5.2 Optica – Rayo reflejado en plano inclinado con Python

Propagación multitrayecto o multicamino en plano inclinado

Referencia: Sears-Zemansky Cap33.2 Vol2 Ed.12 p1123, Optica – Rayo reflejado en plano horizontal

El plano de reflexión puede estar inclinado respecto al eje de las x. Para el caso dado, se puede considerar igualar las pendientes del rayo incidente y reflejado referenciadas con la pendiente del plano inclinado.

la pendiente del plano inclinado se obtiene como:

$m_s = \frac{\Delta suelo } {\Delta x_{intervalo}} = \frac{s_b-s_a}{x_b-x_a}$

Respecto al plano, los ángulos de rayo incidente y reflejado son iguales por lo que secorrige con la pendiente del plano. Las pendientes del rayo izquierdo y rayo derecho con la influencia de la pendiente del suelo se igualan:

$-(m_z-m_s) = m_r-m_s$ $-m_z = m_r - 2 m_s$

Para obtener s_c como un punto en el plano, requiere función de suelo(x) evaluada en s_c , para usar todo en función de x_c :

$m_s = \frac{\Delta s}{\Delta x} = \frac{s_b-s_a}{x_b-x_a}$ $s(x) = m_s x_a +b_s$ $b_s = s_a-m_s x_a$ $s_c = s(c) = m_s x_c +b_s$

Lo anterior permite actualizar el planteamiento de la pendientes, y despejar el valor de la incógnita x_c

$-m_z = m_r - 2 m_s$ $- \frac{s_c-y_a}{x_c-x_a} = \frac{y_b-s_c}{x_b-x_c}-2m_s$ $- \frac{s_c-y_a}{x_c-x_a} = \frac{y_b-s_c-2m_s(x_b-x_c)}{x_b-x_c}$

primero se busca agrupar s_c

$-(x_b-x_c)(s_c-y_a) = (x_c-x_a)(y_b-s_c-2m_s(x_b-x_c))$

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$-s_c(x_b-x_c)+y_a(x_b-x_c) =$ $y_b(x_c-x_a)-s_c(x_c-x_a)-2m_s(x_b-x_c)(x_c-x_a)$

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$-s_c(x_b-x_c) + s_c(x_c-x_a) =$ $-y_a(x_b-x_c) + y_b(x_c-x_a) - 2m_s(x_b-x_c)(x_c-x_a)$

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$s_c(-x_b+x_c+x_c-x_a) =$ $-x_b y_a+x_c y_a + y_b x_c - x_a y_b -2m_s(x_b(x_c-x_a)-x_c(x_c-x_a))$

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sutituyendo s_c con la expresión del plano con pendiente evaluada en el punto x_c , lo que se expresa como:

$(m_s x_c +b_s)(2 x_c-(x_a+x_b)) =$ $x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b -x_b y_a)-2m_s(x_b x_c- x_a x_b - x_c^2 + x_a x_c))$

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teniendo ahora como objetivo encontrar una expresión para x_c

$m_s x_c (2 x_c-(x_a+x_b))+b_s(2 x_c-(x_a+x_b)) =$ $x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b +x_b y_a)-2m_s(- x_c^2 + x_c(x_b + x_a) - x_a x_b)$

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$2m_s x_c^2 - m_s x_c(x_a+x_b)+2 b_s x_c-b_s(x_a+x_b) =$ $x_c (y_a + y_b)-(x_a y_b +x_b y_a)+ 2m_s x_c^2 - 2m_s x_c (x_b + x_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c(- m_s (x_a+x_b)+2 b_s)-b_s(x_a+x_b) =$ $x_c (y_a + y_b- 2m_s (x_b + x_a))-(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c(- m_s (x_a+x_b)+2 b_s) -x_c (y_a + y_b- 2m_s (x_b + x_a)) =$ $b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c(2 b_s - (y_a + y_b) - m_s (x_a+x_b) + 2m_s (x_b + x_a)) =$ $b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c(2 b_s - (y_a + y_b) + m_s(x_a+x_b) =$ $b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c(2 b_s - (y_a + y_b) + m_s (x_a+x_b)) =$ $b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b$

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$x_c = \frac{b_s(x_a+x_b) -(x_a y_b +x_b y_a) + 2m_s x_a x_b}{2 b_s - (y_a + y_b) + m_s (x_a+x_b)}$

Con el valor de xc se pudede obtener la altura del punto s_c. a partir de la ecuación que describe el plano s(x).

Algoritmo en Python

A partir del algoritmo del rayo reflejado en plano horizontal , se añaden las instrucciones para calcular m_s, b_s, x_c, s_c.

obteniendo ahora el resultado:

punto reflejado: [ 7.666666666666665 , 1.3333333333333335 ]

con la gráfica

Instrucciones en Python

# rayo incidente y reflejado
# en plano inclinado
# blog.espol.edu.ec/ccpg1001
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# posición de antenas
xa = 1  # Izquierda
ya = 4
xb = 11 # Derecha
yb = 2

# plano el suelo
sa = 2
sb = 1

# muestras en grafica
muestras = 21

# PROCEDIMIENTO
# pendiente de suelo
ms = (sb-sa)/(xb-xa)
bs = sa-ms*xa
# punto de reflejo
numerador   = bs*(xa+xb)-(xa*yb+xb*ya)+2*ms*xa*xb
denominador = 2*bs-(ya+yb)+ms*(xa+xb)
xc = numerador/denominador

sc = ms*xc+bs

# SALIDA
print('punto reflejado: [',xc,',',sc,']')

# GRAFICA
#puntos en el plano
plt.scatter([xa,xc,xb],[ya,sc,yb])
plt.scatter([xc],[sc],label='punto reflejo')
# lineas de rayos
plt.plot([xa,xc],[ya,sc],label='incidende')
plt.plot([xc,xb],[sc,yb],label='reflejado')
plt.plot([xa,xb],[sa,sb],label='suelo')

# etiquetas anotadas
plt.annotate(' reflejo',[xc,sc])

# etiquetas
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('reflexión de rayos en plano inclinado')
plt.grid()

plt.show()

Tarea: Consiere que el suelo está compuesto de al menos dos segmentos con inclinaciones diferentes. Podría darse mas de una reflexión al punto de recepción o ninguna

Una aplicación relacionada de análisis multitrayecto en Girni: Coordenadas – Rayo reflejado en perfil por tramos