{"id":64,"date":"2020-04-08T02:09:21","date_gmt":"2020-04-08T02:09:21","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/?page_id=64"},"modified":"2020-05-03T18:49:51","modified_gmt":"2020-05-03T18:49:51","slug":"parametrizaciones-de-trayectorias","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/parametrizaciones-de-trayectorias\/","title":{"rendered":"4.1. Parametrizaciones de trayectorias"},"content":{"rendered":"<ul>\n<li><strong>Parametrizaci\u00f3n de una circunferencia de radio r y centro en (h,k), en sentido positivo.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)=\\left ( r \\cos(t)+h,r \\sin(t)+k \\right ); 0\\leqslant t\\leq 2\\pi<\/span>\n<p>Aqui\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span> se recorre desde\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0<\/span> hasta\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">2\\pi<\/span> para formar una circunferencia completa, ver Figura 4.1.1.<\/p>\n<div id=\"attachment_394\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_1a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-394\" class=\"size-full wp-image-394\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_1a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-394\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.1. Circunferencia parametrizada en orientaci\u00f3n positiva.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de una elipse con semieje horizontal\u00a0a, semieje vertical b y centro en (h,k), en sentido positivo.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)=\\left ( a \\cos(t)+h,b \\sin(t)+k \\right ); 0\\leqslant t\\leq 2\\pi<\/span>\n<p>Aqui\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span> se recorre desde\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0<\/span> hasta\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">2\\pi<\/span> para formar una elipse completa, ver Figura 4.1.2.<\/p>\n<div id=\"attachment_397\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_2.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-397\" class=\"size-full wp-image-397\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_2.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-397\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.2. Elipse parametrizada en orientaci\u00f3n positiva.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de un segmento de recta en el plano o el espacio con punto inicial <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\mathbf{P_{o}}<\/span> y punto final <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\mathbf{P_{f}}<\/span>.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t) = P_{o}+\\left ( P_{f}-P_{o} \\right )t \\; ;0\\leq t\\leq 1<\/span>\n<p>El sentido de la curva esta dado por el punto inicial y final.<\/p>\n<div id=\"attachment_404\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_3.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-404\" class=\"size-full wp-image-404\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_3.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-404\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.3. Segmentos de recta en el espacio y el plano.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de una funci\u00f3n\u00a0continua de variable real en un intervalo <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\mathbf{I \\subseteq \\mathbb{R}}<\/span>.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">f:\\left [ a,b \\right ] \\rightarrow \\mathbb{R} \\mid y=f\\left ( x \\right ) ,o \\: \\: tambi \\acute{e} n \\: x=f\\left ( y \\right )<\/span>\n<p>Se define al par\u00e1metro\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span> igual a la variable independiente, ya sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x<\/span> o\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">y<\/span>.<\/p>\n<p>En el caso <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">y=f\\left ( x \\right )<\/span>, con <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a \\leq x \\leq b<\/span> se emplea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t) = \\left ( t, f(t) \\right ) \\; ;a \\leq t \\leq b<\/span><\/p>\n<p>En el caso <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x=f\\left ( y \\right )<\/span>, con <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">c \\leq y \\leq d<\/span> se emplea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t) = \\left ( f(t), t \\right ) \\; ;c \\leq t \\leq d<\/span><\/p>\n<p>Esto a su vez define el sentido de recorrido en la curva: igual al de la variable independiente, ver Figura 4.1.4.<\/p>\n<div id=\"attachment_425\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_4.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-425\" class=\"size-full wp-image-425\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_4.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-425\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.4. Curvas tipo funci\u00f3n de varia real, el par\u00e1metro toma el valor de la variable independiente.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de curvas definidas en coordenadas polares.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<p>Una curva de ecuaci\u00f3n\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r=r\\left ( \\theta \\right ) ; \\theta_{1} \\leq \\theta \\leq \\theta_{2}<\/span>, se puede parametrizar como:<\/p>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r\\left ( \\theta \\right ) =\\left ( \\; r \\left ( \\theta \\right ) \\cos(\\theta), \\; r \\left ( \\theta \\right ) \\sin(\\theta) \\right ) \\; ; \\theta_{1} \\leq \\theta \\leq \\theta_{2}<\/span>\n<p>El recorrido de la curva es en el sentido de crecimiento de la variable\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\theta<\/span>, ver Figura 4.1.5.<\/p>\n<div id=\"attachment_455\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_5b.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-455\" class=\"size-full wp-image-455\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_5b.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-455\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.5. Parametrizaci\u00f3n de una curva en coordenadas polares, el recorrido de la curva es con el \u00e1ngulo.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de una h\u00e9lice\u00a0circular de paso b.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)=\\left ( a \\cos(t), a \\sin(t), \\frac{b}{2\\pi}t \\right ); 0\\leqslant t\\leq 2\\pi<\/span>\n<p>La h\u00e9lice tiene radio <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a<\/span>, y cada vuelta se eleva un paso <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">b<\/span>, ver Figura 4.1.6.<\/p>\n<div id=\"attachment_445\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_6.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-445\" class=\"size-full wp-image-445\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_6.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-445\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.6. H\u00e9lice circula de radio a y paso b.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><b>Parametrizaci\u00f3n de una espira toroidal.<\/b><\/li>\n<\/ul>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r\\left ( t \\right ) =\\left ( \\left ( a\\cos(nt)+b\\right )\\cos(t), \\left (a\\cos(nt)+b\\right )\\sin(t),a\\sin(nt) \\right ) ; 0 \\leq t&lt;2\\pi<\/span>\n<p>La espiral tiene radio <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a<\/span>, da\u00a0<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">n<\/span> vuelta sobre la superficie toroidal de radio central <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">b<\/span>, ver Figura 4.1.7.<\/p>\n<div id=\"attachment_459\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_7z.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-459\" class=\"size-full wp-image-459\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_1_7z.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-459\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.1.7. Espira Toroidal, consiste en una espira que yace sobre una superficie toroidal (dona) dando una determinada cantidad de vueltas.<\/p><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<hr \/>\n\n<table id=\"tablepress-4\" class=\"tablepress tablepress-id-4\">\n<tbody class=\"row-striping row-hover\">\n<tr class=\"row-1\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/parametrizaciones-de-trayectorias\/\">4.1. Parametrizaciones de trayectorias<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-2\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/velocidad-rapidez-aceleracion\/\">4.2.Velocidad, rapidez y aceleraci\u00f3n de una curva<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-3\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/vector-tangencial-normal-y-binormal\/\">4.3. Vector Tangencial, Normal y Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleraci\u00f3n.<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-4\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas\/\">4.4. Longitud de arco, curvatura y torsi\u00f3n de curvas<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-5\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas\/reparametrizaciones-respecto-a-la-longitud-de-arco\/\">4.4.1. Reparametrizaciones respecto a la longitud de arco<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-6\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/funciones-vectoriales-de-variable-vectorial\/\">4.5. Funciones vectoriales de variable vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-7\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/divergencia-y-rotacional-de-un-campo-vectorial\/\">4.6. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Parametrizaci\u00f3n de una circunferencia de radio r y centro en (h,k), en sentido positivo. Aqui\u00a0 se recorre desde\u00a0 hasta\u00a0 para formar una circunferencia completa, ver Figura 4.1.1. 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