ESTG1003 – FCNM – ESPOL
Tema 1. (25 puntos). Dado el proceso o señal descrito por: 
Y=cos(X)
Suponga que X es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el intervalo de (0, 2π].
a) Determine la función densidad de probabilidad para Y
b) Calcule la función de distribución acumulada para Y
c) Grafique su resultado
Este esquema de modulación es conocido también como Quaternary PSK (PSK Cuaternaria), Quadriphase PSK (PSK Cuadrafásica). 
Esta modulación digital es representada en el diagrama de constelación por cuatro puntos equidistantes del origen de coordenadas.
Con cuatro fases, QPSK puede codificar dos bits por cada símbolo.
Respecto a un ancho de banda predeterminado, la ventaja de QPSK sobre BPSK está que con el primero se transmite el doble de la velocidad de datos en un ancho de banda determinado en comparación con BPSK, usando la misma tasa de error.
En el caso de la canción procesada en BPSK, se cargan una cantidad de datos que se pueden procesar con la mitad de símbolos, enviando la información por pares.
La pmf del proceso QPSK será:
Resultados del algoritmo:
datos cargados: 8595119 símbolos procesados: 4297559 [[ 539083 0 1580668] [ 1 0 0] [1638724 0 539083]] pmf[x,y] [[ 1.25439348e-01 0.00000000e+00 3.67806003e-01] [ 2.32690232e-07 0.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 3.81315067e-01 0.00000000e+00 1.25439348e-01]] >>>
# Modulacion digital QPSK - pmf # propuesta:edelros@espol.edu.ec import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO # archivo = input('archivo de delta-sigma:' ) narchivo = 'elaguacate_deltasigma_datos.txt' senal = np.loadtxt(narchivo,dtype=int) # PROCEDIMIENTO n = len(senal) simbolos = [-1,0,1] m = len(simbolos) # Codificar de 2 en dos agrupar = 2 cuenta = np.zeros(shape=(m,m), dtype=int) nmax = (n//agrupar)*agrupar for i in range(0,nmax,agrupar): a = senal[i] b = senal[i+1] f = simbolos.index(a) c = simbolos.index(b) cuenta[f,c] = cuenta[f,c]+1 k = np.sum(cuenta) pxy = cuenta/k # SALIDA print('datos cargados: ', n) print('símbolos procesados: ', k) print(cuenta) print('pmf[x,y]') print(pxy) # Gráfica: from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') xpos, ypos = np.meshgrid(simbolos,simbolos) xpos = xpos.flatten('F') ypos = ypos.flatten('F') zpos = np.zeros_like(xpos) dx = 0.8 * np.ones_like(zpos) dy = dx.copy() dz = pxy.flatten() ax.bar3d(xpos, ypos, zpos, dx, dy, dz, color='b', zsort='average') plt.show()
Tarea: Obtener las pmf marginales del ejercicio.
La modulación por desplazamiento de fase o PSK (Phase Shift Keying) es una forma de modulación angular en que se modifica la fase de la portadora acorde a valores discretos.
La modulación consiste en el desplazamiento de fase para 2 símbolos. 
También conocida como 2-PSK o PRK (Phase Reversal Keying).
Es la modulación más sencilla por emplear solo 2 símbolos, con 1 bit de información cada uno.
Los símbolos suelen tener un valor de salto de fase de 0º para el 1 y 180º para el 0 (-1), como se muestra en un diagrama de constelación.
En cambio, su velocidad de transmisión es la más baja de las modulaciones de fase.
BPSK – pmf
La pmf de BPSK muestra el uso de cada símbolo durante una transmisión. Por ejemplo: de un ejercicio previo se codificó a Sigma-Delta una canción teniendo como resultado:
elaguacate_deltasigma_datos.txt
elaguacate_deltasigma_parametros.txt
resultado del algoritmo:
cantidad de símbolos: 8595119 cuenta de símbolos: [4297559 1 4297559] pmf de símbolos: [ 4.99999942e-01 1.16345102e-07 4.99999942e-01] >>>
# PMF de una señal Sigma-Delta # propuesta:edelros@espol.edu.ec import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO # archivo = input('archivo delta-sigma:' ) archivo = 'elaguacate_deltasigma_datos.txt' senal = np.loadtxt(archivo, dtype=int) # PROCEDIMIENTO n = len(senal) simbolos = [-1,0,1] m = len(simbolos) cuenta = np.zeros(m, dtype=int) for i in range(0,n,1): bit = senal[i] cual = simbolos.index(bit) cuenta[cual] = cuenta[cual]+1 pmf = cuenta/n # SALIDA print('cantidad de símbolos: ', n) print('cuenta de símbolos:', cuenta) print('pmf de símbolos: ', pmf) # Gráfica plt.stem(simbolos,pmf) plt.title('pmf sigma-delta') plt.xlabel('símbolos') plt.ylabel('frecuencia relativa') plt.show()
a) Determine el espacio de estados del sistema
"Para los estados utilice la nomenclatura (tp1, tp2), donde tpi corresponde a la cantidad de atención de enlaces tipo i."
Para el caso que λ1>sea positivo y λ2=0
s1 = {00, 10, 20, 30, 40, 50}
Para el caso que λ1=0 y λ2 es positivo
s2 = {01, 02}
Se completan los casos intermedios para usar toda la capacidad
sotros = {11, 12, 21, 31}
El total de Espacios de estados será la union de los tres espacios anteriores:
s = {00, 10, 20, 30, 40, 50, 01, 02, 11, 12, 21,31}
b) Dibuje y etiquete el diagrama de estados del sistema
c) Plantee las ecuaciones de estados del sistema
SALE = ENTRA
Primera Fila del diagrama
(λ1 +λ2 ) p00 = µ1p10 + µ2p01
(λ1 +λ2 + µ1) p10 = 2µ1p20 + µ2p11 +λ1p00
(λ1 +λ2 +2µ1) p20 = 3µ1p30 + µ2p21 +λ1p10
(λ1 +λ2 +3µ1) p30 = 4µ1p40 + µ2p31 +λ1p20
(λ1 +4µ1) p40 = 5µ1p40 + +λ1p30
5µ1 p50 = λ1p40
Segunda Fila del diagrama
(λ1 +λ2 + µ2 ) p01 = µ1p11 + 2µ2p02 +λ2p00
(λ1 +λ2 + µ1 +µ2) p11 = 2µ1p21 + 2µ2p12 +λ1p01 +λ2p10
(λ1 +2µ1 +µ2) p21 = 3µ1p31 +λ1p11 +λ2p20
( +3µ1 +µ2) p31 = +λ1p21 +λ2p30
Tercera Fila del diagrama
(λ1 +2µ2) p02 = µ1p12 +λ2p01
(µ1 +2µ2) p12 = λ1p02 +λ2p11
p00 +p10 +p20 +p30 +p40 +p50 +p01 +p11 +p21 +p31 +p02 +p12 =1
d) Determine la probabilidad de pérdidas de conexiones tipo 1 y tipo 2, y la probabilidad de pérdidas del sistema.
Pérdidas de tipo 1 se dan en los estados 12, 31, 50 ptipo1 = p12 + p31 + p50 Pérdidas de tipo 2 se dan en los estados 12, 31, 50, 02, 21, 40 ptipo2 = p12 + p31 + p50 + p02 + p21 + p40
e) ¿Cuál probabilidad de pérdidas es más alta? Para conexiones tipo 1 o 2, describa su respuesta.
Se pierden más conexiones del tipo 2, pues existen más términos en la suma de probabilidades
f) Calcule la utilización del enlace por cada tipo
Se calcula como valor esperado por ocupación de servidores:\rho = \frac{\sum_{i=0}^{5} \sum_{j=0}^{3} p_{ij} (i \text{1MB} + j \text{2MB})}{\text{5MB}}
En el caso que se requieren por tipo de conexión:
\rho_{1} = \frac{\sum_{i=0}^{5} \sum_{j=0}^{3} p_{ij} (i \text{1MB} )}{\text{5MB}}
\rho_{2} = \frac{\sum_{i=0}^{5} \sum_{j=0}^{3} p_{ij} (j \text{2MB})}{\text{5MB}}
a) Determine el espacio de estados del sistema
S={0,1,2,3,4,5,6}
b) Dibuje y etiquete el diagrama de estados del sistema
c) Calcule las probabilidades de cada estado (PMF)
SALE = ENTRA (1) λp0 = µp1 (2) (λ + µ)p1 = λp0 + 2µp2 (3) (λ + 2µ)p2 = λp1 + 3µp3 (4) (λ + 3µ)p3 = λp2 + 4µp4 (5) (λ + 4µ)p4 = λp3 + 5µp5 (6) 5µp5 = λp4 (7) p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1
(1) p1 = (λ/µ) p0
(2) (λ + µ)(λ/µ) p0 = λp0 + 2µp2
p2 = [1/2µ] [(λ + µ)(λ/µ) - λ] p0
p2 = [λ/2µ2] [(λ + µ) - µ] p0
p2 = (1/2)(λ/µ)2 p0
(3) (λ + 2µ)p2 = λp1 + 3µp3
(λ + 2µ)(1/2)(λ/µ)2 p0 = λ (λ/µ) p0 + 3µp3
[(λ + 2µ)(1/2)(λ/µ)2 - (λ2/µ)] p0 = + 3µp3
3µp3 = (λ/µ)2 [(1/2)(λ + 2µ) - µ ] p0
p3 = (1/3µ)(λ/µ)2 (λ + 2µ - 2µ)/2 p0
p3 = [1/(2*3)](λ/µ)2 (λ/µ) p0
p3 = (1/3!)(λ/µ)3 p0
(4) (λ + 3µ)(1/(2*3))(λ/µ)3 p0 = λ(1/2)(λ/µ)2 p0 + 4µp4
4µp4 = [(λ + 3µ)(1/(2*3))(λ/µ)3 - λ(1/2)(λ/µ)2] p0
4µp4 = (1/2)(λ/µ)3[(1/3)(λ + 3µ) - µ] p0
p4 = [1/2*4µ](λ/µ)3((λ + 3µ) - 3µ)/3 p0
p4 = [1/2*3*4](λ/µ)3(λ/µ) p0
p4 = (1/4!)(λ/µ)4 p0
(5) (λ + 4µ)(1/4!)(λ/µ)4 p0 = λ(1/3!)(λ/µ)3 p0 + 5µp5
5µp5 = [(λ + 4µ)(1/4!)(λ/µ)4 - λ(1/3!)(λ/µ)3] p0
5µp5 = [(1/4!)(λ/µ)4][(λ + 4µ- 4µ] p0
p5 = (1/5!)(λ/µ)5 p0
(7) p0 + (λ/µ) p0 + (1/2)(λ/µ)2 p0 + [1/3!](λ/µ)3 p0 + (1/4!)(λ/µ)4 p0 + (1/5!)(λ/µ)5 p0 = 1
p0 [1 + (λ/µ) + (1/2)(λ/µ)2 + (1/3!)(λ/µ)3 + (1/4!)(λ/µ)4 + (1/5!)(λ/µ)5 ] = 1
p0 = 1/ [1 + (λ/µ) + (1/2)(λ/µ)2 + (1/3!)(λ/µ)3 + (1/4!)(λ/µ)4 + (1/5!)(λ/µ)5 ]
d) Encuentre la probabilidad de pérdidas de conexiones.
p5 = (1/5!)(λ/µ)5 p0 = (1/5!)(λ/µ)5 / [1 + (λ/µ) + (1/2)(λ/µ)2 + (1/3!)(λ/µ)3 + (1/4!)(λ/µ)4 + (1/5!)(λ/µ)5 ]
e) ¿Cuál es el factor de utilización del enlace?
Es el valor esperado de uso de capacidad relativo a la capacidad máxima del multiplexor.
\rho = \frac{\sum_{i=0}^{5}(i)(p_i )\text{1MB}}{\text{5MB}}Ejercicio: 1Eva_IIT2017_T2 Radio-enlaces con Markov
Para un radio-enlace realice un modelo con una Cadena de Markov:
a) Determine el espacio de estados
s={0,1}
b) Realice el diagrama de estados, etiquete claramente
c) Escriba la matriz de transición y calcule la probabilidad de estado estable.
\begin{bmatrix} (1-\alpha) & \alpha\\ \beta & (1-\beta) \end{bmatrix}
(1-α) π0 + β π1 = π0
α π0 + (1-β) π1 = π1
π0 + π1 = 1
[(1-α)-1) π0 + β π1 = 0
α π0 + [(1-β)-1] π1 = 0
π0 + π1 = 1
Se seleccionan dos ecuaciones incluyento la suma de probabilidades es 1:
-α π0 + β π1 = 0 α π0 - β π1 = 0 π0 + π1 = 1
β π1 = α π0 π1 = α/β π0 π0 + α/β π0 = 1 (1 + α/β)π0 = 1 π0 = β/(β + α) π1 = α/(β + α)
Suponga que α=0.01, β=0.02 y determine para todo el enlace entre las ciudades:
d) La matriz de transición entre las ciudades A y B
p^{(3)}=\begin{bmatrix} 0.99 & 0.01\\ 0.02 & 0.98 \end{bmatrix}^{3}p = [[0.99, 0.01],
[0.02, 0.98]]
>>> p2 = np.linalg.matrix_power(p,2)
p2 = [[ 0.9803 0.0197]
[ 0.0394 0.9606]]
>>> p3 = np.linalg.matrix_power(p,3)
p3 = [[ 0.970891 0.029109]
[ 0.058218 0.941782]]
e) Probabilidad de error para un dígito binario 0 (bit)
P01 = 0.029109
f) Probabilidad de error para un bit con valor 1 (bit)
P10 = 0.058218
g) El error al transmitir un bit en todo el enlace
P01 + P10 = 0.029109 + 0.058218 = 0.0873
h) Observe y comente sus resultados
El sistema es semejante a usar una matriz de probabilidad para un sistema durante tres periodos de tiempo.
Las probabilidades se interpretan desde la matriz. Mientras más tramos se avanza en los radioenlaces, la probabilidad de falla aumenta, proporcional a los factores α y β.
a) Determine el espacio de estados
s={0,1,2} = {'.- '}
b) Realice el diagrama de estados
c) Escriba la matriz de transición y ubique los valores encontrados en el diagrama.
d) Calcule la probabilidad de estado estable o largo plazo.
Ecuaciones:
0,2961 π0 + 0,4032 π1 + 0,4348 π2 = π0 0,2856 π0 + 0,2609 π1 + 0,2842 π2 = π1 0,4181 π0 + 0,3358 π1 + 0,2809 π2 = π2 π0 + π1 + π2 = 1
Tomando 3 ecuaciones, siempre usando que la suma de probabilidades es 1
(0,2961-1) π0 + 0,4032 π1 + 0,4348 π2 = 0 0,2856 π0 + (0,2609-1) π1 + 0,2842 π2 = 0 0,4181 π0 + 0,3358 π1 + (0,2809-1) π2 = 0 π0 + π1 + π2 = 1
-0,703817809 0,403205408 0,434822831 0
0,285650584 -0,73908635 0,284203177 0
0,418167225 0,335880942 -0,719026008 0
1 1 1 1
1 1 1 1 0,285650584 -0,73908635 0,284203177 0 0,418167225 0,335880942 -0,719026008 0
1 1 1 1 0 3,587379095 0,005067055 1 0 0,196778413 2,719470024 1
1 1 1 1 0 1 0,001412467 0,278755039 0 0 1 0,347583767
1 0 0 0,3742 0 1 0 0,2783 0 0 1 0,3476
π = [0,3742 0,2783 0,3476]
π0 = 0,3742
π1 = 0,2783
π2 = 0,3476
Usando Python:
la suma de filas es: [123343 91720 114580] la matriz de transición es: [[ 0.29618219 0.28565058 0.41816722] [ 0.40320541 0.26091365 0.33588094] [ 0.43482283 0.28420318 0.28097399]] en estado estable o largo plazo: [[ 0.37415214 0.27826409 0.34758377] [ 0.37415214 0.27826409 0.34758377] [ 0.37415214 0.27826409 0.34758377]] >>>
# 1ra Evaluación II Término 2017
# Tema 1. Código Morse-Cadena Markov
import numpy as np
# Ingreso
conteo = np.array([[36532, 35233, 51578],
[36982, 23931, 30807],
[49822, 32564, 32194]])
# Procedimiento
n = len(conteo)
p = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
sumafila = np.sum(conteo, axis=1)
for f in range(0,n,1):
p[f] = conteo[f,:]/sumafila[f]
k=50
pn = np.linalg.matrix_power(p,k)
# Salida
print('la suma de filas es: ')
print(sumafila)
print('la matriz de transición es: ')
print(p)
print('en estado estable o largo plazo: ')
print(pn)
Tema 4. (35 puntos) Para transmisión de datos se dispone de un enlace con capacidad de 5 MB/s que sirve a dos clases de conexiones, tipo 1 y tipo 2, usando un multiplexor semejante al descrito en el tema anterior. 
Peticiones de conexión tipo 1 llegan acorde a un proceso Poisson con tasa λ1 y ocupan 1Mb del ancho de banda del enlace con un tiempo de uso exponencialmente distribuido con parámetro µ1.
Peticiones conexión tipo 2 llegan acorde a un proceso Poisson con tasa λ2 y ocupan 2Mb del ancho de banda del enlace con un tiempo de uso exponencialmente distribuido con parámetro µ2.
Se requiere un modelo de colas para el comportamiento del sistema cuando λ1 y λ2 y son positivas.
a) Determine el espacio de estados del sistema
b) Dibuje y etiquete el diagrama de estados del sistema
c) Plantee las ecuaciones de estados del sistema
d) Determine la probabilidad de pérdidas de conexiones tipo 1 y tipo 2, y la probabilidad de pérdidas del sistema
e) ¿Cuál probabilidad de pérdidas es más alta? Para conexiones tipo 1 o 2, describa su respuesta
f) Calcule la utilización del enlace por cada tipo
Nota: Para los estados utilice la nomenclatura (tp1, tp2), donde tpi corresponde a la cantidad de atención de enlaces tipo i.
Para el factor de utilización, puede ponderar el ancho de banda con las probabilidades de estado asociado; es decir, cuando los servidores están ocupados, los clientes llegan juntos a una tasa de λ = λ1 + λ2 y el cliente tipo 1 se encuentra con una probabilidad de λ1/λ y de tipo 2 con una probabilidad de λ2/λ
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: Lakatos, Szeidl, Telek (2013). Introducción a sistemas de colas con telecomunicaciones. Ejercicios 11.1
Tema 3. (15 puntos) En telecomunicaciones, la multiplexación permite transmitir varias comunicaciones de forma simultánea combinando dos o más comunicaciones en la entrada y entregando un solo canal/ medio de salida.
Para transmisión de datos se dispone de un multiplexor con capacidad de 5 MB/s que sirve a conexiones que llegan acorde a un proceso Poisson con tasa λ y ocupan 1Mb del ancho de banda del enlace con un tiempo de uso exponencialmente distribuido con parámetro µ.
a) Determine el espacio de estados del sistema
b) Dibuje y etiquete el diagrama de estados del sistema
c) Calcule las probabilidades de cada estado (PMF)
d) Encuentre la probabilidad de pérdidas de conexiones.
e) ¿Cuál es el factor de utilización del enlace?
Rúbrica: literal a y b (5 puntos), literal c (8 puntos), literal d y e (2 puntos)
Referencia: Erlang’s loss System. Ross 8.9.1. p.563, M/M/c/c Queueing System. León-García 12.4.3
Tema 2. (35 puntos) Para comunicar dos ciudades se instalan tres radio-enlaces digitales de larga distancia, cada uno conformado por un transmisor (Tx) y un receptor (Rx). Por ejemplo, las ciudades Guayaquil en la costa y Cuenca en la sierra, se comunican usando tres radio-enlaces que en puntos por tramos en las montañas.
En un radio-enlace el dígito binario 0 enviado por Tx se recibe en Rx con una probabilidad de error α, mientras que el dígito binario 1 presenta probabilidad de error β.
Para un radio-enlace realice un modelo con una Cadena de Markov:
a) Determine el espacio de estados
b) Realice el diagrama de estados, etiquete claramente
c) Escriba la matriz de transición y calcule la probabilidad de estado estable.
Suponga que α=0.01, β=0.02 y determine para todo el enlace entre las ciudades:
d) La matriz de transición entre las ciudades A y B
e) Probabilidad de error para un dígito binario 0 (bit)
f) Probabilidad de error para un bit con valor 1 (bit)
g) El error al transmitir un bit en todo el enlace
h) Observe y comente sus resultados.
Rúbrica: literal a y b (6 puntos), literal c (4 puntos), literal d (10 puntos), literal e y f (3 puntos c/u) literal g (4 puntos), literal h (5 puntos)
Referencia: Gubner(2006) problema 1.56, 3.28, ejemplo 3.13; León-García(2008) 1.5.1; FIEC03236-1ra Evaluación II Término 2011.