\nSea \\vec{F} : U \\subset \\mathbb{R}^{n} \\rightarrow \\mathbb{R}^{n}<\/span> un campo vectorial diferenciable, la divergencia de \\vec{F}<\/span> es el valor escalar:
\ndiv F= \\nabla \\cdot \\vec{F} = \\left( \\frac{\\partial}{\\partial x_{1}} ,\\frac{\\partial}{\\partial x_{2}} , \\cdots ,\\frac{\\partial}{\\partial x_{n}} \\right)\\cdot \\left( F_{1},F_{2} , \\cdots , F_{n} \\right)<\/span>
\ndiv F = \\frac{\\partial F_{1}}{\\partial x_{1}} + \\frac{\\partial F_{2}}{\\partial x_{2}} + \\cdots + \\frac{\\partial F_{n}}{\\partial x_{n}}<\/span><\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/davidteran\/files\/2020\/04\/Figura_4_6_1.gif\")
<\/a>Figura 4.6.1. Divergencia de un campo vectorial en cada punto.<\/p><\/div>\n
De manera informal, entendamos el flujo de un campo vectorial sobre una curva<\/b><\/em>\u00a0como la \"cantidad de flechas\" del campo vectorial que salen<\/em> menos la cantidad de flechas que entran<\/em>\u00a0en la curva y que para medir flujo requerimos del vector Normal unitario.<\/p>\n Para el caso de n=2<\/span>, la divergencia representa el flujo por unidad de \u00e1rea (cuando el \u00e1rea tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto, ver Figura 4.6.2. Figura 4.6.2. Sea A una regi\u00f3n en el plano alrededor de un punto, la divergencia de un campo vectorial en ese punto se puede entender como el l\u00edmite cuando un A tiende a cero, de la raz\u00f3n entre el flujo a trav\u00e9s de A y el \u00e1rea encerrada por A.<\/p><\/div>\n Sea \\vec{F} : U \\subset \\mathbb{R}^{3} \\rightarrow \\mathbb{R}^{3} \\mid \\vec{F}= \\left[ M,N, P \\right] <\/span> un campo vectorial diferenciable, el rotacional de \\vec{F}<\/span> es el campo vectorial: Figura 4.6.3. El rotacional de un campo vectorial asocia un vector a cada punto donde esta definido el campo.<\/p><\/div>\n De manera informal, entendamos la\u00a0circulaci\u00f3n (o trabajo) de un campo vectorial sobre una curva<\/b><\/em>\u00a0como la suma de las \"proyecciones tangentes\" de las flechas del campo vectorial que sobre la curva\u00a0y que para medir circulaci\u00f3n requerimos proyectar sobre del vector Tangente unitario.<\/p>\n Cada componente del vector rotacional representa la circulaci\u00f3n por unidad de \u00e1rea (cuando el \u00e1rea tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto, ver Figura 4.6.4.<\/p>\n Figura 4.6.4. Cada componente del vector rotacional es la circulaci\u00f3n por unidad de \u00e1rea (cuando el \u00e1rea tiende a cero); se considera \u00e1reas cuyos vectores normales apunten en direcci\u00f3n de cada eje.<\/p><\/div>\n <\/p>\n
\nPara el caso de n=3<\/span>, la divergencia representa el flujo por unidad de volumen (cuando el volumen tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto.<\/p>\n<\/a>
\nrot F= \\nabla \\times \\vec{F} = \\begin{vmatrix} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{z} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial x} & \\frac{\\partial}{\\partial y} & \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ M & N & P \\end{vmatrix}<\/span>
\nrot F= \\nabla \\times \\vec{F} = \\left[ \\frac{\\partial P}{\\partial y}-\\frac{\\partial N}{\\partial z},- \\left ( \\frac{\\partial P}{\\partial x}-\\frac{\\partial M}{\\partial z} \\right ), \\frac{\\partial N}{\\partial x}-\\frac{\\partial M}{\\partial y} \\right]<\/span><\/p>\n<\/a><\/a>
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