Autor: Edison Del Rosario

Señal Sonido - cdf

Referencia: Leon W Couch apéndice B p675, "El Aguacate", pasillo introducción, Archivos de Audio.wav – Abrir, extraer una porción

De forma semejante al análisis para una señal triangular, se obtiene barriendo una ventana estrecha de Δx voltios de ancho, verticalmente a lo largo de las formas de onda y después midiendo la frecuencia relativa de la ocurrencia de voltajes en la ventana Δx.

El eje de tiempo se divide en n intervalos y la forma de onda aparece nΔx veces dentro de estos intervalos en la ventana Δx.

Se inicia abriendo el archivo 'muestra01_ElAguacateIntro.wav', seleccionando un canal en caso de ser estéreo. Para los cálculos se convierte a números reales 'float' de tipo estándar de python y para la gráfica se determina el rango de tiempo 't'.

# pmf de un sonido
# entrada es arcchivo01
# propuesta:edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io.wavfile as waves
import scipy.stats as stats

# INGRESO 
# archivo01 = input('archivo de sonido 01:' )
archivo01 = 'muestra01_ElAguacateIntro.wav'

# PROCEDIMIENTO
muestreo, sonido01 = waves.read(archivo01)

# Extrae un canal en caso de estéreo
canales=np.shape(sonido01)
cuantos=len(canales)
canal = 0   
if (cuantos==1): # Monofónico
    uncanal=sonido01[:]  
if (cuantos>=2): # Estéreo
    uncanal=sonido01[:,canal]
    
senal=uncanal.astype(float)
dt=1/muestreo
n=len(senal)
t=np.arange(0,n*dt,dt)

Se grafica la señal en observación de uncanal:

# SALIDA GRAFICA
plt.plot(t,senal)
plt.title(' Sonido')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.plot()
plt.show()

Aplicando luego el mismo algoritmo usado para señales triangulares y senoidales, manteniendo la forma discreta.

# Función de Probabilidad de Masa, PMF
m=40  # intervalos eje vertical

#PROCEDIMIENTO
relativa = stats.relfreq(senal, numbins = m )
deltax=relativa.binsize

# Eje de frecuencias, por cada deltax
senalmin=np.min(senal)
senalmax=np.max(senal)
senalrango=np.linspace(senalmin,senalmax,m)

# SALIDA
print('frecuencia relativa:')
print(relativa.frequency)
print('Rango de Señal')
print(senalrango)

frecuencia relativa:
[ 0.00023583  0.00073469  0.00089796  0.00053515  0.00084354  0.00179592  0.00245805  0.00306576  0.0039093   0.00504308  0.0066576   0.0099229  0.01693424  0.02671202  0.03568254  0.05160998  0.06758277  0.07323356  0.08575057  0.09217234  0.11898413  0.08494331  0.07535601  0.06454422  0.05382313  0.03821315  0.02429932  0.01573696  0.01075737  0.00767347  0.00576871  0.00365533  0.00245805  0.00176871  0.00145125  0.00103401  0.0008254   0.00106122  0.00137868  0.0004898 ]
Rango de Señal
[-32768.         -31087.61538462 -29407.23076923 -27726.84615385 -26046.46153846 -24366.07692308 -22685.69230769 -21005.30769231 -19324.92307692 -17644.53846154 -15964.15384615 -14283.76923077 -12603.38461538 -10923.          -9242.61538462  -7562.23076923  -5881.84615385  -4201.46153846  -2521.07692308   -840.69230769    839.69230769   2520.07692308   4200.46153846   5880.84615385   7561.23076923   9241.61538462  10922.          12602.38461538  14282.76923077  15963.15384615  17643.53846154  19323.92307692  21004.30769231  22684.69230769  24365.07692308  26045.46153846  27725.84615385  29406.23076923  31086.61538462  32767.        ]

# SALIDA Grafico de PMF
plt.bar(senalrango,relativa.frequency, width=deltax*0.8)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('PMF')
plt.show()

# Función distribución acumulada
acumulada=np.cumsum(relativa.frequency)

# SALIDA CDF
plt.step(senalrango,relativa.frequency,label='pmf', where='post')
plt.step(senalrango,acumulada,label='cdf', where='post')
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.title(' Función de distribuión acumulada , CDF')
plt.legend()
plt.show()

Para grabar los archivos puede usar np.savetxt('nombrearchivo.txt', arreglodata )

23 julio, 2017

Correlación
Referencia: León-García 5.6.2 p258, Gubner 2.4 p91

Correlación

La correlación entre dos variables aleatorias X y Y se define como E[XY].

La correlación determina cuando dos variables se encuentran linealmente relacionadas; es decir cuando una es función lineal de la otra.
R(X,Y) = E[XY]
Propiedades de la función de correlación

Simetría
R(X,Y) = R[Y,X] R(X,X) = E[X^2] \geq 0
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
|R(X,Y)| = \sqrt{(E[X]^2 E[Y]^2)}
Covarianza

Retomando la función de covarianza de un proceso estocástico se muestra que:
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = = R(X,Y) - E[X]E[Y]
Coeficiente de correlación lineal

Al multiplicar una de las variables X o Y por un número se incrementa la covarianza, para una mejor medida se normaliza la covarianza y así tener los valores en una escala absoluta.

El coeficiente de correlación de X y Y se define por:
\rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{E[XY]-E[X]E[Y]}{\sigma_X \sigma_Y} donde: \sigma_X=\sqrt{Var(X)} \sigma_Y=\sqrt{Var(Y)} -1 \leq \rho_{X,Y} \leq 1
El coeficiente de correlación es como máximo en magnitud 1.

Note que la correlación y el coeficiente de correlación no son lo mismo al resultar de la formula de covarianza.

Correlación bits con ruido

Dada una secuencia de bits, al transmitirlos se distorsionó con ruido aditivo. En el receptor será dificil discriminar los valores de los bits tomados de la señal recibida.

La correlación permite "limpiar" un poco la señal en el receptor y una mejor estimación de los bits recibidos.

Para el ejemplo se usa una secuencia de bits 01101001 como señal a transmitir, el ruido aditivo es de tipo normal con media m=0 y varianza σ²=1

Para referencia del proceso, se usa un punto rojo en el centro de la ventana de tiempo de cada bit.

La correlación se realiza con un bit y la señal con ruido.

Observe que luego de la correlación es más sencillo discriminar si lo recibido fué un bit 0 o un bit 1.
```
señal de bits sin ruido
[0 1 1 0 1 0 0 1]
estimado de bits en el receptor
[ 0.002  0.985  1.07   0.054  0.947 -0.079 -0.006  1.149]
```
Instrucciones en Python
```
# secuencia de bits con Ruido
# usar correlación para mejorar la senal
# estimar el bit recibido
# Tarea: convertir estimado en bits

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as st

# INGRESO

senalbit = np.array([0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1])

# PROCEDIMIENTO

# señal moduladora son escalones por cada bit
# o forma rectangular de duración anchobit
anchobit = 128
mitadbit = anchobit//2
senal = np.repeat(senalbit, anchobit)
muestras=len(senal)

# reloj para observar la mitad del bit
reloj = np.arange(mitadbit, muestras, anchobit)

# Ruido normal o Gausiano
media = 0
varianza = 1
ruido = st.norm.rvs(media,varianza,muestras)

# Añade el ruido a la señal
senalruido = senal + ruido

# Referencia de un bit para correlación
modelo = np.ones(anchobit)

# correlación modelo de bits
correlacion = np.correlate(senalruido, modelo, mode='same')
# normaliza el resultado [0,1]
correlacion = correlacion / anchobit

# estimado de bits en el receptor
estimado=correlacion[reloj]

# SALIDA
print('señal de bits sin ruido')
print(senalbit)
print('estimado de bits en el receptor')
np.set_printoptions(precision=3)
print(estimado)

#GRAFICA
plt.figure(1)       # define la grafica
plt.suptitle('señal binaria con ruido gaussiano')

plt.subplot(311)
plt.plot(senal)
plt.plot(reloj, senal[reloj], 'ro')
plt.ylabel('señal original')
plt.margins(0,0.05)

plt.subplot(312)
plt.plot(senalruido)
plt.plot(reloj, senalruido[reloj], 'ro')
plt.ylabel('senal con ruido')
plt.margins(0,0.05)

plt.subplot(313)
plt.plot(correlacion)
plt.ylabel('correlación')
plt.plot(reloj, correlacion[reloj], 'ro')
plt.margins(0,0.05)

plt.show()
```
17 julio, 2017
Covarianza bivariada
Referencia: Ross 2.5.3 p50

Covarianza

La covarianza y varianza de dos variables aleatorias X y Y se definen como:
Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y- E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]
Si X y Y son independientes, entonces Cov(X,Y) = 0

Propiedades
1. Cov(X,X) = Var(X)
2. Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
3. Cov(cX,Y) = c Cov(X,Y)
4. Cov(X,Y+Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z)
Covarianza bivariada Ejemplo Ross 2_33

Referencia: Ejemplo Ross 2.33 p51

La función densidad conjunta de X,Y es
f(x,y) = \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} donde: 0<x , y<\infty
los intervalos también se expresan como: 0<x<∞ , 0<y<∞

a) Verifique que es una función de densidad conjunta

b) Encuentre la Cov(X,Y)

Solución propuesa

Para mostrar que f(x,y) es una función de densidad conjunta se debe mostar que es no negativa y que la integral doble es 1.
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dy dx = = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx = = \int_{0}^{\infty} e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-x/y} dx dy
Resolviendo parcialmente el integral
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-x/y} dx = \frac{1}{y} \int_{0}^{\infty} e^{-x/y} dx = = \frac{1}{y} \left. \frac{e^{-x/y}}{-\frac{1}{y}}\right|_{0}^{\infty} = -[e^{-\infty /y} - e^{0} ] = -(0-1) = 1
con el resultado se continua con el integral anterior:
= \int_{0}^{\infty} e^{-y} dy = \left. \frac{e^{-y}}{-1} \right|_{0}^{\infty} = - (e^{-\infty} - e^{0}) = = -(0-1) = 1
con lo que se comprueba que es una función densidad de probabilidad conjunta.

Covarianza (X,Y)

Se obtendrán primero las funciones marginales para determinar el valor esperado de cada una de ellas:
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dx = = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-y} e^{-x/y} dx = e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y}e^{-x/y} dx = e^{-y}
usando parte del integral anterior, se conoce que es igual a 1

se requiere el valor esperado E[y]:
E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y) dy = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} dy =
integración por partes $dv=e^{-y}dy$ , $v = - e^{-y}$ , u=y, du=dy
\int u dv = uv - \int v du E[Y] = \left. - ye^{-y} \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-y}) dy = -(\infty e^{-\infty} - 0 e^{-0}) - \left. e^{-y} \right|_{0}^{\infty} = = 0 -[e^{-\infty}- e^{0}] = -[0 -1] E[Y] =1
El valor esperado E[x] se obtiene como:
E[x] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,y) dy dx = = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx = = \int_{0}^{\infty} e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx dy =
para el integral respecto a x:
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx =
integración por partes $dv=\frac{1}{y}e^{-x/y} dx$ , $v = \frac{\frac{1}{y}}{-(1/y)} e^{-x/y}$ , u=x, du=dx
\int u dv = uv - \int v du = = \left. x(-e^{-x/y})\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{-x/y} dx = = [- \infty ye^{-\infty/y} - (-0e^{0/y})] + \int_{0}^{\infty} e^{-x/y} dx = = [-0+0] + \left. \frac{e^{-x/y}}{-(1/y)}\right|_{0}^{\infty} = =-y[e^{-\infty/y} - e^{-0/y}] = y
reemplazando en E[x] y usando el resultado del integral de E[y]:
E[x] = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} dy = 1
Para calcular el valor de E[XY]:
E[XY] = =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dy dx = =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xy \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx = = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx dy = = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} (y) dy = \int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} dy =
nuevamente por partes: $dv = e^{-y} dy, u=y^2$ se obtiene
E[XY] = \int_{0}^{\infty} y^2e^{-y} dy = =\left. -y^2 e^{-y} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2ye^{-y}dy = 2E[Y] =2
En consecuencia:
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 2-(1)(1) = 1
16 julio, 2017

pdf Bivariada Ejercicios

1. pdf Bivariada Ejercicios

Referencia: León García Ejercicio 5.16 pag 252

Ejemplo

Encuentre la constante c de normalización y las pdf marginales de la siguiente función:

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} &, 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}

Solución

la función es válida en la región mostrada:

La constante c se encuentra cumpliendo la condición de normalización:

1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} c e^{-x} e^{-y} dy dx =

= \int_{0}^{\infty} c e^{-x} (1-e^{-x}) dx = \frac{c}{2}

1 = \frac{c}{2}

c = 2

Determinar las marginales, conociendo que c=2:

f_X (x) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy =

= \int_{0}^{x} 2 e^{-x} e^{-y} dy = 2 e^{-x} \int_{0}^{x} e^{-y} dy =

= 2 e^{-x} \left. \left[ - e^{-y} \right]\right|_{0}^{x} = 2 e^{-x} \left[ -e^{-x}-(-e^{0}) \right] =

f_X (x) = 2 e^{-x} (1- e^{-x})

0\leq x < \infty

f_Y (y) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx =

= \int_{y}^{\infty} 2 e^{-x} e^{-y} dx = 2 e^{-y} \int_{y}^{\infty} e^{-x} dx =

= 2 e^{-y} \left. \left[ - e^{-x} \right]\right|_{y}^{\infty} = 2 e^{-y} \left[-e^{-\infty}-(-e^{-y})\right] =

= 2 e^{-y} 2 e^{-y}

f_Y (y) = 2 e^{-2y}

0\leq y < \infty

Tarea: Verificar que las funciones marginales cumplen que el integral es 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m =np.shape(X)
    Z=np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c=2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x=X[i,j]
            y=Y[i,j]
            
            if (y>=0 and y<=x):
                z=c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j]=z
    return(Z)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 4
ya = 0
yb = 4
# muestras por eje
nx = 500
ny = 500

# PROCEDIMIENTO

# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)

# Evalúa la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# SALIDA
figura  = plt.figure(1)
grafica = figura.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=int)
    ysuperior = X
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior, ysuperior = arealimite(x)

# SALIDA
plt.plot(x, yinferior)
plt.plot(x, ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior, where=(ysuperior>=yinferior))
plt.show()

# Forma de las marginales
def marginalx(x):
    fx = 2*np.exp(-x)*(1-np.exp(-x))
    return(fx)

# PROCEDIMIENTO
deltax = (xb-xa)/nx
fx = marginalx(x)
Fx = np.cumsum(fx*deltax)
integrax = np.sum(fx*deltax)

# SALIDA
plt.plot(x,fx, label='f(x)')
plt.plot(x,Fx, label='F(x)')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

# Forma de las marginales
def marginaly(y):
    fy = 2*np.exp(-2*y)
    return(fy)

# PROCEDIMIENTO
deltay = (yb-ya)/ny
fy = marginaly(y)
Fy = np.cumsum(fy*deltay)
integray = np.sum(fy*deltay)

# SALIDA
print(' El integral sobre el area es: ', integray)

plt.plot(y,fy, label='f(y)')
plt.plot(y,Fy, label='F(y)')
plt.xlabel('y')
plt.legend()
plt.show()

2. pdf Bivariada Ejercicio02

Referencia: León-García 5.17 p 253

Ejemplo

Encuentre P[ X + Y ≤ 1] de la función en el ejemplo 5.16 mostrada a continuación :

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} & , 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}

Solución

La la región para integración es [ X + Y ≤ 1] donde la pdf no es cero. Se obtiene la probabilidad del evento al añadir(integrar) rectángulos infinitesimales de ancho dy como se indica en la figura:

X + Y \leq 1

Y \leq 1 - X

P[ X + Y \leq 1] = \int_{0}^{1/2} \int_{y}^{1-y} 2 e^{-x} e^{-y} dx dy

= \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \int_{y}^{1-y} e^{-x} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \left. [-e^{-x}] \right|_{y}^{1-y} dy =

= \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} [-e^{-(1-y)}-(-e^{-y})] dy = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-y-(1-y)}] dy =

= \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-1}] dy = \left. \left[ 2\frac{e^{-2y}}{-2} - 2 e^{-1}y\right] \right|t_{0}^{1/2} =

= [ - e^{-2 (1/2)} - 2 e^{-1} (1/2) ] - [ -e^{0}-0] = -e^{-1}-e^{-1} +1

P[ X + Y \leq 1] = 1- 2e^{-1} = 0.26424111765711533

que limita la figura que genera la función a:

Instrucciones en Python

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m = np.shape(X)
    Z = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c = 2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x = X[i,j]
            y = Y[i,j]
            if (y>=0 and y<=x and (x + y)<=1):
                z = c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j] = z
    return(Z)

# PROGRAMA
# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 1.5
ya = 0
yb = 1.5
#muestras por eje
nx = 200
ny = 200

# PROCEDIMIENTO
# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
# Evalua la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=float)
    ysuperior = np.zeros(n,dtype=float)
    for i in range(0,n,1):
        x = X[i]
        if (x<0.5):
            y = x
        if (x>=0.5):
            y = 1 - x
        ysuperior[i] = y
    
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior , ysuperior = arealimite(x) 

# SALIDA GRAFICAS
figura1 = plt.figure(1)
plt.plot(x,yinferior)
plt.plot(x,ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior,
                 where= (ysuperior>=yinferior))
plt.xlabel('x')

# SALIDA
figura2 = plt.figure(2)
grafica2 = figura2.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica2.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

16 julio, 2017

pdf - univariada Ejercicio

Referencia: Ross 2.33 p89

Ejercicio

Sea X una variable aleatoria con densidad de probabilidad:

$f(x)= \begin{cases} c(1-x^2)&, -1<x<1 \\ 0 &, \text{en otro caso} \end{cases}$

a) ¿Cuál es el valor de c? que permite hacer la función una pdf.

b) ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?

Solución

a)Solo es válido en el rango [-1,1], por lo que el integral es:

$1 = \int_{-1}^{1} c(1-x^2) dx = c \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx$

$= c \int_{-1}^{1}dx - c \int_{-1}^{1}x^2 dx = c \left. x \right|_{-1}^{1} - c \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{1}$

$= c[1-(-1)] - c\frac{1^3-(-1^3)}{3} = 2c -\frac{2c}{3}$

$1 = \frac{4c}{3}$

$c=\frac{3}{4}$

Solución

b)La función es la integral hasta x:

$F(y) = \frac{3}{4} \int_{-1}^{y} (1-x^2) dx = \frac{3}{4} \left. \left[ x - \frac{x^3}{3} \right] \right|_{-1}^{y} =$

$= \frac{3}{4}\left[(y+1) - \left( \frac{y^3}{3} + \frac{1}{3} \right) \right] =$

$F(y) = \frac{3}{4} \left[ y+\frac{2}{3} - \frac{y^3}{3} \right], 1<y<1$

Instrucciones en Python

usando el resultado anterior:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def fxdensidad(X):
    n = len(X)
    Y = np.zeros(n,dtype=float)
    
    c = 3/4
    for i in range(0,n,1):
        x = X[i]
        if (x>=-1 and x<=1):
            y = c*(1-x**2)
            Y[i] = y
    return(Y)

# INGRESO
# rango [a,b] y muestras
a = -1
b = 1
m = 100

# PROCEDIMIENTO
deltax = (b-a)/m
x  = np.linspace(a,b,m)
fx = fxdensidad(x)

# Función de distribución acumulada
Fy = np.cumsum(fx)*deltax

# SALIDA Gráfico
plt.plot(x,fx,label='pdf')
plt.plot(x,Fy,label='cdf')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

# Verificando resultado del integral vs la suma acumulada
def Fxacumulada(X):
    n = len(X)
    Y = np.zeros(n,dtype=float)
    c = 3/4
    for i in range(0,n,1):
        x=X[i]
        if (x>=-1 and x<=1):
            y=c*(x+ 2/3 -(x**3)/3)
            Y[i]=y
    return(Y)

# PROCEDIMIENTO
Fycalc = Fxacumulada(x)

# SALIDA Gráfico
plt.plot(x,fx,label='pdf')
plt.plot(x,Fy,label='cdf')
plt.plot(x,Fycalc,label='calculada')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

16 julio, 2017

cdf - Señal coseno(x)

Referencia: Ejemplo León-García 4.36 p180

Sea Y=cos(X), y supondremos que X es uniformemente distribuida en el intervalo de (0, 2π]. Y puede ser vista como una muestra de una señal sinusoidal a un instante aleatorio de tiempo que esta uniformemente distribuida en el periodo de la sinusoide.

Para encontrar la pdf, se tiene que la variable -1< y < 1

$f_Y(y)=\left.\sum_{k} \frac{f_X(x)}{|dy/dx|} \right|_{x=x_k}$

La función f_X(x) es uniforme, por lo que el área del integral en el intervalo debe ser 1, es decir:

$\int_{0}^{2\pi}c dx=1$

$=(2\pi-0)*c= 2\pi c = 1$

$c=\frac{1}{2\pi}$

$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}$

De la figura se encuentra que la ecuación tiene dos puntos de intersección o dos soluciones:

$x_0 = \cos ^{-1}(y)$

$x_1 = 2\pi- x_0$

por lo que se evalúa la derivada en cada punto de intersección:

$\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_0}= -sin(x_0) = - sin(cos^{-1}(y))$

$\alpha = \cos^{-1}(x)$

$\sin(\alpha) = y$

$x^2 + y^2 =1$

$x = \sqrt{1-y^2}$

$\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_0}= -\sqrt{1-y^2}$

$\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_1}= -\sqrt{1-y^2}$

dado que y₀ = y₁ = y

Aplicando la ecuación primera:

$f_Y(y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{1-y^2}} + \frac{1}{2\pi \sqrt{1-y^2}}$

$= \frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}$

$-1 < y < 1$

Gráfica del resultado

# pdf de una señal senoidal
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# INGRESO
# n=int(input('numero de muestras: '))
n = 200

# PROCEDIMIENTO
t  = np.linspace(-1,1,n)
fy = np.zeros(n,dtype=float)
# Evaluar denominador no cero
for i in range(0,n,1):
    denominador = 1-t[i]**2
    if (denominador!=0):
        fy[i] = 1/(np.pi*np.sqrt(1-t[i]**2))
dt = t[1]-t[0]
Fy = np.cumsum(fy)*dt

# SALIDA
plt.plot(t,fy,label='pdf')
plt.plot(t,Fy,label='cdf')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

Cálculo con un método numérico

Señal Coseno(x), pmf, cdf

Se obtiene barriendo una ventana horizontal estrecha de Δx voltios de ancho, verticalmente a lo largo de las formas de onda y después midiendo la frecuencia relativa de la ocurrencia de voltajes en la ventana Δx.

El eje de tiempo se divide en n intervalos y la forma de onda aparece nΔx veces dentro de estos intervalos en la ventana Δx.

Para observar lo indicado usando python, se presenta el siguiente grupo de instrucciones:

Genera la señal

En un intervalo [a,b] de tiempo, con n muestras en el intervalo y una señal coseno(x) con frecuencia fs Hz.

# Pmf de una senal periódica conocida
# definir la señal en la sección senal_t
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

def senal_t(t, fs):
    m = len(t)
    y = np.zeros(m, dtype=float)
    for i in range(0,m,1):
        y[i] = np.cos(2 * np.pi * fs * t[i])
    return(y)

# INGRESO
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
tramos = 2000

# PROCEDIMIENTO
muestreo = tramos+1
t = np.linspace(a, b, muestreo)
senal = senal_t(t, fs)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title(' Señal sen(x)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Se divide el rango de valores posibles de la señal en m intervalos.

Para simplificar el conteo de valores por rango se usa la función scypy.stats.relfreq, que cuenta en m intervalos entre el rango de la señal, dando como resultado las frecuencias relativas a intervalos Δx.
$\sum_{i=0}^{N} p_i(x)=1$

Si se considera aproximar la función a contínua para observación, será necesario compensar el vector de relativas al dividir por Δx pues el conteo relativo depende del número de divisiones m.

# Pmf de una senal periódica conocida
# definir la señal en la sección senal_t
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

def senal_t(t, fs):
    m = len(t)
    y = np.zeros(m, dtype=float)
    for i in range(0,m,1):
        y[i] = np.cos(2 * np.pi * fs * t[i])
    return(y)

# INGRESO
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
tramos = 2000

# PROCEDIMIENTO
muestreo = tramos+1
t = np.linspace(a, b, muestreo)
senal = senal_t(t, fs)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title(' Señal sen(x)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

# Función de Probabilidad de Masa, PMF
m = 50  # intervalos en análisis

#PROCEDIMIENTO
relativa = stats.relfreq(senal, numbins = m )
deltax = relativa.binsize
# considerando el deltax, para valor de PMF
relcontinua=relativa.frequency/deltax

# Eje de frecuencias, por cada deltax
senalmin = np.min(senal)
senalmax = np.max(senal)
senalrango = np.linspace(senalmin,senalmax,m)

# SALIDA
print('frecuencia relativa:')
print(relativa.frequency)
print('Rango de Señal')
print(senalrango)
print('Aproximación a contínua')
print(relcontinua)

# SALIDA Grafico de PMF
plt.subplot(211)
plt.bar(senalrango,relativa.frequency, width=deltax*0.8)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('PMF')

plt.subplot(212)
plt.plot(senalrango,relcontinua)
plt.ylim(ymin=0,ymax=np.max(relcontinua))
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('Aproximación a PDF')
plt.show()

frecuencia relativa:
[ 0.045  0.034  0.023  0.018  0.017  0.014  0.014  0.012  0.012  0.011   0.011  0.01   0.01   0.01   0.009  0.009  0.009  0.008  0.008  0.009  0.008  0.007  0.008  0.008  0.007  0.008  0.007  0.007  0.007  0.007 
 ... 
0.008  0.007  0.008  0.008  0.008  0.008  0.008  0.009  0.009  0.009  0.009  0.009  0.01   0.01   0.011  0.011  0.012  0.013  0.013  0.015  0.016  0.019  0.023  0.033  0.046]
Rango de Señal
[-0.99999877 -0.97979676 -0.95959475 -0.93939274 -0.91919073 -0.89898873 -0.87878672 -0.85858471 -0.8383827  -0.8181807  -0.79797869 -0.77777668 -0.75757467 -0.73737266 -0.71717066 -0.69696865 -0.67676664 -0.65656463 
...
0.63636386  0.65656587  0.67676788  0.69696988  0.71717189  0.7373739   0.75757591  0.77777791  0.79797992  0.81818193  0.83838394  0.85858595  0.87878795  0.89898996  0.91919197  0.93939398  0.95959598  0.97979799  1.        ]
Aproximación a contínua
[ 2.22750138  1.68300104  1.1385007   0.89100055  0.84150052  0.69300043  0.69300043  0.59400037  0.59400037  0.54450034  0.54450034  0.49500031  0.49500031  0.49500031  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.39600024  
...
0.39600024  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.49500031  0.49500031  0.54450034  0.54450034  0.59400037  0.6435004   0.6435004   0.74250046  0.79200049  0.94050058  1.1385007   1.63350101  2.27700141]

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Considere el caso discreto, solo es necesario ir acumulando los valores de "relativa".

Al usar la aproximación a contínua, la sumatoria debe considerar el área bajo la curva, por lo que los valores se multiplican por Δx antes de acumular los valores de las frecuencias.

# Función distribución acumulada
acumulada=np.cumsum(relcontinua*deltax)

# Salida CDF
# plt.step(senalrango,relcontinua,label='pdf', where='post')
plt.step(senalrango,acumulada,label='cdf', where='post')
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.title(' Función de distribuión acumulada , CDF')
plt.legend()
plt.show()

Tarea: realice el ejercicio con otras señales periódicas.
Referencia: Leon W Couch apéndice B p675

16 julio, 2017

cdf -Señal triangular

Referencia: Leon W Couch apéndice B p675

Señal Triangular, pmf, cdf

Se obtiene barriendo una ventana estrecha de Δx voltios de ancho, verticalmente a lo largo de las formas de onda y después midiendo la frecuencia relativa de la ocurrencia de voltajes en la ventana Δx.

El eje de tiempo se divide en n intervalos y la forma de onda aparece nΔx veces dentro de estos intervalos en la ventana Δx.

Para observar lo indicado usando python, se presenta el siguiente grupo de instrucciones:

Generar la señal

En un intervalo [a,b] de tiempo, con n muestras en el intervalo y una señal triangular con frecuencia fs Hz.

Las librerías de señales de scipy tiene la señal diente de sierra, con parámetro de simetría que permite variar la forma del triángulo para ajustarlo a una señal simétrica como la del ejemplo.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats

# INGRESO
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
n = 2000
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5

# PROCEDIMIENTO
# simetria de la señal triangular diente de sierra
simetria = 0.5
t = np.linspace(a, b, n)
senal = signal.sawtooth(2 * np.pi * fs * t, simetria)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title('Señal Triangular')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Se divide el rango de valores posibles de la señal en m intervalos.

Para simplificar el conteo de valores por rango se usa la función scipy.stats.relfreq, que cuenta en m intervalos entre el rango de la señal, dando como resultado las frecuencias relativas a intervalos Δx

$\sum_{i=0}^{N}p_i(x)=1$

Si se considera aproximar la función a contínua para observación, será necesario compensar el vector de relativas al dividir por Δx pues el conteo relativo depende del número de divisiones m.

# Función de Probabilidad de Masa, PMF
m = 20  # intervalos en análisis

#PROCEDIMIENTO
relativa = stats.relfreq(senal, numbins = m )
deltax   = relativa.binsize

# considerando el deltax, para valor de PMF
relcontinua = relativa.frequency/deltax

# Eje de frecuencias, por cada deltax
senalmin = np.min(senal)
senalmax = np.max(senal)
senalrango = np.linspace(senalmin,senalmax,m)

# SALIDA
print('frecuencia relativa:')
print(relativa.frequency)
print('Rango de Señal')
print(senalrango)
print('Aproximación a contínua')
print(relcontinua)

# SALIDA Grafico de PMF
pa = 0-0.1 # rango eje frecuencias
pb = 1+0.1

plt.subplot(211)
plt.axis([senalmin-deltax,senalmax+deltax,pa,pb])
plt.bar(senalrango,relativa.frequency, width=deltax*0.8)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('PMF')

plt.subplot(212)
plt.axis([senalmin-deltax,senalmax+deltax,pa,pb])
plt.plot(senalrango,relcontinua)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('Aproximación a PDF')
plt.show()

frecuencia relativa:
[ 0.027  0.052  0.053  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.053  0.052  0.027]
Rango de Señal
[-1.        -0.8947895 -0.789579  -0.6843685 -0.579158  -0.4739475 -0.368737  -0.2635265 -0.158316  -0.0531055  0.052105   0.1573155  0.262526   0.3677365  0.472947   0.5781575  0.683368   0.7885785  0.893789   0.9989995]
Aproximación a contínua
[ 0.25662838  0.49424725  0.503752    0.503752    0.49424725  0.503752   0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.503752    0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.503752  0.49424725  0.25662838]

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Considere el caso discreto, solo es necesario ir acumulando los valores de "relativa".

Al usar la aproximación a contínua, la sumatoria debe considerar el área bajo la curva, por lo que los valores se multiplican por Δx antes de acumular los valores de las frecuencias.

# Función distribución acumulada
acumulada = np.cumsum(relcontinua*deltax)

# Salida CDF
plt.step(senalrango,relcontinua,label='pdf', where='post')
plt.step(senalrango,acumulada,label='cdf', where='post')
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.title(' Función de distribuión acumulada , CDF')
plt.legend()
plt.show()

Tarea: realice el ejercicio con otras señales periódicas.

16 julio, 2017

Expansiones de Series

Referencia: Leon W Couch Apéndice p658

Series Finitas

$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$

$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

$\sum_{n=1}^{N} n^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}$

$\sum_{n=0}^{N} a^n = \frac{a^{N+1}-1}{a-1}$

$\sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{n!(N-n)!}x^n y^{N-n} = (x+y)^N$

$\sum_{n=0}^{N} e^{j(\theta+n\phi)} = \frac{sen \left[(N+1) \frac{\phi}{2}\right] }{sen \left( \frac{\phi}{2} \right)} e^{j [ \theta + \left( N \frac{\phi}{2} \right) ]}$

$\sum_{n=0}^{N} {N \choose k} a^{N-k}b^{k} = (a+b)^N,$

$donde: {N \choose k} = \frac{N!}{(N-k)!k!}$

Series Infinitas

Serie de Taylor

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \right) (x-a)^n$

Serie de Fourier

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 x}$

$a\leq x \leq (a+T)$

$donde: c_n = \frac{1}{T} \int_{a}^{a+T} f(x) e^{-jn\omega_0 x} dx$

$\omega_o = \frac{2\pi}{T}$

otras series

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

15 julio, 2017
Tabla de Integrales

Integrales:

Definidas

Indefinidas

Referencia: Leon W Couch Apéndice p657, 658

Integrales Definidas

Definición
$\int f(x) dx = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \left( \sum_{n} \left[ f(n \Delta x)\right] \Delta x \right)$
Cambio de variable. Sea v=u(x)
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{u(a)}^{u(b)} \left( \left. \frac{f(x)}{dv/dx} \right|_{x=u^{-1}(v)}\right) dv$
integración por partes
$\int u dv = uv - \int v du$
Integrales Definidas
$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{1+x^n} dx = \frac{\pi /n}{sen(m\pi/n)}, \text{ }n>m>0$
$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x} dx = \Gamma(\alpha) , \alpha > 0$ $\text{donde: }\Gamma(\alpha +1) = \alpha \Gamma(\alpha),$ $\Gamma (1) = 1,$ $\Gamma [1/2] = \sqrt{\pi},$ $\Gamma(n) = (n-1)! \text{, si n es entero positivo }$
$\int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2} dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2^{n+1}a^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2 x^2 + bx} dx =\frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{b^2/(4a^2)}, a>0$ $\int_{0}^{\infty} e^{-ax}cos(bx) dx = \frac{a}{a^2+b^2}, a>0$ $\int_{0}^{\infty} e^{-ax}sen(bx) dx = \frac{b}{a^2+b^2}, a>0$ $\int_{0}^{\infty} e^{-a^2x^2}cos(bx) dx = \frac{\sqrt{\pi} e^{-b^2/4a^2}}{2a}, a>0$
$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}cos(bx) dx =$ $\frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} cos \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right),$ $0<\alpha < 1, b >0$
$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}sen(bx) dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} sen \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right),$ $0<|\alpha| < 1, b >0$
$\int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2} I_k(bx) dx = \frac{1}{2a} e^{b^2/4a},$ $\text{donde: } I_k(bx)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{bx cos(\theta)} cos(k\theta) d\theta$
$\int_{0}^{\infty} \frac{sen(x)}{x} dx = \int_{0}^{\infty} Sa(x) dx = \frac{\pi}{2}$ $\int_{0}^{\infty} \left( \frac{sen(x)}{x} \right)^2 dx = \int_{0}^{\infty} Sa^2(x) dx = \frac{\pi}{2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm j2 \pi yx} dx = \delta (y)$ $\int_{0}^{\infty}\frac{cos(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2b} e^{-ab}, a>0,b>0$ $\int_{0}^{\infty}\frac{x sen(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2} e^{-ab}, a>0,b>0$
Referencia: Leon W Couch Apéndice p656

Integrales:

Definidas

Indefinidas

Integrales Indefinidas
$\int (a+bx)^n dx = \frac{(a+bx)^{n+1}} {b(n+1)}, 0<n$ $\int \frac{dx}{a+bx} =\frac{1}{b} ln|a+bx|$ $\int \frac{dx}{(a+bx)^n} = \frac{-1}{(n-1)b(a+bx)^{n-1}} , 1<n$
$\int \frac{dx}{(c+bc+ax^2)^n} =$ $= \begin{cases} \frac{2}{ \sqrt{4ac-b^2}} tan^{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right) , & b^{2} < 4ac \\ \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}ln\left| \frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}} \right| , & b^{2} > 4ac \\ \frac{-2}{\sqrt{2ax+b}} , & b^{2}=4ac \end{cases}$
$\int \frac{x dx}{c+bx+ax^2} =$ $= \frac{1}{2a} ln\left| ax^2+bx+c \right| - \frac{b}{2a}\int \frac{dx}{c+bx+ax^2}$
$\int \frac{dx}{a^2+b^2x^2} = \frac{1}{ab} tan^{-1}\left( \frac{bx}{a} \right)$ $\int \frac{x dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{2} ln( a^2+x^2 )$
Trigonométricas
$\int cos(x) dx = sen(x)$ $\int sen(x) dx = -cos(x)$ $\int x cos(x) dx = cos(x) + x sen(x)$ $\int x sen(x) dx = sen(x) - x cos(x)$ $\int x^2 cos(x) dx = 2x cos(x) + (x^2 -2) sen(x)$ $\int x^2 sen(x) dx = 2x sen(x) - (x^2 -2) cos(x)$
Exponenciales
$\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a}$ $\int x e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x}{a} - \frac{1}{a^2} \right)$ $\int x^2 e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2x}{a^2} + \frac{2}{a^3} \right)$ $\int x^3 e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x^3}{a} - \frac{3x^2}{a^2} + \frac{6x}{a^3} - \frac{6}{a^4}\right)$ $\int e^{ax} sen(x) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 +1} (a sen(x) - cos(x))$ $\int e^{ax} cos(x) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 +1} (a cos(x) - sen(x))$

Integrales:

Definidas

Indefinidas

15 julio, 2017
Tabla de Números Complejos

Referencia: Leon W Couch Apéndice p653

Definiciones

$sen(x) = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$

$cos(x) = \frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}$

$tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}= \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{j(e^{jx}+e^{-jx})}$

Teorema de Euler

$e^{\pm jx} = cos(x) \pm j sen(x)$

Complejos

$e^{\pm j\pi /2} = \pm j$

$e^{\pm jn\pi} = \begin {cases} 1 \text{, n par} \\ -1 \text{, n impar}\end{cases}$

forma rectangular

$x + jy = Re^{j\theta}$

$R = \sqrt{ x^2 + y^2}$

$\theta = tab^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)$

a una potencia

$\left( R e^{j\theta} \right)^y = R^y e^{jy\theta}$

$\left( R_1 e^{j\theta_1} \right) \left( R_2 e^{j\theta_2} \right) = R_1 R_2 ^{j(\theta_1+\theta_2)}$

15 julio, 2017

Autor: Edison Del Rosario

Correlación

Propiedades de la función de correlación

Covarianza

Coeficiente de correlación lineal

Correlación bits con ruido

Instrucciones en Python

Covarianza

Propiedades

Covarianza bivariada Ejemplo Ross 2_33

Solución propuesa

Covarianza (X,Y)

1. pdf Bivariada Ejercicios

Solución

2. pdf Bivariada Ejercicio02

Ejemplo

Solución

Instrucciones en Python

Ejercicio

Instrucciones en Python

Cálculo con un método numérico

Señal Coseno(x), pmf, cdf

Genera la señal

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Señal Triangular, pmf, cdf

Generar la señal

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Integrales Indefinidas