{"id":44,"date":"2016-10-23T15:44:25","date_gmt":"2016-10-23T20:44:25","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/danielponce\/?p=44"},"modified":"2016-10-23T17:03:32","modified_gmt":"2016-10-23T22:03:32","slug":"el-numero-pi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/danielponce\/2016\/10\/23\/el-numero-pi\/","title":{"rendered":"El N\u00famero PI"},"content":{"rendered":"

<\/a>Historia del c\u00e1lculo de pi<\/u><\/span><\/p>\n

Nos encontramos con el n\u00famero \u03c0<\/b> cuando dividimos la longitud de una circunferencia entre su di\u00e1metro. Podemos hallar una aproximaci\u00f3n con cualquier objeto redondo como, por ejemplo, un bote de conservas. Para llevar a cabo el experimento he buscado uno en mi despensa y lo he medido. He obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el di\u00e1metro 8'5 cm.<\/p>\n

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Al dividir la longitud (26'7) entre el di\u00e1metro (8'5) se obtiene 3'141176... (que est\u00e1 muy cerca del valor te\u00f3rico). Los objetos redondos (ruedas, recipientes...) fueron utilizados por el hombre desde muy antiguo. En alg\u00fan momento debieron darse cuenta de que ese \"tres y un poco<\/b>\" era fundamental para calcular las longitudes, \u00e1reas y vol\u00famenes de los cuerpos redondos.<\/p>\n

Los antiguos egipcios<\/b> (hacia 1600 a. de C.) ya sab\u00edan que exist\u00eda una relaci\u00f3n entre la longitud de la circunferencia y su di\u00e1metro; y entre el \u00e1rea del c\u00edrculo y el di\u00e1metro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: \"Corta 1\/9 del di\u00e1metro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo \u00e1rea que el circulo\". Es decir, el \u00e1rea del c\u00edrculo (llam\u00e9mosla A) es igual a 8\/9 del di\u00e1metro al cuadrado (d=2r), A = d2<\/sup>*64\/81 = 4r2<\/sup>*64\/81 = r2<\/sup>*256\/81. Esto equivale a decir que asignaban a \u03c0 el valor 256\/81<\/b>, aproximadamente 3'16<\/b>.<\/p>\n

En Mesopotamia<\/b>, m\u00e1s o menos por la misma \u00e9poca, los babilonios<\/b> utilizaban el valor 3'125<\/b> (3+1\/8) seg\u00fan puede leerse en la Tablilla de Susa.<\/p>\n

Los ge\u00f3metras de la Grecia cl\u00e1sica<\/b> sab\u00edan que la raz\u00f3n entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su di\u00e1metro es siempre una constante (el n\u00famero al que ahora llamamos pi). Tambi\u00e9n conoc\u00edan y hab\u00edan conseguido demostrar que tanto la raz\u00f3n entre el \u00e1rea de un c\u00edrculo y su di\u00e1metro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su di\u00e1metro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de \"Los Elementos\" de Euclides). Fue Arqu\u00edmedes<\/b><\/a> (siglo III a. de C.) quien determin\u00f3 que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con \u03c0. Adem\u00e1s, utiliz\u00f3 el m\u00e9todo de exhauci\u00f3n, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia pol\u00edgonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magn\u00edfica aproximaci\u00f3n (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10\/71 < \u03c0 < 3+1\/7<\/b>; es decir, el n\u00famero buscado est\u00e1 entre 3'1407 y 3'1428 (se puede ver en su obra \"Sobre la medida del circulo<\/a>\").<\/p>\n

En el siglo II d. de C., Ptolomeo<\/b> utiliza pol\u00edgonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para\u00a0 aproximarse un poco m\u00e1s, y da el valor 3 + 8\/60 + 30\/3600 = 377\/120 =3'141<\/b>66...<\/p>\n

En China<\/b> tambi\u00e9n se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui<\/b> en el siglo III, utiliza pol\u00edgonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3'14159<\/b>, y Tsu Ch'ung Chi<\/b> en el siglo V da como valor aproximado 355\/113 = 3'141592<\/b>9...<\/p>\n

De la India<\/b> nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas<\/b>, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astron\u00f3micos en los que se da a \u03c0<\/b> <\/b>el valor 3 + 177\/1250, que es exactamente 3'141<\/b>6. A caballo entre los siglos V y VI vive un importante matem\u00e1tico, Aryabhata<\/b>, que en su libro Aryabhatiya da una regla de la que obtenemos ese mismo valor: \"Suma 4 a 100, multiplica por 8 y s\u00famale 62.000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un c\u00edrculo cuyo di\u00e1metro es 20.000\". Muchos a\u00f1os despu\u00e9s, hacia el 1400, otro matem\u00e1tico hind\u00fa, Madhava<\/b> descubre los desarrollos en serie del seno, coseno y arco tangente, y consigue calcular 11 cifras decimales sumando 21 t\u00e9rminos de la serie que, m\u00e1s de doscientos a\u00f1os despu\u00e9s, redescubrir\u00eda Gregory.<\/p>\n

En el siglo IX, Al-Khwarizmi<\/b> hace notar en su tratado de \u00e1lgebra que: \"el hombre pr\u00e1ctico usa 22\/7 como valor de \u03c0, el ge\u00f3metra usa 3, y el astr\u00f3nomo 3,1416.\"<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0 <\/b>En 1429, Al-Khasi<\/b> sigue utilizando el m\u00e9todo de Arqu\u00edmedes y trabaja con pol\u00edgonos de hasta\u00a0805.306.368 lados (3\u00b7228<\/sup>) para obtener el valor 3'14<\/b>159265358979<\/b> (14 cifras). En el siglo XVI, el matem\u00e1tico franc\u00e9s Vieta<\/b> us\u00f3 pol\u00edgonos de hasta 393.216 (3\u00b7217<\/sup>) lados para aproximarse hasta 3'14<\/b><\/span>1592653<\/b> (9 cifras).<\/span><\/p>\n

Pero el mayor logro conseguido con este m\u00e9todo se debe al matem\u00e1tico alem\u00e1n, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen<\/b> (1540-1610), que trabaj\u00f3 en el c\u00e1lculo de \u03c0<\/b> casi hasta el d\u00eda de su muerte. Lleg\u00f3 a trabajar con pol\u00edgonos de 43<\/sub>611.6862<\/sub>018.4271<\/sub>387.904 lados (262<\/sup>) consiguiendo una aproximaci\u00f3n de 35 cifras decimales<\/b>. Su deseo fue que, despu\u00e9s de su muerte, se grabar\u00e1 sobre su<\/span> l\u00e1pida el n\u00famero con los 35 decimales calculados.<\/p>\n

El siguiente avance te\u00f3rico se debe a dos holandeses. Willebrod Snell<\/b> (1580-1626) consigue demostrar\u00a0 que el arco x est\u00e1 comprendido entre 3*sen(x)\/(2+cos(x))\u00a0 y\u00a0 1\/3*<\/strong>(2*sen(x)+tan(x)). Christian Huyghens<\/b> (1629-1695), cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geom\u00e9trico, propone que el arco x puede aproximarse por la expresi\u00f3n (sen\u00b2(x)*tan x)1\/3<\/sup> . Con su m\u00e9todo, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el n\u00famero de lados. Como ejemplo tomemos x = \u03c0\/16, y las f\u00f3rmulas de Snell multiplicadas por 16 nos dan unos valores de 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo pr\u00f3ximos que est\u00e1n a \u03c0.<\/p>\n

\n

Como podemos ver, el n\u00famero de lados necesarios para calcular 35 decimales con el m\u00e9todo de Arqu\u00edmedes es bastante considerable, y los nuevos m\u00e9todos de Snell y Huyghens tampoco resultan demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular m\u00e1s y m\u00e1s decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos m\u00e9todos\u00a0 estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matem\u00e1ticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el c\u00e1lculo diferencial de Leibnitz y Newton jug\u00f3 un papel importante en todo ello.<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En 1665, el ingl\u00e9s John Wallis<\/b> descubre el producto infinito \u03c0\/2 = 2\/1 * 2\/3 * 4\/3 * 4\/5 * 6\/5 * ...<\/b>, pero desafortunadamente su convergencia es muy lenta.\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En 1674 el alem\u00e1n G. Leibnitz<\/b> da la serie:<\/span><\/p>\n

\u03c0\/4 = 1 - 1\/3 + 1\/5 -1\/7 + 1\/9 - ...<\/b><\/span><\/p>\n

pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de t\u00e9rminos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran m\u00e9rito, aunque no son \u00fatiles en la pr\u00e1ctica para calcular \u03c0<\/b> con precisi\u00f3n. La serie de Leibnitz<\/b> puede deducirse f\u00e1cilmente del desarrollo de la funci\u00f3n arcotangente como serie de potencias, encontrado por el ingl\u00e9sGregory<\/b> (1671):<\/span><\/p>\n

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que para x = 1 nos da la serie anterior. Es f\u00e1cil darse cuenta de que si tomamos para x un valor comprendido entre 0 y 1, entonces los t\u00e9rminos de la serie se hacen peque\u00f1os de forma m\u00e1s r\u00e1pida, y tenemos que sumar muchos menos t\u00e9rminos para conseguir una buena aproximaci\u00f3n. Proponemos por ejemplo tomar x = ra\u00edz(3)\/3, y obtenemos la serie:<\/p>\n

\u03c0\/6 = ra\u00edz(3)\/3 * ( 1 - 1\/(3*3) + 1\/(5*32<\/sup>) - 1\/(7*33<\/sup>) + 1\/(9*34<\/sup>) - ... )<\/b><\/span><\/p>\n

que converge de forma bastante r\u00e1pida. S\u00f3lo con sumar 10 t\u00e9rminos y multiplicar por 2*ra\u00edz(3), tengo un valor de \u03c0<\/b> con 5 decimales correctos. Sin embargo esta serie no fue utilizada en la pr\u00e1ctica. \u00bfPor qu\u00e9? Porque hab\u00eda que calcular la ra\u00edz de 3 con muchos decimales exactos para obtener una buena aproximaci\u00f3n, y esto no era una tarea f\u00e1cil a finales del siglo XVII.\u00a0<\/span><\/p>\n

\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 La soluci\u00f3n a todo deb\u00eda ser una serie de convergencia r\u00e1pida y que no implicara el c\u00e1lculo de ra\u00edces o expresiones\u00a0 excesivamente complejas. John Machin<\/b> (1706) encuentra la soluci\u00f3n:<\/span><\/p>\n

\u03c0\/4 = 4*arc tan (1\/5) - arc tan (1\/239)<\/span><\/p>\n

T\u00e9ngase en cuenta que tan (4*arc tan (1\/5)) = (5\/6) \/ (119\/144) = 120\/119, utilizando
\ndos veces la f\u00f3rmula de la tangente del \u00e1ngulo doble. Por tanto, tan (4*arc tan (1\/5) - arc tan (1\/239) =
\n= [tan (4*arc tan (1\/5)) - 1\/239] \/ [1 + tan (4*arc tan (1\/5))*1\/239]; y\u00a0 sustituyendo el primer valor obtenido
\nnos queda\u00a0 (120\/119 - 1\/239) \/ (1 - 120\/119 * 1\/239) = (28680 - 119) \/ (28441+120) = 1.<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En la pr\u00e1ctica el n\u00famero de t\u00e9rminos que hace falta sumar correspondientes al desarrollo de arc tan (1\/239) se limita a unos pocos sumandos, pues \u00e9stos se hacen muy peque\u00f1os r\u00e1pidamente. En el desarrollo del otro t\u00e9rmino hay que tomar m\u00e1s sumandos, pero el c\u00e1lculo de estos es mucho m\u00e1s sencillo. Utilizando su f\u00f3rmula, Machin<\/b> consigui\u00f3 100 decimales<\/b> (calculados a mano, a principios del siglo XVIII).\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 A\u00f1os m\u00e1s tarde, Euler<\/b> encontr\u00f3 algunas f\u00f3rmulas m\u00e1s de las que destacamos dos por su sencillez y belleza. En 1734 consigue calcular la suma de los inversos de los cuadrados, problema que se hab\u00eda resistido durante a\u00f1os a los intentos de muchos matem\u00e1ticos.\u00a0La convergencia de esta serie es, sin embargo, lenta,<\/span><\/p>\n

<\/p>\n

La segunda, descubierta en 1738, converge de una forma mucho m\u00e1s r\u00e1pida.<\/span><\/p>\n

\u00a0arc tan (1) = arc tan (1\/2) + arc tan (1\/3) = <\/b>\u00a0\u03c0<\/b><\/span>\/4<\/b><\/span><\/p>\n

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Demostraci\u00f3n: Obs\u00e9rvese primero que los dos tri\u00e1ngulos azules son semejantes, ya que tienen un \u00e1ngulo de 90\u00ba y la tangente del m\u00e1s agudo vale 1\/2. En el tri\u00e1ngulo grande b + c + 45\u00ba = 90\u00ba. De donde b + c = 45\u00ba.\u00a0Pero b = arc tan (1\/2) y c = arc tan (1\/3).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

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\n

\u00a0\u00a0\u00a0 Otra forma sencilla de verlo. Basta con darse cuenta de que b=arc tan (1\/2)
\ny c=arc tan (1\/3). Y la suma b+c es el \u00e1ngulo que queda entre el lado del
\ncuadrado azul y su diagonal; es decir, la mitad de un \u00e1ngulo recto. Por tanto,
\nb+c = 45\u00ba.<\/p>\n<\/td>\n

<\/td>\n<\/tr>\n
\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Una tercera demostraci\u00f3n puede hacerse utilizando n\u00fameros complejos. Si multiplicamos:<\/p>\n

(2+i)*(3+i)<\/b> = 6 + 2i + 3i - 1 = 5 + 5i<\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Pero el argumento de 2+i es arc tan (1\/2) y el de 3+i es arc tan (1\/3). Al multiplicar los dos n\u00fameros
\nlos argumentos se suman, con lo cual arc tan (1\/2) + arc tan (1\/3) es arc tan (1) = \u03c0\/4.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

La f\u00f3rmula desarrollada quedar\u00eda como sigue:<\/p>\n

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\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En esta \u00e9poca se sol\u00eda utilizar la letra \"p\" (peripheria) para designar a la raz\u00f3n entre circunferencia y di\u00e1metro, aunque algunos, como el ingl\u00e9s William Jones (1706), ya utilizaban el s\u00edmbolo \u03c0<\/b><\/span>. FueLeonhard Euler<\/b> quien introdujo este s\u00edmbolo de forma definitiva al utilizarlo en su libro \"Introductio in Analysin Infinitorum\"<\/i>, publicado en 1748.<\/p>\n

A\u00f1os m\u00e1s tarde, en 1755, Euler encontrar\u00eda otra f\u00f3rmula de convergencia r\u00e1pida. Esta f\u00f3rmula le permiti\u00f3 calcular 20 decimales de \u03c0<\/b><\/span> en una hora. La f\u00f3rmula es:<\/p>\n

\u03c0\/4 = 5*arc tan(1\/7) + 2*arc tan(3\/79)<\/b><\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 No es s\u00f3lo que la serie converja muy r\u00e1pida, es que Euler era un verdadero prodigio para el c\u00e1lculo. Era capaz de recitar de memoria cantidades como 2414<\/sup> \u00f3 3376<\/sup>, y\u00a0 hacer c\u00e1lculos mentales en los que ten\u00eda que retener en la memoria hasta 50 cifras decimales.\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Durante el siglo XVIII se descubrieron m\u00e1s f\u00f3rmulas del estilo de la de Machin. Destacaremos especialmente la de Hermann, \u03c0<\/b><\/span>\/4 = 2*arc tan (1\/2) - arc tan (1\/7) <\/b>y la de Hutton (1776), <\/b><\/span>\u03c0<\/b><\/span>\/4 = 2*arc tan (1\/3) + arc tan (1\/7)<\/b>. La f\u00f3rmula de Euler y la de Hutton fueron utilizadas por Vega en 1789 para calcular 140 decimales (126 correctos).
\n<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En 1761 Lambert<\/b> demuestra que \u03c0<\/b><\/span> es irracional, y en 1794 Legendre<\/b> prueba un resultado un poco m\u00e1s fuerte que \u03c0<\/b><\/span>2<\/sup><\/span><\/b> tambi\u00e9n es irracional. En 1882<\/b> el alem\u00e1n Lindemann<\/b> demuestra que \u03c0<\/b><\/span> es trascendente, lo cual supone (entre otras cosas) que la cuadratura del c\u00edrculo es imposible; este problema hab\u00eda permanecido sin resolver durante m\u00e1s de 2000 a\u00f1os. Tambi\u00e9n arroja un poco de luz sobre la naturaleza de \u03c0<\/b><\/span>: nunca podremos llegar a conocerlo; sus decimales constituyen una sucesi\u00f3n ilimitada no peri\u00f3dica que ni siquiera es la ra\u00edz de una ecuaci\u00f3n algebraica. Algunos consideran los decimales de\u03c0<\/b><\/span> como una especie de sucesi\u00f3n de n\u00fameros aleatorios, impredecible e indeterminable.<\/p>\n

En 1844, Dase<\/b>, un calculista ultrarr\u00e1pido, utiliz\u00f3 otra f\u00f3rmula del tipo arcotangente para conseguir una aproximaci\u00f3n con 200 decimales<\/b> correctos. La f\u00f3rmula descubierta por Strassnitzky es:<\/p>\n

\u03c0<\/b><\/span>\/4 = arc tan (1\/2) + arc tan (1\/5) + arc tan (1\/8)<\/span><\/b><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 El gran matem\u00e1tico alem\u00e1n, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), tambi\u00e9n descubri\u00f3 algunas f\u00f3rmulas similares a las anteriores. Una de las m\u00e1s utilizadas ha sido:<\/span><\/p>\n

\u03c0<\/b><\/span>\/4 = 12*arc tan (1\/18) + 8*arc tan (1\/57) - 5*arc tan (1\/239)<\/span><\/b><\/p>\n

Y otra similar descubierta por St\u00f6rmer (1896):<\/span><\/p>\n

\u03c0<\/b><\/span>\/4 = 6*arc tan (1\/8) + 2*arc tan (1\/57) + arc tan (1\/239)<\/span><\/b><\/p>\n

La idea es que cuanto mayores sean los denominadores, m\u00e1s r\u00e1pida ser\u00e1 la convergencia. Tambi\u00e9n se pierde eficacia si el n\u00famero de sumandos es grande.\u00a0<\/span><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 El \u00faltimo gran esfuerzo lo hizo el ingl\u00e9s Willian Shanks<\/b>, que calcul\u00f3 a mano 707 decimales<\/b> (527 correctos) utilizando la f\u00f3rmula de Machin. El c\u00f3mputo le supuso una dedicaci\u00f3n de 20 a\u00f1os, acabando en 1853. Para superar esta marca hubo que esperar hasta 1946, a\u00f1o en el que Ferguson detecta el error de Shanks en el decimal 528. El c\u00e1lculo lo realiz\u00f3 con la ayuda de una calculadora (de las de entonces), llegando en 1947 a los 808<\/b> decimales. En 1949 llegaron a calcularse 1120<\/b>, y a partir de esta fecha empieza la era del ordenador electr\u00f3nico.<\/p>\n

\n

Fue Reitweisner quien en 1949 y siguiendo una sugerencia de Von Neumann, calcul\u00f3 2037<\/b> decimales en 70 horas. Utiliz\u00f3 uno de los primeros ordenadores electr\u00f3nicos, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), que pesaba 18 toneladas. En 1958, Genuys utiliza un IBM 704 para alcanzar los 10.000<\/b> decimales en 100 minutos. En ambos casos se emple\u00f3 la f\u00f3rmula de Machin.<\/p>\n

En 1961, Shanks y Wrench alcanzan los 100.265<\/b> decimales en 8 horas y 43 minutos sobre un IBM 7090. En 1967, Guilloud y Dichampt alcanzan los 500.000<\/b> sobre un CDC 6600. En 1973, Guilloud y Bouyer alcanzan 1.001.250<\/b> decimales sobre un CDC 7600 en 22 horas y 11 minutos, m\u00e1s 1 hora y 7 minutos para pasar el resultado a decimal. En los tres casos se utilizaron las f\u00f3rmulas de Gauss y St\u00f6rmer, una para hacer el primer c\u00e1lculo y la otra para comprobarlo.<\/p>\n

Se siguieron utilizando estas f\u00f3rmulas del arco tangente en sus diversas variantes hasta la mitad de la d\u00e9cada de los 80. Pero ya se dejaba ver que estas f\u00f3rmulas no eran suficientes para alcanzar cantidades mucho m\u00e1s grandes, tales como 1.000.000.000 de cifras (109<\/sup>). Se estim\u00f3 que un ordenador necesitar\u00eda m\u00e1s de 25 a\u00f1os de c\u00e1lculo ininterrumpido para llegar a tales metas. El objetivo era ahora encontrar algoritmos m\u00e1s eficaces, m\u00e9todos que permitieran calcular m\u00e1s decimales en menos tiempo. La primera soluci\u00f3n fue una serie descubierta por Ramanujan en 1914,<\/p>\n

<\/p>\n

que fue utilizada por Gosper en 1985 para conseguir 17.526.200<\/b> decimales. La principal caracter\u00edstica de esta serie es que cada t\u00e9rmino sumado a\u00f1ade 8 decimales exactos al valor calculado para \u03c0<\/b><\/span>.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Quiz\u00e1 el hecho de que la serie de Ramanujan sea algo compleja hizo que se buscar\u00e1n otras alternativas. El antiguo m\u00e9todo de Arqu\u00edmedes hab\u00eda sido estudiado y formalizado por Pfaff en 1800. Este algoritmo puede expresarse de forma recurrente con las siguientes f\u00f3rmulas:<\/p>\n

an+1<\/sub> = 2*an<\/sub>*bn<\/sub>\/(an<\/sub>+bn<\/sub>)\u00a0\u00a0 ,\u00a0\u00a0 bn+1<\/sub> = ra\u00edz (an+1<\/sub>*bn<\/sub>)<\/b>\u00a0\u00a0 tomando a0<\/sub> = 2*ra\u00edz(3) ,\u00a0 b0<\/sub> = 3<\/p>\n

pero como ya sabemos la sucesi\u00f3n converge a \u03c0 muy lentamente (convergencia lineal).<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En 1976, Brent y Salamin (de forma independiente) encuentran una sucesi\u00f3n similar a la anterior pero que converge de forma cuadr\u00e1tica (el n\u00famero de decimales obtenidos se duplica con cada iteraci\u00f3n). Al algoritmo se le suele llamar de Brent-Salamin, o tambi\u00e9n de Gauss-Legendre. El algoritmo es el que sigue, siendo pn<\/sub> una sucesi\u00f3n que converge a \u03c0:<\/p>\n

an<\/sub> = (an-1<\/sub>+bn-1<\/sub>)\/2\u00a0\u00a0 ,\u00a0\u00a0 bn<\/sub> = ra\u00edz (an-1<\/sub>*bn-1<\/sub>)\u00a0\u00a0 ,\u00a0\u00a0 cn<\/sub> = an-1<\/sub>- an<\/sub>\u00a0<\/b><\/p>\n

pn<\/sub> = 4*(an+1<\/sub>)2<\/sup>\/(1-suma {(k=0,inf) 2k+1<\/sup> ck<\/sub>2<\/sup>})\u00a0\u00a0<\/b>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 tomando a0<\/sub> = 1 ,\u00a0 b0<\/sub> = 1\/ra\u00edz(2)\u00a0 ,\u00a0 n>0<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Otro algoritmo en esta l\u00ednea es el que los hermanos Borwein encontraron en 1984, y que tambi\u00e9n converge de forma cuadr\u00e1tica (convergencia de segundo orden):<\/p>\n

xn+1<\/sub> = (ra\u00edz(xn<\/sub>) + 1\/ra\u00edz(xn<\/sub>))\/2\u00a0 ,\u00a0\u00a0\u00a0 yn+1<\/sub> = ra\u00edz(xn<\/sub>)*(yn <\/sub>+ 1)\/(xn<\/sub> + yn<\/sub>)<\/b><\/p>\n

pn<\/sub>=pn-1<\/sub>*yn+1<\/sub>*(xn+1<\/sub> +1)\/(yn+1<\/sub> + 1)<\/b>\u00a0\u00a0 tomando x0<\/sub> = ra\u00edz(2) , y0<\/sub> = 0 , p0<\/sub> = 2 + ra\u00edz(2)<\/p>\n

En 1985 encontraron otros dos algoritmos de convergencias c\u00fabica y cu\u00e1rtica respectivamente. Este \u00faltimo se calcula de la siguiente forma, siendo an<\/sub> una sucesi\u00f3n que converge a 1\/\u03c0:<\/p>\n

yn+1<\/sub> = (1 - (1-yn<\/sub>4<\/sup>)1\/4<\/sup>)\/(1 + (1-yn<\/sub>4<\/sup>)1\/4<\/sup>)\u00a0\u00a0\u00a0 ,\u00a0\u00a0\u00a0 an+1<\/sub> = (1+yn+1<\/sub>)4<\/sup> an<\/sub> - 22n+3<\/sup> yn+1<\/sub>(1 + yn<\/sub> + yn+1<\/sub>2<\/sup>)<\/b><\/p>\n

tomando\u00a0 y0<\/sub> = ra\u00edz(2) - 1\u00a0\u00a0 ,\u00a0\u00a0 a0<\/sub> = 6 - 4*ra\u00edz(2)<\/p>\n

Este \u00faltimo algoritmo fue utilizado en 1986 por Bailey para calcular 29.360.111<\/b> decimales sobre un Cray-2. Decir que los hermanos Borwein siguieron trabajando en este tipo de algoritmos y encontraron sucesiones que convergen a \u03c0 de forma qu\u00edntica, s\u00e9ptica?, n\u00f3nica,... Tambi\u00e9n obtuvieron algunas f\u00f3rmulas similares a la de Ramanujan.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 En 1988 Kanada y Tamura calculan 201.326.000<\/b> decimales sobre un Hitachi S-820 en 6 horas, utilizando el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin). S\u00f3lo necesitaron 28 iteraciones para obtener el resultado. El algoritmo de Borwein de convergencia de cuarto orden (convergencia cu\u00e1rtica)\u00a0 fue utilizado para verificar el resultado.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Ese mismo a\u00f1o los hermanos Chudnovsky siguiendo la l\u00ednea de Ramanujan encuentran la siguiente f\u00f3rmula:<\/p>\n

<\/p>\n

Cada t\u00e9rmino de esta f\u00f3rmula a\u00f1ade 14 decimales exactos al valor calculado para \u03c0, y con ella consiguieron la marca de 4.044.000.000<\/b> de decimales en 1994 utilizando un ordenador de fabricaci\u00f3n propia.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 El 20 de septiembre de 1999, Kanada y Takahashi consiguen 206.158.430.000<\/b> decimales. Hacen dos c\u00e1lculos independientes. El programa principal utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin) y tarda un total de 37h 21m 04s. El programa de verificaci\u00f3n utiliza el algoritmo de convergencia de cuarto orden de Borwein y tarda un total de 46h 07m 10s. El ordenador es un Hitachi SR8000 de la Universidad de Tokio, con 128 microprocesadores y una memoria principal superior a 800 GB. La velocidad de proceso para cada uno de los microprocesadores puede alcanzar los 8.000.000.000 de FLOPs (8.000 megaflops, 8*109<\/sup> operaciones de coma flotante por segundo).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Historia del c\u00e1lculo de pi Nos encontramos con el n\u00famero \u03c0 cuando dividimos la longitud de una circunferencia entre su di\u00e1metro. Podemos hallar una aproximaci\u00f3n con cualquier objeto redondo como, por ejemplo, un bote de conservas. Para llevar a cabo el experimento he buscado uno en mi despensa y lo he medido. He obtenido para … <\/p>\n

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