'))
# PROCEDIMIENTO
seccion = 0
ifnot(jugador==arquero):
gol = 1
if (jugador==3 or jugador==4):
seccion = 1
if (jugador==2 or jugador==5):
seccion = 2
if (jugador== 1 or jugador==6):
seccion = 3
else:
gol = 0
# SALIDAprint('Hubo gol: ',gol)
print('seccion: ', seccion)
