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Teoría de Colas – Cajeras María y Alicia

Referencia: Ross problema 8.3 p.568

Un administración de un supermercado puede contratar a María o Alicia.

María atiende con una tasa de servicio exponencial de 20 clientes por hora y puede ser contratada por $3/hora.

Alicia atiende con una tasa exponencial de 30 clientes por hora, y puede ser contradada por $C/hora.

El administrador estima que en promedio cada cliente tiene un costo de $1 por hora y debería ser contabilizado para el modelo.

Suponga que los clientes llegan a una tasa Poisson de 10 clientes por hora.

a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contratada? o ¿Si Alicia es contratada?

b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.

Solución:

a) ¿Cuál es el costo promedio por hora si María es contrada? o ¿Si Alicia es contratada?

λ = 10 clientes/hora

María: 

μMaría = 20 clientes/hora

LMaría = λ/(μ -λ) = 10/(20-10) = 1 

Costo/hora María =  $3 + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja María))
      =  $3 + ($1 * LMaría)
      =  $3 + ($1 * 1) = $ 4 

Alicia:
μAlicia = 30 clientes/hora
LAlicia = λ/(μ -λ) = 10/(30-10) = 1/2

Costo/hora Alicia =  $C + ($1 * (número promedio de clientes en la cola cuando trabaja Alicia))
      =  $C + ($1 * LAlicia)
      =  $C + ($1 * 1/2) = $ (C+ 0.5)
      
b) Encuentre C si el promedio de costo por hora es el mismo para María y Alicia.
Costo/hora María = Costo/hora Alicia
 4 = C + 0.5
 C = 3.5 $/hora

 que es lo máximo que el administrador podría pagar a Alice sin incurrir en costos mayores que María, dadas las condiciones del problema.
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Teoria de colas – Llegadas Esperadas

Referencia: Ross problema 8.1 p.568

Para una cola M/M/1, calcule

a) el numero esperado de llegadas durante un periodo de servicio
b) la probabilidad que no lleguen clientes durante un periodo de servicio
pista: «condición»

Solución:
a) el numero esperado de llegadas durante un periodo de servicio

E[numero de llegadas] = E[λ S] = λ[1/μ] = λ/μ

b) la probabilidad que no lleguen clientes durante un periodo de servicio

P{0 llegadas} = E[P{0 llegadas | periodo de servicio S}] =
   = E[P{N(S)=0}] = E[e-λS]
E[e^{-\lambda S}] = \int_{0}^{x} e^{-\lambda S}\mu e^{-\mu S}dS = \mu \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda S -\mu S}dS = \mu \int_{0}^{\infty} e^{-S(\lambda+\mu)}dS = \left.\frac{-\mu}{\lambda+\mu} e^{-S(\lambda+\mu)}\right|_0^{\infty} = \frac{-\mu}{\lambda+\mu}\left[ e^{-\infty(\lambda+\mu)}-e^{-0(\lambda+\mu)}\right] = \frac{-\mu}{\lambda+\mu} [0-1] = \frac{\mu}{\lambda+\mu}
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Teoría de colas – Dos servidores en paralelo

Referencia: Ross 8.17 p.571

Los clientes llegan a una sucursal de dos servidores según a un proceso de Poisson con tasa de dos por hora.

Si al llegar el cliente el servidor 1 esta libre, se atiende con éste.
Si al llegar el cliente el servidor 1 esta ocupado y el servidor 2 esta libre, inicia con el servidor 2.
Clientes que al llegar encuentran los dos servidores ocupados se retiran.

Un cliente que fué atendido por el servidor 1, pasa a ser atendido por el servidor 2 siempre que esté libre, caso contrario sale de la sucursal.
Un cliente al completar el servicio con el servidor 2 sale de la sucursal.
Los tiempos de servicio en los servidores 1 y 2 son variables aleatorias exponenciales con tasas de cuatro y seis por hora.

a) ¿Qué fracción de clientes no entran a la sucursal?

b) ¿Cuál es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?

c) ¿Cuál fracción de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?

Solución:
Se definen los estados como (servidor1,servidor2), ocupado=0, ocupado=1:

Estado (0,0)
Estado (0,1)
Estado (1,0)
Estado (1,0)

con lo que se contruye el diagrama de estados y transiciones:

Usando los valores del enunciado se ubican los valores para las tasas de llegada y atención

El siguiente paso consiste en escribir son las ecuaciones de balanceo:

λ P00 = μ2 P01
(μ2 + λ) P01 = μ1 P10 + μ1 P11
(μ1 + λ) P10 = λ P00 + μ2 P11
(μ2 + μ1) P11 = λ P01 + λ P10
1 = P00 + P01 + P10 + P11

usando los valores para λ, μ1 y μ2:

2 P00 = 6 P01
8 P01 = 4 P10 + 4 P11
6 P10 = 2 P00 + 6 P11
10 P11 = 2 P01 + 2 P10
1 = P00 + P01 + P10 + P11

de la ecuación(1)

P01 = (2/6) P00 = (1/3) P00
P01 = (1/3) P00

usando (2) (1/4) y reordenando
2 P01 = P10 + P11
P11 = 2 P01 - P10

sumando con (4)
  P11 = 2 P01 - P10
5 P11 =   P01 + P10

6 P11 = 3 P01
2 P11 = P01
usando (1)
2 P11 = (1/3) P00
  P11 = (1/6) P00

usando (4)
5 P11 =   P01 + P10
5 (1/6) P00 = (1/3) P00 + P10
  P10 = [(5/6) - (1/3)]P00 = [(5-2)/6] P00 = (3/6) P00 = (1/2) P00
  P10 = (1/2) P00 

usando (5) con los resultados dependientes de P00:

1 = P00 + (1/3) P00 +(1/2) P00 + (1/6) P00
1 = [(6+2+3+1)/6] P00 = [12/6] P00 = 2 P00
P00 = 1/2

quedando:
P00 = 1/2
P01 = 1/6
P10 = 1/4
P11 = 1/12

usando numpy de python, se reorganiza las ecuaciones y se crean las matrices:

2 P00 - 6 P01                 = 0
        8 P01 - 4 P10 - 4 P11 = 0
 2 P00        - 6 P10 + 6 P11 = 0
        2 P01 + 2 P10 - 10 P11 = 0
   P00 +  P01 +   P10 +    P11 = 1

import numpy as np
A=np.array([
    [2,-6,0,0],
    [0,8,-4,-4],
    [2,0,-6,6],
    [1,1,1,1]])
B=np.array([0,0,0,1])
P=np.linalg.solve(A,B)
print(P)

[ 0.5         0.16666667  0.25        0.08333333]

que son los resultados anteriores encontrados:

P00 = 0.5
P01 = 0.16666667
P10 = 0.25
P11 = 0.08333333

a) ¿Qué fracción de clientes no entran a la suscursal?

solo ocurre cuando ambos servidores estan ocupados (1,1)

P11 = 1/12 = 0.08333333

b) ¿Cuál es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?

W = L/λ

  = (valor esperado)/(proporcion de los clientes que si entran)
  
  = [0*P00 + 1*P01 + 1*P10 + 2*P11]/ [λ(1-P11)]
  
  = [0*(1/2) + 1*(1/6) + 1*(1/4) + 2*(1/12)]/ [2(1-(1/12)]
  
  = [(0+3+2+2)/12]/[22/12] = (7/12)/(22/12) =  7/22

c) ¿Cuál fracción de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?

(atiende el servidor 1 cuando esta libre) / (los que entraron)

[P00 + P01] / [1 - P11] = [1/2 + 1/6]/[1 - 1/12]
  
  = [(3+1)/6] / [11/12] = (4/6)/(11/12) =   8/11
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Teoría de colas – Dos Servidores en secuencia

Referencia: Ross problema 8.15 p.570

Considere un sistema de servicio secuencial de dos servidores A y B.
Los clientes que llegan entran al sistema solo si el servidor A esta libre.
Si un cliente entra, entonces es atendido inmediatamente por el servidor A.
Cuando la atención del servidor A se completa, el cliente pasa a ser atendido por el servidor B siempre que esté libre, si B esta ocupado, el cliente sale del sistema.
Una vez que el cliente sale del servidor B, el cliente se parte del sistema.

Suponga que las llegadas de cientes son tipo Poisson con tasa de llegada de dos clientes por hora, y que los servidores A y B atienden a tasas exponenciales de cuatro y dos clientes por hora.

a) ¿Cuál es la proporción de clientes que entran al sistema?

b) ¿Cuál es la proporción de clientes que entraron al sistema son atendidos por el servidor B?

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?

d) ¿Cuál es el monto promedio de tiempo que un cliente que entró se mantiene dentro del sistema?

Solución

los estados propuestos son:

00 P00
10 P10
01 P01
11 P11

El diagrama de transición entre estados propuesto, considerando de un solo evento por unidad de tiempo:

con lo que se puede plantear las ecuaciones de balanceo («sale=entra»):

2 P00 = 2 P01
4 P10 = 2 P00 + 2 P11
(2+2) P01 = 4 P10 + 4 P11
(4+2) P11 = 2 P01
P00 + P10 + P01 + P11 = 1

Resolviendo:

P00 = P01              ecuación(1)
2 P10 = P00 + P11      (2)
P01 = P10 + P11        (3)
3 P11 = P01            (4)
P00 + P10 + P01 + P11 = 1      (5)

de la ecuación (2) restando la ecuación (3)

2 P10 - P01 = P00 + P11 - P10 - P11
2 P10 - P01 = P00 - P10
3 P10 - P01 = P00

usando la ecuación (1)

3 P10 - P00 = P00
3 P10 = 2 P00
P10 = 2/3 P00

usando la ecuación (4) y (1)

P11 = (1/3) P01
P11 = (1/3) P00

usando la ecuación (5)

P00 + P10 + P01 + P11 = 1
P00 + P00 + (2/3) P00 + (1/3)P00 = 1
3 P00 = 1
P00 = 1/3

y se obtienen los otros valores para p

P01 = 1/3
P10 = (2/3)(1/3 )= 2/9
P11 = (1/3)(1/3) = 1/9

Con lo que se puede responder:

a) ¿Cuál es la proporción de clientes que entran al sistema?

P00 + P01 = 1/3 + 1/3 
         = 2/3

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?

0*P00 +  1*P10 + 1*P01 + 2*P11 = 0 + 2/9 + 1/3 + 2*1/9 = 
     = (0+2+3+2)/9 = 7/9

d) ¿Cuál es el monto promedio de tiempo que un cliente que entró se mantiene dentro del sistema?

W = L/λA
W = (promedio de clientes en el sistema)/(tasa de los que entran)
W= (7/9)/[2(2/3)] = 7/12

Usando Numpy

resolviendo con numpy, se convierten las ecuaciones a matrices, sustituyendo una ecuación con la última (suma de probabilidades =1), se obtiene:

2 P00 = 2 P01
4 P10 = 2 P00 + 2 P11
(2+2) P01 = 4 P10 + 4 P11
(4+2) P11 = 2 P01
P00 + P10 + P01 + P11 = 1

reorganizando:

2 P00 -2 P01                = 0
2 P00        - 4 P10 + 2 P11 = 0
      -4 P01 + 4 P10 + 4 P11 = 0
       2 P01        - 6 P11 = 0
  P00  +  P01 +   P10 +  P11 = 1

se obtienen las matrices A y B para usar con la instrucción solver de numpy:

import numpy as np
A=np.array([
    [2,-2,0,0],
    [2,0,-4,2],
    [0,-4,4,4],
    [1,1,1,1]])
B=np.array([0,0,0,1])

p=np.linalg.solve(A,B)

print(p)

[ 0.33333333  0.33333333  0.22222222  0.11111111]

con lo que los valores buscados son:

P00=0.33333333
P01=0.33333333
P10=0.22222222
P00=0.11111111
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2. Cadena Markov – Ejemplo: Clima con dos días

Referencia: Ross p.193, 197

(4.4) Pronostico del clima con dos días

Suponga que si llueve o no hoy depende de las condiciones del clima de los dos últimos días.

Si ha llovido en los dos últimos días, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.7;
si llovió hoy pero no ayer, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.5;
si llovio ayer pero no hoy, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.4;
si no ha llovido ni ayer ni hoy, entonces que llueva mañana tiene probabilidad de 0.2

Solución propuesta

Se puede hacer un modelo de cadena de Markov haciendo que el estado del clima mañana sea determinado por las condiciones de hoy y ayer:

Estado 0: si ha llovido hoy y ayer
Estado 1: si ha llovido hoy pero no ayer
Estado 2: Si ha llovido ayer pero no hoy
Estado 3: si no ha llovido ayer y tampoco hoy

Para considerar los posibles estados añadiendo los valores cuando está soleado, dado que el problema enuncia solo cuando lloverá.

con lo que se puede construir el diagrama de transición de estados:

y la matriz de transición es entonces:

p= \begin{pmatrix} 0.7 & 0 & 0.3 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0.8 \end{pmatrix}

(4.9) Pronóstico para pasado mañana

Siguiendo con el ejemplo anterior.
Dado que llovió el Lunes y Martes, ¿Cuál es la probabilidad que lloverá el Jueves?

Solución propuesta

La matriz de transición permite hacer el pronóstico hasta el miércoles, para el día jueves es necesario hacer una matriz de dos pasos dada por p(2)

p^{(2)}= \begin{pmatrix} 0.7 & 0 & 0.3 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0.8 \end{pmatrix} \text{.} \begin{pmatrix} 0.7 & 0 & 0.3 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.49 & 0.12 & 0.21 & 0.18 \\ 0.35 & 0.20 & 0.15 & 0.30 \\ 0.20 & 0.12 & 0.20 & 0.48 \\ 0.10 & 0.16 & 0.10 & 0.64 \end{pmatrix}

Que llueva el jueves es equivalente no importa si llovió o nó el miércoles, por lo que para la probabilidad del jueves se usa la probabilidad de la fila para estado 0, sumando si llovió o no el miércoles.

p(lloverá jueves|llovió lunes y martes)= p(2)00+p(2)01= = 0.49 + 0.12 = 0.61.

Usando python para determinar p(2)

# 4.9 pronostico para pasado mañana
import numpy as np

# INGRESO
p = np.array([[0.7,   0, 0.3, 0  ],
              [0.5,   0, 0.5, 0  ],
              [  0, 0.4,   0, 0.6],
              [  0, 0.2,   0, 0.8]])

#PROCEDIMIENTO
p2 = np.linalg.matrix_power(p,2)

# SALIDA
print(p2)
print('Para el jueves:', p2[0,0]+p2[0,1])

[[ 0.49  0.12  0.21  0.18]
 [ 0.35  0.2   0.15  0.3 ]
 [ 0.2   0.12  0.2   0.48]
 [ 0.1   0.16  0.1   0.64]]
Para el jueves: 0.61

 

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1. Cadena Markov – Ejemplo: Pronóstico del Clima

Referencia: Ross p192, 196-197, 216

(4.1) Pronóstico del clima

Suponga que la posibilidad que llueva mañana depende de las condiciones del estado del clima de hoy. No importa las condiciones de los días anteriores, solo del estado del clima de hoy.

Suponga también que si llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad α, y si no llueve hoy, entonces lloverá mañana con una probabilidad β.

Si se dice que el proceso esta en estado cero cuando llueve y en estado 1 cuando no llueve, entonces el problema se puede realizar con una cadena de Markov de dos estados cuyas probabilidades de transición se encuentran dadas por:

p=\begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha\\ \beta & 1-\beta \end{pmatrix}

(4.8) Pronóstico del clima

Considere ahora que α = 0.7 y β = 0.4.
Calcule la probabilidad que lloverá en cuatro días a partir de hoy, dado que está lloviendo hoy.

Probabilidad de un paso: solo un día, de hoy a mañana es p

p=\begin{pmatrix} 0.7 & 0.3\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}

Solución

Transiciones:

Probabilidad en dos dias, pasado mañana: p2
p^{(2)}=\begin{pmatrix} 0.7 & 0.3\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 0.7 & 0.3\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} (0.7)(0.7)+(0.3)(0.4) & (0.7)(0.3)+(0.3)(0.6)\\ (0.4)(0.7)+(0.6)(0.4) & (0.4)(0.3)+(0.6)(0.6) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0.61 & 0.39\\ 0.52 & 0.48\end{pmatrix}
Probabilidad en tres dias: p3

Probabilidades en cuatro dias: p4
p^{(4)} = p^{(2)} p^{(2)}

p^{(4)}= \begin{pmatrix} 0.61 & 0.39\\ 0.52 & 0.48 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0.61 & 0.39\\ 0.52 & 0.48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5749 & 0.4251\\ 0.5668 & 0.4332 \end{pmatrix}

Probabilidad que este lloverá en cuatro días, dado que está lloviendo hoy: p(4)00= 0.5749

El cálculo de la matriz elevado a la potencia n se puede resolver con la instrucción de numpy:

np.linalg.matrix_power(p,n)

import numpy as np

# INGRESO
p = np.array([[0.7, 0.3],
              [0.4, 0.6]])
n  = 4
# PROCEDIMIENTO
pn = np.linalg.matrix_power(p,n)

# SALIDA
print(pn)


[[ 0.5749  0.4251]
 [ 0.5668  0.4332]]

Obteniendo nuevamente el resultado p(4)00= 0.5749

(4.20) Las probabilidades al límite o a largo plazo se pueden encontrar escribiendo las ecuaciones para cada πi a partir de la matriz de transición p:

p=\begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ \beta & 1-\beta \end{pmatrix} \pi_0 = \alpha \pi_0 + \beta \pi_1 \pi_1 = (1 - \alpha)\pi_0 + (1 - \beta )\pi_1 \pi_0 + \pi_1 = 1

resolviendo con las ecuaciones numeradas como (1), (2) y (3):

usando ecuación (1)

(1-\alpha)\pi_0= \beta \pi_1 \pi_0=\frac{\beta}{1-\alpha} \pi_1

usando ecuación (3)

\frac{\beta}{1-\alpha} \pi_1 + \pi_1 =1 \frac{\beta+(1-\alpha)}{1-\alpha} \pi_1 = 1 \pi_1=\frac{1-\alpha}{1+\beta-\alpha}

usando la ecuacion (2)

\pi_0=\frac{\beta}{(1-\alpha)} \frac{1-\alpha}{(1+\beta-\alpha)} \pi_0=\frac{\beta}{1+\beta-\alpha}

Si α = 0.7 y β = 0.4 como se usaba en el ejemplo anterior, la probabilidad a largo plazo que llueva será:

π0 = 4/7 = 0.571
resultado que también se obtiene en la columna 0 llevando la matriz p(n) a un tiempo n muy grande como en el ejemplo:

import numpy as np

# INGRESO
p = np.array([[0.7,0.3],
              [0.4,0.6]])
n = 50

# PROCEDIMIENTO
pn = np.linalg.matrix_power(p,n)

# SALIDA
print(pn)


[[ 0.57142857  0.42857143]
 [ 0.57142857  0.42857143]]
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1Eva_IT2010_T5 Pregunta teórica

Tema 5. Responda las siguientes preguntas:

a) Sean i y j estados de una Cadena de Markov estacionaria. Dé una
interpretación a la expresión

f_{ij} = \sum \limits^{\infty}_{n=1} f^{(n)}_{ij}

b) Sea X(t) un proceso estocástico estrictamente estacionario, con función de autocorrelación RX(τ) = E[X(t1)X(t2)], donde τ = t2 − t1.
Entonces, cuál es función de RY(τ) del proceso:

Y(t) := \frac{1}{\epsilon} (X(t+\epsilon)-X(t)) \text { , }\epsilon \in \Re

Referencia: FCNM/ICM01420

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1Eva_IT2010_T4 autocorrelaciones para una serie

Tema 4. Asumiendo estacionariedad y con la ayuda de

r_k = \frac{\sum \limits^n_{i=k+1} (x_i-\bar{x})(x_{i-k}-\bar{x})}{\sum \limits^n_{i=1} (x_i-\bar{x})^2 }

a) Encontrar las autocorrelaciones de orden k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 para la siguiente serie X = [2, 3, 5, 1, 5, 2], donde xj es un elemento del vector en la posición j, j = 1, . . . , n y bosquejar la gráfica de la función de autocorrelación (ACF).

b) Si las bandas de confianza del gráfico ACF están dadas por \pm z_{\alpha /2}\frac{1}{\sqrt{n}} , ¿es posible decir que con 95% (1 − α = 0,95) puede rechazarse la hipótesis de que todas las autocorrelaciones son cero?.

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1Eva_IT2010_T3 Migración urbana, rural, suburbana

Para efectos de una investigación, en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante de zona urbana, rural o suburbana.

Se ha estimado que durante un año cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas se cambian a zona suburbana y el 5% a zona rural.

El 6% de las familias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona rural.
El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el 6% a zona suburbana.

a) Defina los estados de este proceso estocástico y escriba la matriz de transición.
Suponga que al inicio de la investigación, el 35% de la población vivía en áreas urbanas, el 45% en áreas suburbanas y el resto en el área rural.

b) Si inicialmente una familia vive en un área rural, cu´al es la probabilidad de que 3 años después esta familia viva en área urbana?.

c) (Probabilidad de un camino). Cuál es la probabilidad que una familia viva en el área urbana y que además en el siguiente año viva en el área suburbana y además luego de eso al siguiente año viva en el área rural.

d) Cuál es la probabilidad de que 3 años después de iniciada la investigación una familia viva en el área urbana?.

Referencia: FCNM/ICM01420

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1Eva_IT2010_T2 Jugador con 2 monedas

Tema 2. (Random Walk) Un jugador comienza con $2 en el bolsillo y participa en un juego donde apuesta $1 dólar. 

Gana con probabilidad p y pierde el juego con probabilidad (1−p) = q.

Su meta es aumentar su capital hasta $4 y tan pronto lo logre se saldrá del juego a no ser que caiga en la ruina, es decir que su capital sea $0.

a) Defina los estados de este proceso estocástico y escriba la matriz de transición.

b) Dibuje el diagrama de transición de estados.

c) Escriba las clases de equivalencia (relación de equivalencia $) y los
estados absorbentes, transitorios y recurrentes del proceso cuando
0 < p < 1.

d) Escriba las clases de equivalencia cuando p = 0 e indique cuáles de
estas clases son cerradas y cuáles estados son absorbentes.

Referencia: FCNM/ICM01420