{"id":68,"date":"2020-04-08T02:13:23","date_gmt":"2020-04-08T02:13:23","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/?page_id=68"},"modified":"2020-07-15T03:10:17","modified_gmt":"2020-07-15T03:10:17","slug":"vector-tangencial-normal-y-binormal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/vector-tangencial-normal-y-binormal\/","title":{"rendered":"4.3. Vector Tangencial, Normal, Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleraci\u00f3n."},"content":{"rendered":"<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.1 Vector Tangente Unitario\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span> una curva regular, parametrizada en la variable t, se define el vector tangente unitario como:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T(t)=\\frac{{r}'(t)}{\\left \\| {r}'(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>En cada punto de la curva apunta en la direcci\u00f3n tangente, ver Figura 4.3.1.<\/p>\n<div id=\"attachment_519\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_1.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-519\" class=\"size-full wp-image-519\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_1.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-519\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.1. Vector Tangente unitario, en cada punto es tangente a la curva.<\/p><\/div>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.2 Vector Normal Unitario\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span> un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector normal unitario como:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">N(t)=\\frac{{T}'(t)}{\\left \\| {T}'(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>En cada punto de la curva va en direcci\u00f3n perpendicular a la linea tangente tangente, ver Figura 4.3.2<\/p>\n<div id=\"attachment_631\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_2a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-631\" class=\"size-full wp-image-631\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_2a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-631\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.2. Vector Normal unitario, este vector es perpendicular a la linea tangente en cada punto de la curva, va en la direcci\u00f3n normal de la curva.<\/p><\/div>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.3 Vector Binormal Unitario\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span> un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector binormal unitario como:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">B(t)=T(t) \\times N(t)<\/span><\/p>\n<p>En cada punto de la curva apunta en direcci\u00f3n normal al plano formado por la tangente y la perpendicular, ver Figura 4.3.3, si el vector Binormal es nulo, se dice que la curva esta contenida en un plano.<\/p>\n<div id=\"attachment_632\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_3a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-632\" class=\"size-full wp-image-632\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_3a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-632\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.3. Vector Binormal unitario, es perpendicular la plano formado por la linea tangente y perpendicular en cada punto de la curva.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><strong>M\u00e1s formulas para conseguir los vectores <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\mathbf{T, \\; N \\; y \\; B}<\/span>.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span> un curva regular parametrizada en la variable t, se puede conseguir los vectores antes definidos mediante:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T(t)=N(t) \\times B(t)<\/span><br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">N(t)=B(t) \\times T(t)<\/span><br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">B(t)=\\frac{{r}'(t) \\times {r}''(t)}{\\left \\| {r}'(t) \\times {r}''(t) \\right \\|}<\/span><br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">N(t)=\\frac{ \\left ( {r}'(t) \\times {r}''(t) ) \\times {r}'(t) \\; \\right )}{\\left \\| ( {r}'(t) \\times {r}''(t) ) \\times {r}'(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>Los vectores <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T, \\; N \\; y \\; B<\/span> son mutuamente ortogonales, y forman una base ortonormal para cada punto de la curva, ver Figura 4.3.4.<\/p>\n<div id=\"attachment_633\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_4a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-633\" class=\"size-full wp-image-633\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_4a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-633\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.4. Triedro Frenet Serret, formado por T, N y B, forman una base ortonormal en cada punto de la curva.<\/p><\/div>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.4. Plano Normal\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span>\u00a0una curva regular, parametrizada en la variable <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span>, el plano normal en el punto <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t_{0})<\/span> tiene como vector normal al vector Tangente unitario <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T<\/span>, su ecuaci\u00f3n es:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\pi _N:\\left ( \\bar{x}-r \\left ( t_{0} \\right ) \\right ) \\cdot T=0<\/span><\/p>\n<p>Aqui <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\bar{x}=(x,y,z)<\/span> es un punto desconocido en el espacio.<\/p>\n<div id=\"attachment_634\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_5a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-634\" class=\"size-full wp-image-634\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_5a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-634\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.5. Plano Normal, tiene como vector normal al vector Tangente unitario en cada punto de la curva.<\/p><\/div>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.5. Plano Rectificante\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span>\u00a0una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span>, el plano rectificante en el punto <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t_{0})<\/span> tiene como vector normal al vector Normal unitario <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">N<\/span>, su ecuaci\u00f3n es:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\pi _R:\\left ( \\bar{x}-r \\left ( t_{0} \\right ) \\right ) \\cdot N=0<\/span><\/p>\n<p>Aqui <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\bar{x}=(x,y,z)<\/span> es un punto desconocido en el espacio, el plano rectificante contiene al vector <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T<\/span> y <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">B<\/span>.<\/p>\n<div id=\"attachment_635\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_6a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-635\" class=\"size-full wp-image-635\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_6a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-635\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.6. Plano Rectificante, tiene como vector normal al vector Normal unitario en cada punto de la curva.<\/p><\/div>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.5. Plano Osculador\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span>\u00a0una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t<\/span>, el plano osculador en el punto <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t_{0})<\/span> tiene como vector normal al vector Binormal unitario <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">B<\/span>, su ecuaci\u00f3n es:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\pi _B:\\left ( \\bar{x}-r \\left ( t_{0} \\right ) \\right ) \\cdot B=0<\/span><\/p>\n<p>Aqui <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\bar{x}=(x,y,z)<\/span> es un punto desconocido en el espacio, el plano osculador contiene al vector <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T<\/span> y <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">N<\/span>.<\/p>\n<div id=\"attachment_636\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_7a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-636\" class=\"size-full wp-image-636\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_7a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-636\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.7. Plano Binormal, tiene como vector normal al vector Binormal unitario en cada punto de la curva.<\/p><\/div>\n<p>Los tres planos anteriores se conocen como los planos principales de la curva en cada punto, forman un sistema de referencia local, ver Figura 4.3.8.<\/p>\n<div id=\"attachment_637\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_8a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-637\" class=\"size-full wp-image-637\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_8a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-637\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.8. En cada punto de la curva, los planos principales y los vectores T, N y B forman un sistema de referencia local.<\/p><\/div>\n<p>Los vectores <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T,N,B<\/span> forman un sistema de referencia respecto al cual se puede descomponer alg\u00fan otro vector, por ejemplo el vector aceleraci\u00f3n <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">{r}''(t)<\/span>.<\/p>\n<p>Debido a que los vectores <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T,N,B<\/span> forman una base ortonormal, al expresar un vector como combinaci\u00f3n lineal de esta base, los coeficientes que multiplican a cada vector de la base para poder formar la combinaci\u00f3n son el producto punto con cada uno respectivamente.<\/p>\n<div class='dropshadowboxes-container ' style='width:auto;'>\r\n                            <div class='dropshadowboxes-drop-shadow dropshadowboxes-rounded-corners dropshadowboxes-inside-and-outside-shadow dropshadowboxes-lifted-both dropshadowboxes-effect-default' style=' border: 1px solid #dddddd; height:; background-color:#ffffff;    '>\r\n                            Definici\u00f3n 4.3.6. Componentes de la aceleraci\u00f3n: Aceleraci\u00f3n Tangencial, Normal y Binormal.\r\n                            <\/div>\r\n                        <\/div>\n<p>Sea <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">r(t)<\/span> un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el vector aceleraci\u00f3n puede expresarse como una combinaci\u00f3n lineal de <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">T,N,B<\/span> donde que cada vector son la componente Tangencial, Normal y Binormal de la aceleraci\u00f3n respectivamente:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">{r}''(t)= \\overrightarrow{a}(t)= \\overrightarrow{a_{T}}(t) + \\overrightarrow{a_{N}}(t) +\\overrightarrow{a_{B}}(t)<\/span><\/p>\n<p>Donde se cumple que:<br \/>\nAceleraci\u00f3n tangencial: <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overrightarrow{a_{T}}(t) = \\left (\\overrightarrow{a}(t) \\cdot T\\right )T<\/span><br \/>\nAceleraci\u00f3n normal: <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overrightarrow{a_{N}}(t) = \\left (\\overrightarrow{a}(t) \\cdot N\\right )N<\/span><br \/>\nAceleraci\u00f3n binormal: <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overrightarrow{a_{B}}(t) = \\left (\\overrightarrow{a}(t) \\cdot B\\right )B<\/span><\/p>\n<p>Como se conoce que <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\left \\| T \\right \\|=\\left \\| N \\right \\|=\\left \\| B \\right \\|=1<\/span>, entonces las magnitudes de las componentes de la aceleraci\u00f3n, para curvas en el plano y en el espacio, pueden ser expresadas como:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Para curvas en el plano<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n tangencial:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{T}(t) = \\overrightarrow{a}(t) \\cdot T =\\frac{ {r}''(t) \\cdot {r}'(t) }{ \\left \\| {r}' \\right \\| }<\/span><\/p>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n normal:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{N}(t) = \\overrightarrow{a}(t) \\cdot N = \\frac{ \\left \\| {r}'(t) \\times {r}''(t) \\right \\| }{ \\left \\| {r}'(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n binormal:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{B}(t) = \\overrightarrow{a}(t) \\cdot B = 0<\/span><\/p>\n<p>Ademas como la aceleraci\u00f3n total es el vector resultante, su magnitud es:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}<\/span><br \/>\nEn la Figura 4.3.9 se muestra la aceleraci\u00f3n junto a sus componentes para una curva en el plano.<\/p>\n<div id=\"attachment_638\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_9a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-638\" class=\"size-full wp-image-638\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_9a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-638\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.9. Componentes de la aceleraci\u00f3n para una curva en el plano.<\/p><\/div>\n<ul>\n<li><strong>Para curvas en el espacio<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n tangencial:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{T}(t) = \\overrightarrow{a}(t) \\cdot T =\\frac{ {r}''(t) \\cdot {r}'(t) }{ \\left \\| {r}' \\right \\| }<\/span><\/p>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n normal:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{N}(t) = \\overrightarrow{a}(t) \\cdot N = \\frac{ \\left \\| {r}'(t) \\times {r}''(t) \\right \\| ^{2} }{ \\left \\| ({r}'(t) \\times {r}''(t)) \\times {r}'(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>Magnitud de la aceleraci\u00f3n binormal:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a_{B}(t)= \\overrightarrow{a}(t) \\cdot B = \\frac{ {r}''(t) \\cdot ({r}'(t) \\times {r}''(t))}{\\left \\| {r}'(t) \\times {r}''(t) \\right \\|}<\/span><\/p>\n<p>Ademas como la aceleraci\u00f3n total es el vector resultante, su magnitud es:<br \/>\n<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}+a_{B}(t)^{2}<\/span><\/p>\n<p>En la Figura 4.3.10 se muestra la aceleraci\u00f3n junto a sus componentes para una curva en el espacio.<\/p>\n<div id=\"attachment_639\" style=\"width: 570px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_10a.gif\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-639\" class=\"size-full wp-image-639\" src=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_3_10a.gif\" alt=\"\" width=\"560\" height=\"420\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-639\" class=\"wp-caption-text\">Figura 4.3.10. Componentes de la aceleraci\u00f3n para una curva en el espacio.<\/p><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<hr \/>\n\n<table id=\"tablepress-4\" class=\"tablepress tablepress-id-4\">\n<tbody class=\"row-striping row-hover\">\n<tr class=\"row-1\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/parametrizaciones-de-trayectorias\/\">4.1. Parametrizaciones de trayectorias<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-2\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/velocidad-rapidez-aceleracion\/\">4.2.Velocidad, rapidez y aceleraci\u00f3n de una curva<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-3\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/vector-tangencial-normal-y-binormal\/\">4.3. Vector Tangencial, Normal y Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleraci\u00f3n.<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-4\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas\/\">4.4. Longitud de arco, curvatura y torsi\u00f3n de curvas<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-5\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas\/reparametrizaciones-respecto-a-la-longitud-de-arco\/\">4.4.1. Reparametrizaciones respecto a la longitud de arco<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-6\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/funciones-vectoriales-de-variable-vectorial\/\">4.5. Funciones vectoriales de variable vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr class=\"row-7\">\n\t<td class=\"column-1\"><a href=\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/divergencia-y-rotacional-de-un-campo-vectorial\/\">4.6. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sea una curva regular, parametrizada en la variable t, se define el vector tangente unitario como: En cada punto de la curva apunta en la direcci\u00f3n tangente, ver Figura 4.3.1. 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