ESTG1003 – FCNM – ESPOL
2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018
Tema 3. (15 puntos) Encuentre la densidad espectral de potencia SY(f) de un proceso aleatorio con función de auto-correlación:
RX(τ) cos(2 π f0 τ)
donde RX(τ) es en si mismo una función de auto-correlación.
Determine la potencia promedio, si RX(τ) es de tipo triangular y grafique Sy(f).
Rúbrica: Sy(f) (5 puntos), potencia promedio (5 puntos) Sy(f) nueva(5 puntos)
2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018
Tema 2. (45 puntos) Sean X(t) y Y(t) mostrados en la figura, donde θ es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el rango [-π π].
X(t) = \cos (\omega t + \theta) Y(t) = \sin (\omega t + \theta)Como ejemplo, si ω = 1/2, para θ = 0 y θ = π/4, se muestran los resultados en la figura sobre X(t) y Y(t).
Determine los resultados para:
a) Valor esperado de X(t)
b) Valor esperado de Y(t)
c) Correlación cruzada entre X(t) y Y(t)
d) Covarianza cruzada de X(t) y Y(t)
e) Determinar si el proceso Y es estacionario o estacionario en el sentido amplio. Justifique su respuesta
Rúbrica: literal a y b (5 puntos cada uno), literal c (20 puntos), literal d (5 puntos), literal e) (10 puntos)
2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018
Tema 1. Propuesta de solución
Y(x) = e^{-\alpha x}Siendo X de tipo uniforme entre (0,T]
f_x(x) = \frac{1}{T}Se puede calcular la función de densidad por cada punto de intersecciónal, al trazar una paralela al eje x que pasa por el punto y0
f_Y(y) = \sum_k \frac{f_x(x)}{|\frac{dy}{dx}|} \Big|_{x=x_0}De la gráfica del enunciado se encuentra que existe un solo punto de intersección (y0, x0).
Para un valor de y0 se encuentra su valor equivalente en x0,
y_0 = e^{-\alpha x_0} \ln (y_0) = \ln (e^{-\alpha x_0}) \ln (y_0) = -\alpha x_0 x_0 = \frac{\ln (y_0)}{-\alpha}la derivada dy/dx será
\frac{dy}{dx} = -\alpha e^{-\alpha x}Reemplazando en la ecuación para fY(y):
f_Y(y) = \frac{\frac{1}{T}}{|-\alpha e^{-\alpha x_0}|} = \frac{1}{T|-\alpha e^{-\alpha \frac{ln(y_0)}{-\alpha}}|} = \frac{1}{T|-\alpha e^{ln(y_0)}|} f_Y(y) = \frac{1}{T\alpha y}los valores de x se encuentran entre (0,T], por lo que los valores de y se encuentran:
y_0 = e^{-\alpha(0)} = 1 y_T = e^{-\alpha (T)} = e^{-\alpha T}el rango para y se encuentra entre 1 y e-αT.
La función de distribución acumulada:
F_Y(y) = \int_{1}^{y} f_Y(y) dy = \int \frac{1}{T\alpha y} dy = \frac{1}{T\alpha} \int \frac{1}{y} dy = \frac{1}{T\alpha} ln(y) \Big|_{1}^{y} = \frac{1}{T\alpha}(ln(y) - ln(1)) = \frac{1}{T\alpha}( ln(y) - 0) = \frac{1}{T\alpha}ln(y) F_Y(y) = \frac{ln(y)}{T\alpha}Gráfica: Para que la gráfica tenga una forma representativa, α=-1. 
La auto-correlación aplica para funciones que dependen del tiempo, con diferencias de tiempo τ.
Para éste caso, no aplica la autocorrelación. tampoco se dispone de otra variable en el problema para realizar la correlación.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO alfa = -1 T = 1 # Rango de x a = 0 b = a + T # muestreo m = 100 # PROCEDIMIENTO funciony = lambda x: np.exp(alfa*x) pdf = lambda y: 1/(T*np.abs(alfa*y)) cdf = lambda y: np.log(y)/(np.abs(alfa)*T) x = np.linspace(a,b,m) yi = funciony(x) ya = funciony(alfa*a) yb = funciony(alfa*b) y = np.linspace(yb,ya,m) fy = pdf(y) Fy = cdf(y) # SALIDA plt.subplot(311) plt.plot(x, yi,label='y') plt.legend() plt.subplot(312) plt.plot(y,fy, label='fy') plt.legend() plt.subplot(313) plt.plot(y,Fy, label='Fy') plt.legend() plt.show()
2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018
Tema 1 (25 puntos). Sea Y una variable aleatoria definida por:
donde X es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el intervalo
de (0, T ]
a) Determine la función densidad de probabilidad para Y
b) Calcule la función de distribución acumulada para Y
c) Grafique su resultado
d) Determine la auto-correlación para Y
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, c, d (5 puntos cada uno)
Se realiza el conteo de cada tecla de un intrumento para una canción desde un archivo.midi
# Pmf de notas de un intrumento
# desde archivo midi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mido as md
# INGRESO
archivomid = 'el_aguacate.mid'
# instrumento
canal = 'channel=3'
# para pmf
tramos = 100
# PROCEDIMIENTO
# Abre archivo midi
partitura = md.MidiFile(archivomid)
# un instrumento, tabla de notas
transcurrido = 0
deltat = 0
accion = 'note_on'
tabla = []
for dato in partitura:
linea = str(dato)
parte = linea.split(' ')
if (parte[0]==accion):
valor = parte[4].split('=')
tiempo = float(valor[1])
transcurrido = transcurrido + tiempo
deltat = deltat+tiempo
if (parte[1]==canal):
valor = parte[2].split('=')
nota = int(valor[1])
valor = parte[3].split('=')
velocidad = int(valor[1])
tabla.append([nota, velocidad, tiempo, deltat])
deltat=0
tabla = np.array(tabla)
m = len(tabla)
notas = tabla[:,0]
x, cuenta = np.unique(notas, return_counts=True)
print(x)
print(cuenta)
frelativa = cuenta/np.sum(cuenta)
acumulada = np.cumsum(frelativa)
deltax = 1
# GRAFICAS
plt.subplot(211)
plt.bar(x,frelativa, width=deltax*0.8, align='edge')
plt.title('notas, '+ archivomid + ' , ' + canal)
plt.ylabel('pmf')
plt.subplot(212)
plt.plot(x,acumulada,'m')
plt.ylabel('cdf')
plt.show()
Referencias: Wikipedia
MIDI (Musical Instrument Digital Interface) es un protocolo estándar, una interfaz digital y conectores que permiten que varios instrumentos musicales electrónicos, ordenadores y otros dispositivos relacionados se conecten y comuniquen entre sí.
De un archivo MIDI se puede usar las instrucciones para una solo intrumento, por ejemplo el que ejecuta la melodía, y revisar los delta tiempos entre cada nota para encontrar su pmf o cdf.
Archivo ejemplo: el_aguacate.mid
Formato de MIDI
Las intrucciones midi se puden leer usando la librería mido de python.
Para instalar la librería puede usar pip install mido en la uso de una ventana“símbolo de sistema”. Revisar instrucciones en el enlace pip install.
Para abrir el archivo y crear un documento de texto que se pueda interpretar, se dispone del siguiente script de python:
import mido as md
# INGRESO
archivomid = 'el_aguacate.mid'
archivotxt = 'el_aguacatemidi.txt'
# PROCEDIMIENTO
partitura = md.MidiFile(archivomid)
# SALIDA
pistas = partitura.tracks
n = len(pistas)
for i in range(0,n,1):
print(i, pistas[i])
# ARCHIVO DE TEXTO
archivo = open(archivotxt,'w')
for dato in partitura:
archivo.write(str(dato) + '\n')
archivo.close()
que muestra el número de pistas/instrumentos en el archivo.mid y crea un archivo de texto.
0 <midi track 'untitled' 47 messages> 1 <midi track 'BAJO' 1041 messages> 2 <midi track 'PIANO' 3079 messages> 3 <midi track 'GUITARRAS' 943 messages> 4 <midi track 'JAZZ GTR' 383 messages> 5 <midi track 'PLATILLO' 1002 messages> 6 <midi track 'TAMBOR' 470 messages>
También se puede procesar los datos, para un instrumento, y utilizar las medidas de tiempo como parámetro para tabular el comportamiento y obtener la pmf y cdf.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mido as md
# INGRESO
archivomid = 'el_aguacate.mid'
# instrumento
canal = 'channel=3'
# para pmf
tramos = 20
# PROCEDIMIENTO
# Abre archivo midi
partitura = md.MidiFile(archivomid)
# un instrumento, tabla de notas
accion = 'note_on'
tabla = []
for dato in partitura:
linea = str(dato)
parte = linea.split(' ')
if (parte[0]==accion and parte[1]==canal):
valor = parte[2].split('=')
nota = int(valor[1])
valor = parte[3].split('=')
velocidad = int(valor[1])
valor = parte[4].split('=')
tiempo = float(valor[1])
tabla.append([nota, velocidad, tiempo])
tabla = np.array(tabla)
m = len(tabla)
# Cuenta de tiempos
xmin = 0
xmax = np.round((np.max(tabla[:,2])*1.1),2)
muestreo = tramos +1
x = np.linspace(xmin,xmax,muestreo)
deltax = x[1]-x[0]
cuenta = np.zeros(muestreo,dtype=int)
for f in range(0,m,1):
valor = tabla[f,2]
encuentra = 0
j=0
while not(j>=muestreo or encuentra==1):
if x[j]>valor:
cuenta[j-1] = cuenta[j-1]+1
encuentra=1
j=j+1
frelativa = cuenta/np.sum(cuenta)
acumulada = np.cumsum(frelativa)
# SALIDA
# Presenta pistas
pistas = partitura.tracks
n = len(pistas)
print('pistas/instrumentos: ')
for i in range(0,n,1):
print(i, pistas[i])
# Tabulados
print('Tabulados: ')
print(' x: ',x)
print('cuenta: ', cuenta)
# GRAFICAS
plt.subplot(211)
plt.bar(x,frelativa, width=deltax*0.8, align='edge')
plt.title(archivomid + ' , ' + canal)
plt.ylabel('pmf')
plt.subplot(212)
plt.plot(x,acumulada,'m')
plt.ylabel('cdf')
plt.show()
Tarea:
a) Descargar el archivo.mid de la canción de su preferencia, seleccionar una pista y procesar las funciones de probabilidad de masas y acumulada.
b) para las notas del instrumento, mostrar tambien la pmf, cdf
Ejemplo de instrucciones midi generadas en el archivo
control_change channel=9 control=7 value=120 time=0 note_on channel=2 note=62 velocity=64 time=1.5 note_on channel=2 note=58 velocity=64 time=0 note_on channel=2 note=58 velocity=0 time=0.155 note_on channel=2 note=62 velocity=0 time=0.08 note_on channel=0 note=43 velocity=64 time=0.065 note_on channel=1 note=74 velocity=64 time=0 note_on channel=1 note=70 velocity=64 time=0 note_on channel=1 note=62 velocity=64 time=0 note_on channel=2 note=70 velocity=64 time=0 note_on channel=2 note=67 velocity=64 time=0 note_on channel=9 note=46 velocity=64 time=0 note_on channel=9 note=46 velocity=0 time=0.07
Referencia: Problema León García 10.10 p.636
Sean X(t) y Y(t) procesos independientes estacionarios en el sentido amplio.
Defina Z(t) = X(t) Y(t)
a) Muestre que Z(t) es estacionario en el sentido amplio (WSS).
b) Encuentre RZ(τ) y SZ(f)
Solución propuesta:
E[Z(t)] = E[X(t) Y(t)]
que por ser independientes,
= E[ X(t) ] E[ Y(t) ] = mX mY
RZ(τ) = E[ Z(t) Z(t+τ) ]
= E[ X(t)Y(t) X(t+τ)Y(t+τ) ]
= E[ X(t)X(t+τ) Y(t)Y(t+τ) ]
= E[ X(t)X(t+τ)] E[ Y(t)Y(t+τ) ]
= RX(τ) RY(τ)
que tambien dependen solo de τ, por lo que Z(t) es WSS
SZ(f) = F[RZ(τ)]
= F[RX(τ) RY(τ)]
= SX(f) * SY(f) (convolución)
Referencia: Problema León García 10.6 p.636
Sea Z(t) = X(t) + Y(t)
¿Bajo qué condiciones SZ(f) = SX(f) + SY(f)?
Solución Propuesta:
E[ Z(t)Z(t+τ) ] = E[ [X(t) + Y(t)][X(t+τ) + Y(t+τ)] ]
= E[ X(t)X(t+τ) + Y(t) X(t+τ) + X(t)Y(t+τ) + Y(t)Y(t+τ) ]
= E[ X(t)X(t+τ) ] +E[ Y(t) X(t+τ) ] + E[ X(t)Y(t+τ) ] + E[ Y(t)Y(t+τ) ]
RZ(τ) = RX(τ) + RYX(τ) + RXY(τ) + RY(τ)
SZ(f) = SX(f) + SYX(f) + SXY(f) + SY(f)
Si X(t) y Y(t) son ortogonales, entonces:
RXY(τ) = RYX(τ) = 0
SZ(f) = SX(f) + 0 + 0 + SY(f)
SZ(f) = SX(f) + SY(f)
Referencia: Problema León García 10.4 p.635
a) Encuentre la función de autocorrelación correspondiente a la densidad espectral de potencia de la figura. 
b) Encuentre el total de la potencia promedio
c) Grafique la potencia en el rango de |f| > f0 como función de f0>0.
Solución propuesta:
a)
S_X(f) = A \prod \Big(\frac{f}{2f_2} \Big) + (B-A) \bigwedge \Big( \frac{f}{f_1} \Big)
b)
P = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) \delta f
c)
la potencia en función de la frecuencia es par, por lo que se integra entre 0 y f0 y se duplica para el rango entre [-f0, f0]
2\int_{0}^{f_0} S_X(f) \delta f =
primera sección: 0 < f0 < f1
2\int_{0}^{f_0} \Big[ \Big( -\frac{B-A}{f_1} \Big)f +B\Big] \delta f = 2 \Big[ \Big(-\frac{B-A}{f_1}\Big) \frac{ f^2}{2} +Bf \Big] \Big|_{0}^{f_0} = \Big(-\frac{B-A}{f_1}\Big) f_0^2 +2Bf_0 = 2Bf_0 -\frac{B-A}{f_1} f_0^2segunda sección: f1 < f0 < f2
= 2[ \frac{B-A}{2}f_1 + A(f_0 - f_1) \Big]
# leon- garcia 10.4
# literal c
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
A = 1
B = 2
f1 = 1
f2 = 2
n = 50
final = 4
# PROCEDIMIENTO
f = np.linspace(0,final,n)
P = np.zeros(n,dtype=float)
for i in range(0,n,1):
if f[i]= f1 and f[i]f2:
P[i] = 2*(((B+A)/2)*f1 + A*(f2-f1))
# SALIDA Grafica
plt.plot(f,P)
plt.vlines(f1,0,2.5*B, color='m', linestyle='dashed')
plt.vlines(f2,0,2.5*B, color='m', linestyle='dashed')
plt.show()