{"id":70,"date":"2020-04-08T02:16:41","date_gmt":"2020-04-08T02:16:41","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/?page_id=70"},"modified":"2020-05-03T18:51:22","modified_gmt":"2020-05-03T18:51:22","slug":"longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/guias-de-lectura\/funciones-vectoriales\/longitud-de-arco-curvatura-y-torsion-de-curvas\/","title":{"rendered":"4.4. Longitud de arco, curvatura y torsi\u00f3n de curvas"},"content":{"rendered":"
\r\n
\r\n Definici\u00f3n 4.4.1. Longitud de arco\r\n <\/div>\r\n <\/div>\n

Sea un curva regular r:[a,b]\\rightarrow \\mathbb{R}^n \\mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\\cdots ,r_{n}(t))<\/span>, la longitud de la curva desde\u00a0a<\/span> hasta b<\/span> se define como:
\n L=\\int_{a}^{b}\\left \\| {r}'(t) \\right \\|dt<\/span><\/p>\n

La longitud de curva desde el valor inicial\u00a0a<\/span> hasta un valor\u00a0t\\in(a,b]<\/span>, se conoce como funcion longitud de curva:
\nL(t)=\\int_{a}^{t}\\left \\| {r}'(t) \\right \\|dt<\/span><\/p>\n

\r\n
\r\n Definici\u00f3n 4.4.2. Curvatura\r\n <\/div>\r\n <\/div>\n

Sea r(t)<\/span> un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t<\/span>, la curvatura en cada punto t<\/span> se define como:
\n\\kappa (t)=\\frac{\\left \\| {r}'(t)\\times{r}''(t) \\right \\|}{\\left \\| {r}'(t) \\right \\|^{3}}<\/span><\/p>\n

La curvatura es un escalar que mide la rapidez de como la curva se aleja de la recta tangente, mide cuanto la curva 'se curva' en cada punto.<\/p>\n

Para ilustrarlo, considere el \u00e1ngulo \\phi<\/span> que forma el vector tangente unitario T<\/span> respecto al eje positivo X, ver Figura 4.4.1, este es el angulo que mide la direcci\u00f3n del vector velocidad de la curva.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Figura 4.4.1. \u00c1ngulo de inclinaci\u00f3n que forma el vector tangente unitario respecto al eje x.<\/p><\/div>\n

La curvatura \\kappa<\/span> mide la rapidez de la variaci\u00f3n de la direcci\u00f3n \\phi<\/span> del vector velocidad de la curva, es decir del vector {r}'(t)<\/span>, el cual tiene la misma direcci\u00f3n que T<\/span>; por lo cual la curvatura se puede expresar como:
\n\\kappa = \\left | \\frac{d\\phi}{ds} \\right |<\/span><\/p>\n

Donde s<\/span> es la longitud de arco de la curva, y se toma esta derivada para no depender de una parametrizaci\u00f3n en t\u00e9rminos de t<\/span>.<\/p>\n

Para profundizar como parametrizar una curva respecto su longitud de arco, se recomienda visitar 4.4.1. Reparametrizaciones.<\/a><\/p>\n

En los puntos donde la recta tangente se mantiene cerca de la curva<\/em>, la curvatura es menor, pues el \u00e1ngulo \\phi<\/span> experimenta peque\u00f1os cambios.
\nEn los puntos donde la recta tangente se mantiene\u00a0lejos de la curva<\/em>, la curvatura es mayor, pues el \u00e1ngulo \\phi<\/span> experimenta grandes cambios, v\u00e9ase la Figura 4.4.2.
\nLa curvatura es nula cuando la recta tangente yace siempre sobre la curva, por ejemplo en una recta.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Figura 4.4.2. Curvatura en cada punto, mide que tan cerca o lejos est\u00e1 la recta tangente respecto a la curva.<\/p><\/div>\n

La curvatura de un circulo de radio r<\/span> es \\kappa=\\frac{1}{r}<\/span>, entonces para alguna otra curva r(t)<\/span>, un punto donde la \\kappa \\neq 0<\/span>, es posible asociar una circunferencia<\/em> tangente y con la misma curvatura, cuya radio es r=\\frac{1}{\\kappa}<\/span>, y su centro en la direcci\u00f3n normal a la curva.<\/p>\n

\r\n
\r\n Definici\u00f3n 4.4.3. C\u00edrculo Osculador\r\n <\/div>\r\n <\/div>Sea r(t)<\/span> una curva dos veces diferenciable, y sea r(t_{0})<\/span> un punto de la curva donde \\kappa \\neq 0<\/span>,se define al circulo osculador en r(t_{0})<\/span> con radio R=\\frac{1}{\\kappa}<\/span> y centro en el punto r(t_{0})+RN<\/span>, siendo N<\/span> el vector normal unitario, ver Figura 4.4.3.<\/p>\n
\"\"<\/a>

Figura 4.4.3. C\u00edrculo Osculador.<\/p><\/div>\n

La curvatura es mas comprensible en curvas en el plano, sin embargo tambi\u00e9n existe en curvas en el espacio.<\/p>\n

\r\n
\r\n Definici\u00f3n 4.4.4. Torsi\u00f3n\r\n <\/div>\r\n <\/div>\n

Sea r(t)<\/span> un curva regular tres veces diferenciable, parametrizada en la variable t<\/span>, y tal que su curvatura es siempre diferente de cero, la torsi\u00f3n en cada punto t<\/span> se define como:
\n\\tau (t)=\\frac{ \\left( \\; {r}'(t) \\times {r}''(t) \\; \\right) \\cdot {r}'''(t) }{\\left \\| {r}'(t) \\times {r}''(t) \\right \\|^{2}}<\/span><\/p>\n

La torsi\u00f3n de una curva mide la rapidez con que una curva se aleja de su plano osculador.
\nPara ilustrarlo (de una manera informal) considere el angulo \\theta<\/span> que el plano osculador forma respecto al plano XY, la torsi\u00f3n mide la rapidez con la que cambia<\/em> el angulo \\theta<\/span>, ver Figura 4.4.4.<\/p>\n

\"\"<\/a>

Figura 4.4.4. Torsi\u00f3n de una curva mide cuanto la curva se aleja de su plano osculador.<\/p><\/div>\n

 <\/p>\n

\n\n\n\n\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t
4.1. Parametrizaciones de trayectorias<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.2.Velocidad, rapidez y aceleraci\u00f3n de una curva<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.3. Vector Tangencial, Normal y Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleraci\u00f3n.<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.4. Longitud de arco, curvatura y torsi\u00f3n de curvas<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.4.1. Reparametrizaciones respecto a la longitud de arco<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.5. Funciones vectoriales de variable vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
4.6. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sea un curva regular , la longitud de la curva desde\u00a0 hasta se define como: La longitud de curva desde el valor inicial\u00a0 hasta un valor\u00a0, se conoce como funcion longitud de curva: Sea un curva regular dos veces diferenciable, … Sigue leyendo →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":7499,"featured_media":0,"parent":62,"menu_order":5,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"sidebar-page.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-70","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/70","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/users\/7499"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=70"}],"version-history":[{"count":62,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/70\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1014,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/70\/revisions\/1014"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/62"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=70"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}