Tema 4 (25 puntos). Sea X(t) un proceso estocastico estacionario en el sentido amplio (WSS) con valor esperado E[X(t)]=a y con una SX(f).
Considere la variable aleatoria Θ con distribución uniforme en (0, 2π) que es independiente de la variable aleatoria definida X(t), y el proceso :
Y(t) = 2 X(t) cos (\omega_0 t + \Theta)a) Determine si el proceso Y(t) es WSS
b) Encuentre SY(f) y SX(f).
Tema 3 (25 puntos). Un proceso estocástico discreto Xn se define como:
Se lanza una moneda balanceada.
Si el resultado es cara:
X_n = (-1)^{n} , \text{para todo n}Si el resultado es sello:
X_n = (-1)^{n+1} , \text{para todo n}a) Dibuje tres realizaciones del proceso estocástico
b) Encuentre la función densidad de probabilidad pmf de Xn
c) Encuentre la función densidad conjunta para Xn y Xn+k
Tema 2 (25 puntos). Dada la siguiente función densidad conjunta:
f_{XY}(x,y)=\begin{cases} k(x^2 + xy) && 0 < x < y < 2 \\ 0 && \text{otrocaso} \end{cases}Calule P[x+y <1]
Tema 1 (25 puntos). Sea X una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad uniforme en [-a,a].
Sea Y = g(x) otra variable aleatoria mostrada en la figura:
a) Determine y dibuje la función densidad de Y
b) Determine P[ y < a/2]
Tema 4 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación:
R_X(t) = 16 + e^{-|t|} , t \in \Re Y(t) = 2 + X(t) cos (12\pi t)a) Calcule la potencia promedio de X(t)
b) Determine la funcion de autocorrelación RY(t, t+τ)
c) Determine la densidad espectral de potencia Y(t)
Pares de transformadas de Fourier
x(t) \leftrightarrow X(\omega) e^{-a|t|} \leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + \omega ^2} , a>0Tema 3 (20 puntos). Se define un proceso estocástico:
X(t) = A cos(\omega t)+ B sen(\omega t)donde A y B son variables aleatorias gausianas independientes e identicamente distribuidas (iid) con valores esperados iguales a cero y varianza σ2 .
Determine si X(t) es estacionario en el sentido amplio. Demuestre explícitamente su respuesta.
Tema 2 (30 puntos). Asuma que X(t) = At +B es un proceso estocástico.
A y B son variables aleatorias independientes que tienen ambas la misma función de densidad uniforme en [-1,1].
Determine:
a) El valor esperado E[X(t)] y autocorrelación RX(t,t+τ)
b) la función de densidad fX(x) de la variable aleatoria de X(1)
c) ¿Existe un valor de t1 y t2 para los cuales X(t1) y X(t2) son variables aleatorias independientes? demuestre su respuesta
Tema 1 (20 puntos). En un proceso de entrega de paquetes, se cometen errores en la entrega con una probabilidad de 0.15.
Use el terorema del límite central para determinar la probabilidad de que existan 20 o menos errores en 100 entregas
Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt| x | Q(x) | x | Q(x) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 5.00E-01 | 2.7 | 3.47E-03 | |
| 0.1 | 4.60E-01 | 2.8 | 2.56E-03 | |
| 0.2 | 4.21E-01 | 2.9 | 1.87E-03 | |
| 0.3 | 3.82E-01 | 3.0 | 1.35E-03 | |
| 0.4 | 3.45E-01 | 3.1 | 9.68E-04 | |
| 0.5 | 3.09E-01 | 3.2 | 6.87E-04 | |
| 0.6 | 2.74E-01 | 3.3 | 4.83E-04 | |
| 0.7 | 2.42E-01 | 3.4 | 3.37E-04 | |
| 0.8 | 2.12E-01 | 3.5 | 2.33E-04 | |
| 0.9 | 1.84E-01 | 3.6 | 1.59E-04 | |
| 1.0 | 1.59E-01 | 3.7 | 1.08E-04 | |
| 1.1 | 1.36E-01 | 3.8 | 7.24E-05 | |
| 1.2 | 1.15E-01 | 3.9 | 4.81E-05 | |
| 1.3 | 9.68E-02 | 4.0 | 3.17E-05 | |
| 1.4 | 8.08E-02 | 4.5 | 3.40E-06 | |
| 1.5 | 6.68E-02 | 5.0 | 2.87E-07 | |
| 1.6 | 5.48E-02 | 5.5 | 1.90E-08 | |
| 1.7 | 4.46E-02 | 6.0 | 9.87E-10 | |
| 1.8 | 3.59E-02 | 6.5 | 4.02E-11 | |
| 1.9 | 2.87E-02 | 7.0 | 1.28E-12 | |
| 2.0 | 2.28E-02 | 7.5 | 3.19E-14 | |
| 2.1 | 1.79E-02 | 8.0 | 6.22E-16 | |
| 2.2 | 1.39E-02 | 8.5 | 9.48E-18 | |
| 2.3 | 1.07E-02 | 9.0 | 1.13E-19 | |
| 2.4 | 8.20E-03 | 9.5 | 1.05E-21 | |
| 2.5 | 6.21E-03 | 10.0 | 7.62E-24 | |
| 2.6 | 4.66E-03 |
Tema 4 (25 puntos). Sean dos variables aleatorias X, Y independientes entre si con distribución gausiana con parámetros
E[X] = 2
Var[X] = 2
E[Y] = 0
Var[Y] = 1
Se define la variable Z=X+Y.
Determine la función de densidad de probabilidad fZ(z).
Tema 3 (25 puntos) En una rifa se sacan números aleatorios de dos tómbolas separadas, donde los números posibles de cada tómbola son:
Sea i el número que se obtiene en la tómbola A y k el de la tómbola B.
Si se definen las variables aleatorias X=|i-k| y Y=i+k, determine
a) P[X ≤ 2]
b) Dibuje la fY(Y |x=1)
c) Var(X |y=0)
d) Cov(X, Y)