Publicado en

Probabilidades conjuntas y marginales discretas

Referencia: Gubner 7.1 p 287, León García 5.2 p234, Ross 2.5 p44

Probabilidades conjuntas y marginales

  • Un canal telefónico con una señal X presenta un ruido aditivo Y: X+Y
  • En un canal inalámbrico la señal X es afectada por un desvanecimiento o ruido multiplicativo: XY
  • Si X y Y son las tasas de tráfico de dos routers en un proveedor de Internet, se busca mantener la tasas en valores menores a la capacidad del router : max(X,Y)≤μ
  • Sean X y Y los voltajes de un sensor, y se quiere activar una alarma si al menos uno de los voltajes cae por debajo del umbral v: min(X,Y)≤v

Pares de variables aleatorias discretas

Ejemplo:

León-García 5.5. Un switch de datos, tiene dos puertos de entrada y dos puertos de salida. En cualquier instante de tiempo, un paquete llega a cada puerto con probabilidad de 1/2, lo que es equitativamente probable que sea enviado por el puerto 1 o 2.

Sea X y Y los números de paquetes destinados para salir por los puertos 1 y 2, respectivamente. Encuentre la pmf de X y Y, mostrando la pmf de forma gráfica.

Solución: La salida Ij para una un puerto de entrada j, puede tomar los siguientes valores:

    • «n», que no llegue un paquete al puerto de entrada. probabilidad de 1/2
    • «a1», llega un paquete con destino de salida puerto 1. con probabilidad de 1/4
    • «a2». llega un paquete con destino de salida puerto 2. con probabilidad de 1/4

El espacio muestral S relacionado, consiste de los resultados en pareja de entrada ζ =(I1, I2), El mapeo para cada (X,Y) se muestra en la tabla siguiente:

ζ X,Y
(n,n) (0,0)
(n,a1) (1,0)
(n,a2) (0,1)
(a1,n) (1,0)
(a1,a1) (2,0)
(a2,a2) (1,1)
(a2,n) (0,1)
(a2,a1) (1,1)
(a2,a2) (0,2)

la pmf de (X,Y) es entonces:
pX,Y (0,0) = P[ζ = (n,n)] = 1/2*1/2 = 1/4
pX,Y (0,1) = P[ζ ∈ {(n,a2), (a2,n)}] = 2*1/8 = 1/4

las gráficas de las cdf son:

Publicado en

1Eva_IIT2009_T4 Función densidad conjunta

1ra Evaluación II Término 2009-2010. Diciembre 3, 2009 . FIEC03236

Función densidad de probabilidad conjunta

Tema 4.  Para las variables aleatorias X,Y con la función densidad conjunta mostrada, calcule los literales:

f_{XY}(x,y) = \begin{cases} k(x+y) & 0\leq y\leq x\leq3 \\ 0 & \text{otro caso}\end{cases}

a)   el valor de k , que justifica la función
b)   función densidad de probabilidad para Y: fY(y)
c)   El valor esperado E[Y|x]
d)   Calcule P(0<X+Y<2)

Nota: Dibuje con detalle el área de integración, escriba con claridad los límites de integración, y los rangos de validez donde sea necesario.

Publicado en

1Eva_IIT2009_T3 Asientos teatro semicircular

1ra Evaluación II Término 2009-2010. Diciembre 3, 2009 . FIEC03236

Asientos en teatro semicircular

Tema 3. Un teatro romano tiene las gradas en forma de semianillo circular con las dimensiones de la figura.

Cuando se compra una entrada cada asiento es equiprobable (distribución uniforme en las gradas).

a) Determine la función densidad conjunta de probabilidad de la ubicación de un asiento arbitrario.

b) Calcular la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T que mide la distancia entre el lugar al que corresponde una entrada y el centro del escenario (el origen 0).

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un asiento se encuentre ubicado a más de 60 metros a la derecha del eje Y.

 

Publicado en

1Eva_IIT2009_T2 variable aleatoria contínua pdf

1ra Evaluación II Término 2009-2010. Diciembre 3, 2009 . FIEC03236

Variable aleatoria contínua pdf

Tema 2. Una variable aleatoria contínua X tiene una función densidad de probabilidad (pdf) mostrada en la figura.

a)   Determine el valor de a para que sea considere una pdf

b)   Determine y realice la gráfica de la función acumulada de probabilidad FX(x).

c)   Sea Y una nueva variable aleatoria definida como Y=|X|, determine la pdf de Y y su valor esperado E[Y].

d)   Si una nueva variable Z= X2 , encuentre la probabilidad P(Z>Y).

Publicado en

1Eva_IIT2009_T1 Tarjetas ordenadas

1ra Evaluación II Término 2009-2010. Diciembre 3, 2009 . FIEC03236

Tarjetas ordenadas en forma creciente y selección aleatoria

Tema 1. De un paquete de n tarjetas ordenadas de forma creciente y numeradas 1, 2, … , n se selecciona aleatoriamente una tarjeta. 

Si está marcada con k, se selecciona una segunda tarjeta entre las k primeras. Sea X el numero de la tarjeta seleccionada en primer lugar y Y el de la tarjeta seleccionada en segundo lugar. Calcular:

a) Pr(Y=j)
b) E(Y)
c) Pr(X=k|Y=j)
d) E(X)

Publicado en

1. Valor Esperado de una función de variable aleatoria

Referencia: Gubner 2.4 p83 , Ross 2.4.3 p42, León-García 3.3.1 p.107

Dada una variable aleatoria X, se puede definir una nueva variable aleatoria Z = g(X), donde g(x) es una función de valor real de la variable real x.

Para calcular E[Z] se puede proceder como:

E[g(X)] = \sum_i g(x_i) p_X(x_i) E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx

dado que la fórmula es mas fácil de usar que encontrar la pmf de Z, la formula se la conoce como la «ley del estadístico inconsciente» o LOTUS (Law Of The Unconscious Statistician).

Una aplicación simple es :

E[aX] = \sum_i ax_i p_X(x_i) = = a \sum_i x_i p_X(x_i) = a E[X]

Ejemplo

Referencia: León- García 3.17 p107

Sea X el ruido en el voltaje que está uniformemente distribuido en SX = {-3,-1,+1,+3} con pX (k) =  1/4 para k en SX. Encuentre E[Z] donde Z=X2.

Solución: Se busca primero encontrar la pmf (probability mass function) de Z, el SZ ={9,1,1,9} = {1,9}, por lo que:

pZ(9) = P[X ∈ {-3,+3}] 
      = pX(-3) + pX(3) 
      = 1/4 + 1/4 = 1/2
pZ(1) = pX(-1) + pX(1) = 
      = 1/4 + 1/4 = 1/2
entonces:
E[Z] = 1(1/2) + 9(1/2) = 5

usando la fórmula para E[Z]:

E[Z] = E[g(X)] = \sum_i g(x_i)p_X(x_i) = \sum_i i^2 p_X(x_i) = \frac{1}{4} [(-3)^2 + (-1)^2+1^2+2^2] = = \frac{20}{4} = 5

con lo que se obtuvo el mismo resultado.

Ross Corolario 2.2. Siendo a y b constantes, entonces:

E[aX + b] = aE[X] +b
Publicado en

Varianza v.a. Continuas

Referencia: Ross 2.4.3 p43, Gubner 2.4 p84,p150, León-García 4.3.2 p 160

Varianza de variables aleatorias contínuas

el n-ésimo momento, n≥1 de una varial aleatoria X se define como E[Xn].

en el caso continuo.

E[X^n] = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \delta x

El primer momento es la media, E[X].

La varianza σ2 de X se define como:

\text{VAR}[X] = E[(X-E[X])^2]

La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviación de X del valor esperado.

Algunas propiedade de la varianza, siendo c una constante:

\text{VAR}[c]=0 \text{VAR}[X + c] = \text{VAR}[X] \text{VAR}[cX] = c^2 \text{VAR}[X]

Ejemplo

Encuentre la media y varianza de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad pdf tipo exponencial eλ:

Solucion: dado que VAR[X]= E[x2] – (E[X])2, se calculan los dos momentos de X:

E[X^n] = \int_{0}^{\infty} x^{n} \lambda e^{-\lambda x} \delta x

con cambio de variable y=λx, dy = λdx se tiene que:

E[X^n] = \int_{0}^{\infty} \big( \frac{y}{\lambda} \big) ^{n} e^{-y} \delta y = \frac{1}{\lambda ^n }\int_{0}^{\infty} y^{n} e^{-y} \delta y

si u=yn y dv=e-y dx, entonces du=nyn-1 dx, v = -e-y,
para n=1 el resultado es 1, para n=2 el resultado es 2×1, y para n=3 el resultado es 3x2x1, por lo que el resultado general es n!

E[X^n] = \frac{n!}{\lambda ^n }

la varianza será:

\text{VAR}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda ^2} - \big(\frac{1}{\lambda}\big)^2 = \frac{1}{\lambda ^2}
Publicado en

Varianza v.a. discretas

Referencia: Ross 2.4.3 p41, Gubner 2.4 p84, León-García 4.3.2 p 160

Varianza de variables aleatorias discretas

el n-ésimo momento, n≥1 de una variable aleatoria X se define como E[Xn].

en el caso discreto:

E[X^n] = \sum_{x:p(x)>0} x^n p(x)

en el caso continuo.

E[X^n] = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \delta x

El primer momento es la media, E[X].

La varianza σ2 de X se define como:

var(X) = E[(X-E[X])^2]

La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviación de X del valor esperado.

Ejemplo Gubner 2.27.

Sea X y Y variables aleatorias con sus respectivas funciones de probabilidad de masa, pmf, mostradas en la figura. Calcule var(X) y var(Y)

solución: por simetría, ambas variables tienen media cero, la varianza será:

var(X)= E[(x-E[x])^2] = E[(x-0)^2] = E[x^2] E[X^2] = (-2)^2 \frac{1}{6} + (-1)^2 \frac{1}{3} +(1)^2 \frac{1}{3} +(2)^2 \frac{1}{6} =2 var(Y)= E[(Y-E[Y])^2] = E[(Y-0)^2] = E[Y^2] E[Y^2] = (-2)^2 \frac{1}{3} + (-1)^2 \frac{1}{6} +(1)^2 \frac{1}{6} +(2)^2 \frac{1}{3} =3

X y Y tienen media cero, pero Y tomará valores mas lejanos de su media, dado que var(Y)>var(X).

cuando una variable aleatoria tiene media diferente de cero, puede ser conveniente usar también la fórmula:

var(X) = E[X^2]-(E[x])^2

que indica que la varianza es igual al segundo momento menos el cuadrado del primer momento. Como tarea encuentre la fórmula al reemplazar m=E[X] y desarrollando el cuadrado.

La desviación estándar de X se define como el valor positivo de la raiz cuadrada de la varianza, y se usa el símbolo σ

Ejemplo Ross 2.29

Un sistema de comunicación óptico usa un fotodetector cuya salida es modelada como una variable aleatorioa X tipo Poisson(λ). Encuentre la varianza de X

Solución:

P(X)= \frac{\lambda ^x e^{-\lambda}}{x!} E[x] = \sum_{n=0}^{\infty} n P(X=n) = \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n!}

dado que el término n=0 se puede descartar:

= \sum_{n=1}^{\infty} n \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} n\frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{n(n-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda ^{n-1} }{(n-1)!}

cambiando el indice de la suma de n a k=n-1, se tiene que:

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k} }{k!} = e^{\lambda} E[X]=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k} }{k!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda

Observe que: E[x2] = E[X(X-1)]+E[X].

Dado que E[X]=λ se calcula que:

E[X(X-1)] = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) P(X=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\lambda ^n e^{-\lambda}}{(n-2)!} = \lambda ^2 e^{-\lambda} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\lambda ^{n-2}}{(n-2)!}

se tiene nuevamente que, k=n-2:

E[X(X-1)] = \lambda ^2 e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{k!} = \lambda ^2

con lo que E[X2] = λ2 + λ

var(X) = E[X^2] - (E[x])^2 = (\lambda ^2 + \lambda) - \lambda ^2 = \lambda

La variable aleatoria Poisson tiene los valores de media y varianza iguales.

Publicado en

3. Valor Esperado de variables aleatorias contínuas

Referencia: Ross 2.4.2 p39, Gubner 4.2 p149, León-García 4.3 p 155, p16

Si X es una variablea aleatoria contínua que tiene una función densidad de probabilidad f(x), el valor esperado de X se define como:

E[X]= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) \delta x

Ejemplo

Referencia: Ross 4.7.

Sea X una variable aleatoria contínua uniforme [a,b], encuentre el valor esperado:

Solución:

E[X]= \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \delta x = \int_{a}^{b} x\frac{1}{b-a}\delta x = \left. = \frac{1}{(b-a)} \frac{x^2}{2} \right|_{a}^{b} = \frac{1}{(b-a)} \frac{b^2-a^2}{2} = = \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}

que es el promedio simple entre a y b cuando la función es uniforme.

Ejemplo

Ross 4.8/Leon-García 4.20. Un convertidor analógico-digital o cuantizador con resolución de paso Δ voltios redondea en la entrada el valor más cercano al múltiplo de Δ voltios como se muestra en la figura.

La entrada es un voltaje Vin de tipo aleatorio y la salida del convertidor es A/D es Vout, y su desempeño se mide por el error cuadratico medio:

E[|Vin – Vout|2]

Se supone que el error Vin – Vout se puede aproximar a una función aleatoria uniforme [-Δ/2,Δ/2] dado que siempre el valor siempre cae en el intervalo dado. Determine el valor esperado para la señal de entrada, y también el valor del error cuadrático medio.

Solución: Para el intervalo centrado en el origen

f(x)= \frac{1}{b-a} E[X] = \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} xf(x) \delta x = =\int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} x\frac{1}{\Delta /2 - (-\Delta /2)} \delta x = \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} \frac{x}{\Delta} \delta x = \left. \frac{x^2}{2 \Delta} \right|_{-\Delta /2}^{\Delta /2} = \frac{1}{2\Delta} \big[ {\big( \frac{-\Delta}{2}\big)}^2 - {\big( \frac{\Delta}{2}\big)}^2 \big] = 0

Para el error cuadrático medio en [a,b], a=-Δ/2, b=Δ/2

E[|V_{in}-V_{out}|^2] \approx E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \delta x = \int_{a}^{b} x^2 \frac{1}{b - a} \delta x = \left. \frac{1}{b-a} \frac{x^3}{3} \right|_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \frac{b^3-a^3}{3} = = \frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3(b-a)} = \frac{b^2+ba+a^2}{3} = \frac{({\frac{\Delta}{2})}^2 + {(\frac{\Delta}{2})}{(\frac{-\Delta}{2})} + {(\frac{-\Delta}{2})}^2}{3} = \frac{1}{3} \frac{\Delta ^2 -\Delta^2 + \Delta ^2}{4} = \frac{\Delta ^2}{12}
Publicado en

Variables Aleatorias Contínuas

Referencia: Ross 2.4 p32, Gubner 4.1 p139, León-García 4.1.1 p 146

Una variable aleatoria X se define como una función no negativa f(x) para todos los reales x ∈ (-∞,∞) que tiene la propiedad que para cualquier rango B:
P(X \in B) = \int_B f(x) \delta x

f(x) se conoce como la función densidad de probabilidades o pdf de la variable X, que además satisface:

1 = P(X \in (-\infty,\infty) = \int_{\infty}^{\infty}f(x) \delta x

Si B = [a,b] muestra la función en un intervalo,

p(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \delta x

cuando a=b, se tienen que el integral es cero, lo que muestra que la probabilidad de una variable contínua pueda tomar un valor particular es cero.

Con variables aleatorias contínuas para mejor interpretación se utiliza el valor de la función de distribución acumulada o cdf que se expresa como:

F(a) = P(X \in (-\infty,a]) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \delta x

al derivar ambos lados se tiene que:

\frac{\delta}{\delta a} F(a) = f(a)
muestra que la densidad es la derivada de la acumulada.

f_x(x) = \frac{\delta F_x (x)}{\delta x}