Referencia: León-García 5.2.1 p241, Gubner 7.2 p295, Ross 2.5.1 p.44

Pares de variables aleatorias

Muchos experimentos involucran varias variables aleatorias, pues miden diferentes valores del experimento, por ejemplo:

• Medir el voltaje de un circuito en varios puntos para un tiempo dado
• Medir repetidamente el voltaje de un circuito en un punto para varios tiempos.

Para más de una variable se usa:

• la función de densidad conjunta, función de distribución acumulada conjunta, y función de densidad de los eventos que tienen un comportamiento conjunto en dos variables aleatorias.
• El valor esperado
• para determinar cuando dos variables son independientes y cuantificar su grado de correlación cuando no son independientes
• para obtener probabilidades condicionales que involucran un par de variables aleatorias.

Se define para dos variables aleatorias X y Y la función conjunta de distribución de probabilidades acumuladas por:

F(a,b) = P(X \leq a, Y \leq b ) -\infty<a, b<\infty

la distribución:

F_X(a) = P(X \leq a) = P(X \leq a, Y<\infty ) = = F(a,\infty)

y de forma similar:

F_Y(b) = P(Y \leq b) = P(X<\infty, Y \leq b) = = F(\infty, b)

En el caso que X y Y sean variables aleatorias discretas, se define las funcion conjunta de probabilidad de masa como:

p(x,y) = P(X=x,Y=y) p_X (x)= \sum_{y:p(x,y)>0} p(x,y) p_Y (y)= \sum_{x:p(x,y)>0} p(x,y)

En el caso que X y Y sean variables aleatorias contínuas:

P(X \in A, Y \in B) = \int_B \int_A f(x,y) \delta x \delta y

donde la función densidad de probabilidad para X se puede obtener conociendo que f(x,y) tienen que:

P(X \in A) = P(X \in A, Y \in (-\infty,\infty)) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{A} f(x,y) \delta x \delta y = \int_{A} f_X(x) \delta x

donde

f_X (x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta y

de forma similar para el caso de Y:

f_Y (y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta x

se debe cumplir que:

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y =1

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Ejemplo Gubner 7.9 p296.

Muestre que:

f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2}

es una función densidad conjunta de probabilidad válida

solución:

dado que f_XY es positiva, se debe mostrar que el integral es 1.

f_{XY}(x,y) = \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}

haciendo el doble integral:

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y = = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2} \delta x \delta y \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}\big( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \delta y\big) \delta x

el integral interior está en función de y, y es una densidad normal con media y varianza uno. Por lo que el integral interior es uno.
El integral exterior es una Normal con media cero y varianza 1, lo que también integra a 1.

Por lo que el integral resulta en 1 y cumple con que sea positivo y resulte 1 para ser una función densidad conjunta de probabilidad.

Referencia: Gubner 7.1 p 287, León García 5.2 p234, Ross 2.5 p44

Probabilidades conjuntas y marginales

• Un canal telefónico con una señal X presenta un ruido aditivo Y: X+Y
• En un canal inalámbrico la señal X es afectada por un desvanecimiento o ruido multiplicativo: XY
• Si X y Y son las tasas de tráfico de dos routers en un proveedor de Internet, se busca mantener la tasas en valores menores a la capacidad del router : max(X,Y)≤μ
• Sean X y Y los voltajes de un sensor, y se quiere activar una alarma si al menos uno de los voltajes cae por debajo del umbral v: min(X,Y)≤v

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Pares de variables aleatorias discretas

Ejemplo:

León-García 5.5. Un switch de datos, tiene dos puertos de entrada y dos puertos de salida. En cualquier instante de tiempo, un paquete llega a cada puerto con probabilidad de 1/2, lo que es equitativamente probable que sea enviado por el puerto 1 o 2.

Sea X y Y los números de paquetes destinados para salir por los puertos 1 y 2, respectivamente. Encuentre la pmf de X y Y, mostrando la pmf de forma gráfica.

Solución: La salida I_j para una un puerto de entrada j, puede tomar los siguientes valores:

• • "n", que no llegue un paquete al puerto de entrada. probabilidad de 1/2
  • "a1", llega un paquete con destino de salida puerto 1. con probabilidad de 1/4
  • "a2". llega un paquete con destino de salida puerto 2. con probabilidad de 1/4

El espacio muestral S relacionado, consiste de los resultados en pareja de entrada ζ =(I₁, I₂), El mapeo para cada (X,Y) se muestra en la tabla siguiente:

ζ	X,Y
(n,n)	(0,0)
(n,a1)	(1,0)
(n,a2)	(0,1)
(a1,n)	(1,0)
(a1,a1)	(2,0)
(a2,a2)	(1,1)
(a2,n)	(0,1)
(a2,a1)	(1,1)
(a2,a2)	(0,2)

la pmf de (X,Y) es entonces:
p_X,Y (0,0) = P[ζ = (n,n)] = 1/2*1/2 = 1/4
p_X,Y (0,1) = P[ζ ∈ {(n,a2), (a2,n)}] = 2*1/8 = 1/4

las gráficas de las cdf son:

Referencia: Gubner 2.4 p83 , Ross 2.4.3 p42, León-García 3.3.1 p.107

Dada una variable aleatoria X, se puede definir una nueva variable aleatoria Z = g(X), donde g(x) es una función de valor real de la variable real x.

Para calcular E[Z] se puede proceder como:

E[g(X)] = \sum_i g(x_i) p_X(x_i) E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx

dado que la fórmula es mas fácil de usar que encontrar la pmf de Z, la formula se la conoce como la "ley del estadístico inconsciente" o LOTUS (Law Of The Unconscious Statistician).

Una aplicación simple es :

E[aX] = \sum_i ax_i p_X(x_i) = = a \sum_i x_i p_X(x_i) = a E[X]

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Ejemplo

Referencia: León- García 3.17 p107

Sea X el ruido en el voltaje que está uniformemente distribuido en S_X = {-3,-1,+1,+3} con p_X (k) =  1/4 para k en S_X. Encuentre E[Z] donde Z=X².

Solución: Se busca primero encontrar la pmf (probability mass function) de Z, el S_Z ={9,1,1,9} = {1,9}, por lo que:

pZ(9) = P[X ∈ {-3,+3}] 
      = pX(-3) + pX(3) 
      = 1/4 + 1/4 = 1/2
pZ(1) = pX(-1) + pX(1) = 
      = 1/4 + 1/4 = 1/2
entonces:
E[Z] = 1(1/2) + 9(1/2) = 5 

usando la fórmula para E[Z]:

E[Z] = E[g(X)] = \sum_i g(x_i)p_X(x_i) = \sum_i i^2 p_X(x_i) = \frac{1}{4} [(-3)^2 + (-1)^2+1^2+2^2] = = \frac{20}{4} = 5

con lo que se obtuvo el mismo resultado.

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Ross Corolario 2.2. Siendo a y b constantes, entonces:

E[aX + b] = aE[X] +b

1. Varianza v.a. Continuas

Referencia: Ross 2.4.3 p43, Gubner 2.4 p84,p150, León-García 4.3.2 p 160

Varianza de variables aleatorias contínuas

el n-ésimo momento, n≥1 de una variable aleatoria X se define como E[Xⁿ].

en el caso continuo.

E[X^n] = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \delta x

El primer momento es la media, E[X].

La varianza σ² de X se define como:

\text{VAR}[X] = E[(X-E[X])^2]

La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviación de X del valor esperado.

Algunas propiedades de la varianza, siendo c una constante:

\text{VAR}[c]=0 \text{VAR}[X + c] = \text{VAR}[X] \text{VAR}[cX] = c^2 \text{VAR}[X]

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Ejemplo

Encuentre la media y varianza de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad pdf tipo exponencial e^λ:

Solución: dado que VAR[X]= E[x²] - (E[X])², se calculan los dos momentos de X:

E[X^n] = \int_{0}^{\infty} x^{n} \lambda e^{-\lambda x} \delta x

con cambio de variable y=λx, dy = λdx se tiene que:

E[X^n] = \int_{0}^{\infty} \big( \frac{y}{\lambda} \big) ^{n} e^{-y} \delta y = \frac{1}{\lambda ^n }\int_{0}^{\infty} y^{n} e^{-y} \delta y

si u=yⁿ y dv=e^-y dx, entonces du=ny^n-1 dx, v = -e^-y,
para n=1 el resultado es 1, para n=2 el resultado es 2x1, y para n=3 el resultado es 3x2x1, por lo que el resultado general es n!

E[X^n] = \frac{n!}{\lambda ^n }

la varianza será:

\text{VAR}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda ^2} - \big(\frac{1}{\lambda}\big)^2 = \frac{1}{\lambda ^2}

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2. Varianza v.a. Discretas

Referencia: Ross 2.4.3 p41, Gubner 2.4 p84, León-García 4.3.2 p 160

Varianza de variables aleatorias discretas

el n-ésimo momento, n≥1 de una variable aleatoria X se define como E[Xⁿ].

en el caso discreto:

E[X^n] = \sum_{x:p(x)>0} x^n p(x)

en el caso continuo.

E[X^n] = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \delta x

El primer momento es la media, E[X].

La varianza σ² de X se define como:

var(X) = E[(X-E[X])^2]

La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviación de X del valor esperado.

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Ejemplo Gubner 2.27.

Sea X y Y variables aleatorias con sus respectivas funciones de probabilidad de masa, pmf, mostradas en la figura. Calcule var(X) y var(Y)

solución: por simetría, ambas variables tienen media cero, la varianza será:

var(X)= E[(x-E[x])^2] = E[(x-0)^2] = E[x^2] E[X^2] = (-2)^2 \frac{1}{6} + (-1)^2 \frac{1}{3} +(1)^2 \frac{1}{3} +(2)^2 \frac{1}{6} =2 var(Y)= E[(Y-E[Y])^2] = E[(Y-0)^2] = E[Y^2] E[Y^2] = (-2)^2 \frac{1}{3} + (-1)^2 \frac{1}{6} +(1)^2 \frac{1}{6} +(2)^2 \frac{1}{3} =3

X y Y tienen media cero, pero Y tomará valores mas lejanos de su media, dado que var(Y)>var(X).

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cuando una variable aleatoria tiene media diferente de cero, puede ser conveniente usar también la fórmula:

var(X) = E[X^2]-(E[x])^2

que indica que la varianza es igual al segundo momento menos el cuadrado del primer momento. Como tarea encuentre la fórmula al reemplazar m=E[X] y desarrollando el cuadrado.

La desviación estándar de X se define como el valor positivo de la raíz cuadrada de la varianza, y se usa el símbolo σ

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Ejemplo Ross 2.29

Un sistema de comunicación óptico usa un fotodetector cuya salida es modelada como una variable aleatoria X tipo Poisson(λ). Encuentre la varianza de X

Solución:

P(X)= \frac{\lambda ^x e^{-\lambda}}{x!} E[x] = \sum_{n=0}^{\infty} n P(X=n) = \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n!}

dado que el término n=0 se puede descartar:

= \sum_{n=1}^{\infty} n \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} n\frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n(n-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda ^{n-1} }{(n-1)!}

cambiando el indice de la suma de n a k=n-1, se tiene que:

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k} }{k!} = e^{\lambda} E[X]=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k} }{k!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda

Observe que: E[x²] = E[X(X-1)]+E[X].

Dado que E[X]=λ se calcula que:

E[X(X-1)] = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) P(X=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{(n-2)!} = \lambda ^2 e^{-\lambda} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\lambda ^{n-2}}{(n-2)!}

se tiene nuevamente que, k=n-2:

E[X(X-1)] = \lambda ^2 e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{k!} = \lambda ^2

con lo que E[X²] = λ² + λ

var(X) = E[X^2] - (E[x])^2 = (\lambda ^2 + \lambda) - \lambda ^2 = \lambda

La variable aleatoria Poisson tiene los valores de media y varianza iguales.