{"id":2,"date":"2009-10-20T11:14:57","date_gmt":"2009-10-20T16:14:57","guid":{"rendered":""},"modified":"2010-02-22T20:34:23","modified_gmt":"2010-02-23T01:34:23","slug":"limites_chinoega","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/chinoegas\/limites_chinoega\/","title":{"rendered":"LIMITES"},"content":{"rendered":"

En matem\u00e1tica, el l\u00edmite es un concepto que describe la tendencia de una sucesi\u00f3n o una funci\u00f3n, a medida que los par\u00e1metros de esa sucesi\u00f3n o funci\u00f3n se acercan a determinado valor. En c\u00e1lculo (especialmente en an\u00e1lisis real y matem\u00e1tico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivaci\u00f3n, integraci\u00f3n, entre otros.<\/p>\n

Definici\u00f3n rigurosa<\/strong><\/p>\n

Informalmente, se dice que el l\u00edmite de la funci\u00f3n f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:<\/p>\n

\"fe0dd892024473499d23f0b8d2f9665b\"
\n\"600px-limite_01svg\"<\/p>\n

si se puede encontrar para cada ocasi\u00f3n un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan pr\u00f3ximo a L como se desee. Formalmente, utilizando t\u00e9rminos l\u00f3gico-matem\u00e1ticos:
\n\"341a17256970270583728656065e5375\"<\/p>\n

Esta definici\u00f3n se denomina frecuentemente definici\u00f3n \u00e9psilon-delta de l\u00edmite, y se lee como:<\/p>\n

\"para cada n\u00famero real \u03b5 mayor que cero existe n\u00famero un real \u03b4 mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que \u03b4, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que \u03b5 unidades\".<\/em><\/p>\n

L\u00edmites notables <\/strong><\/p>\n

Como ejemplo de l\u00edmites notables tenemos los siguientes l\u00edmites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.<\/p>\n

\"62e670d1fa5907a8116579db6b2afe17\"
\n\"950405bd0dfb1533eef54857bdb2be1b\"
\n\"ef289624c4ed9d7e5e9aa98b4d877a9a\"<\/p>\n

Propiedades de los Limites<\/strong><\/p>\n

Los l\u00edmites, como otros entes matem\u00e1ticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el c\u00e1lculo de los mismos.
\n\"d9cbee0bccf0c0d2913336f3863f5d90\"<\/p>\n

L\u00edmite por un escalar<\/em><\/p>\n

\"53799b996a7f2b21f7853d3045acfb8e\" donde k es un multiplicador escalar.<\/p>\n

L\u00edmite de una suma<\/em><\/p>\n

\"b60d3f7e2dab81a54a303488d9630975\"<\/p>\n

L\u00edmite de una resta<\/em><\/p>\n

\"de4243215a49aaa37b74e8154ef6924c\"<\/p>\n

L\u00edmite de una multiplicaci\u00f3n<\/em><\/p>\n

\"b3f821b166186d798091374c68ab44ce\"<\/p>\n

L\u00edmite de una divisi\u00f3n<\/em><\/p>\n

\"e233bb8f9cb3fa0c3c4d21b24c19445a\"<\/p>\n

Indeterminaciones<\/strong> <\/p>\n

Hay l\u00edmites que evalu\u00e1ndolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:<\/p>\n

\"5a37ecf838521b9c0dee542e9470d962\"<\/p>\n

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no est\u00e1 claro cual puede ser el l\u00edmite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el l\u00edmite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalizaci\u00f3n o factorizaci\u00f3n se puede resolver la indeterminaci\u00f3n y calcular el l\u00edmite. En otros casos, se requerir\u00e1 el uso de otras herramientas m\u00e1s potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.
\nUn ejemplo de indeterminaci\u00f3n del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un l\u00edmite distinto :<\/p>\n

\"5ce9c858d20a9b5388d14417e07f4c13\"
\n\"421d8e8a674dca4b98a35cbfbd352a98\"
\n\"91459b1d7a4d37c0f285d763a00f4d88\"<\/p>\n

Teoremas de l\u00edmites<\/strong><\/p>\n

Para facilitar la obtenci\u00f3n del l\u00edmite de una funci\u00f3n sin tener que recurrir cada vez a la definici\u00f3n Epsil\u00f3n-Delta se establecen los siguientes teoremas.
\nLos teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
\nNota: los teoremas se presentan sin demostraci\u00f3n, pero quien quiera verla puede hacer clic en el v\u00ednculo correspondiente.<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite1:
\nSi k es una constante y a un n\u00famero cualquiera, entonces<\/p>\n

\"1\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite2:
\nPara cualquier n\u00famero dado a,
\n\"21\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite3:
\nSi m y b son dos constantes cualesquiera, entonces<\/p>\n

\"31\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite4:
\n\"41\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite5:<\/p>\n

\"51\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite6:
\nSi f es un polinomio y a es un n\u00famero real, entonces<\/p>\n

\"6\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite7:
\nSi q es una funci\u00f3n racional y a pertenece al dominio de q, entonces
\n\"7\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite8:
\n\"8\"<\/p>\n

Procedimiento para calcular l\u00edmites
\n Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el l\u00edmite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polin\u00f3micas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el l\u00edmite de una funci\u00f3n polin\u00f3mica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una funci\u00f3n racional y la propiedad 4 (III) tambi\u00e9n.
\n Cuando al sustituir la a por x en la funci\u00f3n nos da la forma indeterminada 0\/0 es posible calcular el l\u00edmite pero, previamente, hay que transformar la f\u00f3rmula de la funci\u00f3n de tal modo que, una vez hecha la simplificaci\u00f3n pertinente, se pueda evitar la divisi\u00f3n por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizaci\u00f3n, la conjugada, etc.<\/p>\n

Ejercicios resueltos<\/strong><\/p>\n

Evalu\u00e9 los siguientes l\u00edmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:<\/em>
\n\"nueva-imagen\"<\/p>\n

L\u00edmites unilaterales<\/strong><\/p>\n

Hay casos en que las funciones no est\u00e1n definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un n\u00famero determinado, por lo que el l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a dicho n\u00famero, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al n\u00famero, no tiene sentido.<\/p>\n

Ejemplo:
\n\"1d6537b0\"<\/p>\n

L\u00edmite unilateral por la derecha:<\/em>
\nSea f una funci\u00f3n definida en todos los n\u00fameros del intervalo abierto (a, c). Entonces, el l\u00edmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
\n\"1d805510\"<\/p>\n

L\u00edmite unilateral por la izquierda:<\/em>
\nSea f una funci\u00f3n definida en todos los n\u00fameros de (d, a). Entonces, el l\u00edmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
\n\"1d905510\"<\/p>\n

Limite Bilateral<\/em>
\n\"1db51300\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite12:<\/em>
\n\"1dd71210\"<\/p>\n

Ejercicios resueltos<\/strong><\/p>\n

En los ejercicios 1 a 4, trace la gr\u00e1fica y determine el l\u00edmite indicado si existe; si no existe, d\u00e9 la raz\u00f3n:<\/p>\n

\"nueva-imagen-1\"
\n\"1e064670\"
\n\"1dfc8c80\"<\/p>\n

Los siguientes ejercicios quedan para que los lectoras procedan a realizarlos, cualquier consultan pueden comunicarse enviando un mail a: luchegas@hotmail.com<\/em> (autor de este blog)<\/strong><\/p>\n

L\u00edmites infinitos<\/strong><\/p>\n

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin l\u00edmite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.<\/p>\n

Crecimiento infinito:<\/em>
\n\"1d6537b01\"<\/p>\n

Decrecimiento infinito:<\/em>
\n\"20f7d6b0\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite13:<\/em>
\n\"21917640\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite14:<\/em>
\n\"21bfd0f0\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite15:<\/em>
\n\"21ce36b0\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite16:<\/em>
\n\"264b75b0\"<\/p>\n

Teorema de l\u00ecmite 17:<\/em>
\n\"265b75b0\"<\/p>\n

Una as\u00edntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las as\u00edntotas, tanto verticales como horizontales (m\u00e1s adelante nos ocuparemos de estas \u00faltimas), es de gran ayuda para dibujar la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n.<\/p>\n

As\u00edntota vertical:<\/strong><\/p>\n

Una as\u00edntota vertical es una recta paralela al eje y.<\/p>\n

Se dice que la recta x = a es una as\u00edntota vertical de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n f si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:
\n\"266898b0\"<\/p>\n

Ejercicios resueltos y por resolver<\/strong><\/p>\n

En los ejercicios 1 a 7, determine el l\u00edmite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s) as\u00edntota(s) vertical(es) de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y tr\u00e1cela(s).<\/em><\/p>\n

\"nueva-imagen-2\"<\/p>\n

Soluci\u00f3n del ejercicio 1.
\n\"27c61950\"<\/p>\n

Soluci\u00f3n del ejercicio 2.
\n\"27d37bb0\"<\/p>\n

L\u00edmites en el infinito<\/strong><\/p>\n

Teorema de l\u00edmite18:<\/em>
\n\"53ae46b0\"<\/p>\n

As\u00edntota horizontal:<\/strong><\/p>\n

Una as\u00edntota horizontal es una recta paralela al eje x.
\n\"53b15650\"<\/p>\n

Teorema de l\u00edmite19:<\/em>
\n\"167be5310\"<\/p>\n

Continuidad de una funci\u00f3n<\/strong>
\n\"909d55d0\"<\/p>\n

Criterios de continuidad de una funci\u00f3n en un n\u00famero<\/strong><\/p>\n

Se dice que una funci\u00f3n f es continua en el n\u00famero a si y s\u00f3lo si se cumplen las tres condiciones siguientes:<\/em>
\n\"9028b510\"<\/p>\n

Una funci\u00f3n que no es continua en un n\u00famero, se dice que es discontinua en dicho n\u00famero. En la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n que es discontinua en el n\u00famero a se puede observar un \"salto\" o un \"hueco\" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.
\n\"904e0700\"<\/p>\n

Las discontinuidades eliminables se denominan tambi\u00e9n discontinuidad de \"hueco\": en la gr\u00e1fica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un \"hueco\" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
\nLas discontinuidades esenciales tambi\u00e9n reciben los nombres de discontinuidad de \"salto\": se presenta cuando los l\u00edmites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el l\u00edmite de f cuando x tiende a a es infinito.<\/p>\n

Teoremas de continuidad<\/strong>
\n\"90ba1f00\"<\/p>\n

Clases en video de Limites<\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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