1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017
Tema 1 (20 puntos). Dibuje el diagrama de transición de estados y encuentre la distribución (estacionaria) de la cadena de Markov cuya matriz de transición es:
Un administración de un supermercado puede contratar a María o Alicia.
María atiende con una tasa de servicio exponencial de 20 clientes por hora y puede ser contratada por $3/hora.
Alicia atiende con una tasa exponencial de 30 clientes por hora, y puede ser contratada por $C/hora.
El administrador estima que en promedio cada cliente tiene un costo de $1 por hora y debería ser contabilizado para el modelo.
Suponga que los clientes llegan a una tasa Poisson de 10 clientes por hora.
a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contratada? o ¿Si Alicia es contratada?
b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.
Solución:
a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contratada? o ¿Si Alicia es contratada?
λ = 10 clientes/hora
María:
μMaría = 20 clientes/hora
LMaría = λ/(μ -λ) = 10/(20-10) = 1
Costo/hora María = $3 + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja María))
= $3 + ($1 * LMaría)
= $3 + ($1 * 1) = $ 4
Alicia:
μAlicia = 30 clientes/hora
LAlicia = λ/(μ -λ) = 10/(30-10) = 1/2
Costo/hora Alicia = $C + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja Alicia))
= $C + ($1 * LAlicia)
= $C + ($1 * 1/2) = $ (C+ 0.5)
b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.
Costo/hora María = Costo/hora Alicia
4 = C + 0.5
C = 3.5 $/hora
que es lo máximo que el administrador podría pagar a Alice sin incurrir en costos mayores que María, dadas las condiciones del problema.
Considere un sistema de servicio secuencial de dos servidores A y B.
Los clientes que llegan entran al sistema solo si el servidor A esta libre.
Si un cliente entra, entonces es atendido inmediatamente por el servidor A.
Cuando la atención del servidor A se completa, el cliente pasa a ser atendido por el servidor B siempre que esté libre, si B esta ocupado, el cliente sale del sistema.
Una vez que el cliente sale del servidor B, el cliente se parte del sistema.
Suponga que las llegadas de clientes son tipo Poisson con tasa de llegada de dos clientes por hora, y que los servidores A y B atienden a tasas exponenciales de cuatro y dos clientes por hora.
a) ¿Cuál es la proporción de clientes que entran al sistema?
b) ¿Cuál es la proporción de clientes que entraron al sistema son atendidos por el servidor B?
c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?
d) ¿Cuál es el monto promedio de tiempo que un cliente que entró se mantiene dentro del sistema?
Solución los estados propuestos son:
00 P00 10 P10 01 P01 11 P11
El diagrama de transición entre estados propuesto, considerando de un solo evento por unidad de tiempo:
con lo que se puede plantear las ecuaciones de balanceo ("sale=entra"):
The Strange Math That Predicts (Almost) Anything. Veritasium. 25-Julio-2025
Referencia: Ross p192, 196-197, 216
Ejemplo 1 - Pronóstico del clima
Suponga que la posibilidad que llueva mañana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los días anteriores, solo del estado del clima de hoy.
Suponga también que si llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad α, y si no llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad β.
Si se dice que el proceso esta en estado cero cuando llueve y en estado 1 cuando no llueve, entonces el problema se puede realizar con una cadena de Markov de dos estados cuyas probabilidades de transición se encuentran dadas por:
Suponga que si llueve o no hoy depende de las condiciones del clima de los dos últimos días.
Si ha llovido en los dos últimos días, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.7; si llovió hoy pero no ayer, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.5; si llovió ayer pero no hoy, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.4; si no ha llovido ni ayer ni hoy, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.2
Solución propuesta
Se puede hacer un modelo de cadena de Markov haciendo que el estado del clima mañana sea determinado por las condiciones de hoy y ayer:
Estado 0: si ha llovido hoy y ayer
Estado 1: si ha llovido hoy pero no ayer
Estado 2: Si ha llovido ayer pero no hoy
Estado 3: si no ha llovido ayer y tampoco hoy
Para considerar los posibles estados añadiendo los valores cuando está soleado, dado que el problema enuncia solo cuando lloverá.
con lo que se puede construir el diagrama de transición de estados:
Que llueva el jueves es equivalente no importa si llovió o nó el miércoles, por lo que para la probabilidad del jueves se usa la probabilidad de la fila para estado 0, sumando si llovió o no el miércoles.
a) Sean i y j estados de una Cadena de Markov estacionaria. Dé una
interpretación a la expresión
f_{ij} = \sum \limits^{\infty}_{n=1} f^{(n)}_{ij}
b) Sea X(t) un proceso estocástico estrictamente estacionario, con función de autocorrelación RX(τ) = E[X(t1)X(t2)], donde τ = t2 − t1.
Entonces, cuál es función de RY(τ) del proceso:
a) Encontrar las autocorrelaciones de orden k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 para la siguiente serie X = [2, 3, 5, 1, 5, 2], donde xj es un elemento del vector en la posición j, j = 1, . . . , n y bosquejar la gráfica de la función de autocorrelación (ACF).
b) Si las bandas de confianza del gráfico ACF están dadas por \pm z_{\alpha /2}\frac{1}{\sqrt{n}} , ¿es posible decir que con 95% (1 − α = 0,95) puede rechazarse la hipótesis de que todas las autocorrelaciones son cero?.
Para efectos de una investigación, en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante de zona urbana, rural o suburbana.
Se ha estimado que durante un año cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas se cambian a zona suburbana y el 5% a zona rural.
El 6% de las familias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona rural.
El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el 6% a zona suburbana.
a) Defina los estados de este proceso estocástico y escriba la matriz de transición.
Suponga que al inicio de la investigación, el 35% de la población vivía en áreas urbanas, el 45% en áreas suburbanas y el resto en el área rural.
b) Si inicialmente una familia vive en un área rural, cu´al es la probabilidad de que 3 años después esta familia viva en área urbana?.
c) (Probabilidad de un camino). Cuál es la probabilidad que una familia viva en el área urbana y que además en el siguiente año viva en el área suburbana y además luego de eso al siguiente año viva en el área rural.
d) Cuál es la probabilidad de que 3 años después de iniciada la investigación una familia viva en el área urbana?.
