Referencia: León-García 445 Important Continuous Random Variables p164

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Uniforme

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S_X = [a,b] f_X(x) = \frac{1}{b-a} a\leq x \leq b E[X] = \frac{a+b}{2} VAR[X] = \frac{(b-a)^2}{12} \Phi_X(\omega) = \frac{e^{j\omega b}- e^{j\omega a}}{j\omega(b-a)}

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Exponencial

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S_X = [0, \infty) f_X(x) = \lambda e ^{-\lambda c} x \geq 0 \text{ , } \lambda > 0 E[X] = \frac{1}{\lambda} VAR[X] = \frac{1}{\lambda ^2} \Phi_X(\omega) = \frac{\lambda}{\lambda - j\omega}

Nota: La variable aleatoria exponencial es la única variable aleatoria contínua con propiedad "sin memoria"

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Normal o Gausiana

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{e^{-(x-m)^2 /2 \sigma ^2}}{\sqrt{2 \pi}\sigma}

- ∞ < x < + ∞ , σ >0

E[X] = m VAR[X] = \sigma ^2 \Phi_X(\omega) = e^{jm\omega - \sigma ^2 \omega ^2 /2}

Nota: En un amplio rango de condiciones, X puede ser usada para aproximar la suma de un gran número de variables aleatorias independientes

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Gamma

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S_X = (0, \infty) f_X(x) = \frac{ \lambda (\lambda x)^{\alpha -1} e^{-\lambda x} } {\Gamma(\alpha)} x > 0, \alpha >0, \lambda > 0

donde  \Gamma(z)  es la función gamma:

\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx , z>0 \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \Gamma (z+1) = z \Gamma(z) , z>0 \Gamma (m+1) = m! , m>0 \text{, y entero} E[x] = \frac{\alpha}{\lambda} VAR[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2} \Phi_X(\omega) =\frac{1}{(1-j\omega /\lambda)^{\alpha}}

Casos especiales de Gamma

Erlang m-1

\alpha = m \text{, entero positivo}

f_X(x) = \frac{ \lambda e^{-\lambda x }(\lambda x)^{m - 2} } {(m-1)!} x>0

\Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-j\omega /\lambda} \right) ^{m}

Nota: Una variable aleatoria Erlang m-1 se obtiene al añadir m variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro λ

Chi-cuadrado

con k grados de libertad:

\alpha = k/2 \text{, k entero positivo y } \lambda =1/2 f_X(x) = \frac{ x^{(k - 2)/2} e^{-x/2} } {2^{k/2} \Gamma (k/2)} x>0 \Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-2j\omega} \right) ^{k/2}

Nota: la suma de k variables aleatorias Gausianas, mutuamente independientes, con varianza unitaria, media cuadrada 0, es una variable aleatoria Chi-cuadrada con k grados de libertad.

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Lapacian

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{\alpha}{2} e^{-\alpha|x|}

- ∞ < x < + ∞ , α >0

E[x] =0 VAR[X] = \frac{2}{\alpha^2} \Phi_X(\omega) = \frac{\alpha^2}{\omega ^2 + \alpha ^2}

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Rayleigh

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S_X = [0, \infty) f_X(x) = \frac{x}{\alpha^2} e^{-x^2/2\alpha^2} x \geq 0 , \alpha>0 E[X] = \alpha \sqrt{\pi/2} VAR[X] =(2- \pi/2) \alpha^2

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Cauchy

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S_X = (-\infty, +\infty) f_X(x) = \frac{\alpha / \pi}{x ^2 + \alpha ^2}

- ∞ < x < + ∞ , α >0

NO existe la media o varianza

\Phi_X(\omega) = e^{-\alpha|\omega| }

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Pareto

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S_X = [X_m, +\infty) , X_m>0 f_X(x) = \begin{cases} 0 && x< x_m\\ \alpha \frac{x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} && x \geq x_m \end{cases} E[X] =\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}, \alpha >1 VAR[X] =\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 2)(\alpha-1)^2}, \alpha >2

Nota: La variable aleatoria Pareto es el ejemplo mas destacado de variables aleatorias con colas largas y puede ser vista como una versión contínua de la variable aleatoria discreta Zipf

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Beta

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f_X(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma (\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} && ,\alpha>0 \\, && \beta>0 \\ , && 0 < x < 1 \\ 0 && \text{otro caso} \end{cases} E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} VAR[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}

Nota: La variable aleatoria Beta es util para modelar una variedad de formas de funciones de densidad de probabilidad en intervalos finitos

Referencia: León-García 3.5 Important Discrete Random Variables p115

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

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Bernoulli

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S_X=\{0, 1 \}

p_0 = q = 1-p

p_1=p, 0 \leq p \leq 1

E[X] = p

VAR[x] = p(1-p)

G_X(z)=(q+pz)

Nota: La variable aleatoria Bernoulli es es valor de la función indicador I_A para algún evento; X=1 si ocurre A, y 0 en otro caso

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Binomial

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S_X=\{0, 1, ... , n \}

p_k={n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k}

k = 0, 1, ... , n

E[X]= np

VAR[X] = np(1-p)

G_X(z)= (q + pz)^{n}

Nota: X es el numero de éxtidos en n intentos Bernoulli y por consiguiente la suma de n iid variables aleatorias Bernoulli.

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Geométrica

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Versión 1:

S_X=\{0, 1, 2, ... \}

p_k = p(1-p)^{k}

k= 0, 1, , ...

E[X] =\frac{1-p}{p}

VAR[X] = \frac{1-p}{p^2}

G_X(z) = \frac{p}{1-qz}

Nota: X es el número de fallas antes del primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes. La variable aleatoria geométrica es la única una variable aleatoria con propiedad "sin memoria".

Versión 2:

S_X'=\{ 1, 2, ... \}

p_k = p(1-p)^{k-1}

k= 1, 2, ...

E[X'] =\frac{1}{p}

VAR[X'] = \frac{1-p}{p^2}

G_{X'}(z) = \frac{pz}{1-qz}

Nota: X'= X+1 es el número de intentos hasta primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes.

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Binomial Negativa

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S_X=\{ r, r+1, ... \}

, donde r es un entero positivo

p_k = {{k-1} \choose {r-1}} p^{r}(1-p)^{k-r}

k = r, r+1, ...

E[x] = \frac{r}{p}

VAR[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}

G_X(z) = \left( \frac{pz}{1-qz}\right)^{r}

Nota: X es el número de intentos hasta el r-ésimo éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes

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Poisson

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S_X=\{0, 1, 2, ... \}

p_k = \frac{\alpha ^{k}}{k!} e^{-\alpha}

k = 0, 1, ... \text{ y } \alpha>0

E[X] = \alpha

VAR[X] = \alpha

G_X(z) = e^{\alpha(z-1)}

Nota: X es el número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo cuando el tiempo entre eventos es distribuido exponencialmente con media 1/α.

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Uniforme

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S_X=\{1, 2, ..., L \}

p_k = \frac{1}{L}

k = 1, 2, ... , L

E[X] = \frac{L+1}{2}

VAR[X] = \frac{L^2 -1}{12}

G_X(z) = \frac{z}{L} \frac{1- z^L}{1-z}

Nota: La variable aleatoria uniforme sus resultados son igualmente probables. Juega un rol importante en la generación de números aleatorios

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Zipf

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S_X=\{1, 2, ..., L \}

, donde L es un entero positivo

p_k = \frac{1}{c_L} \frac{1}{k}

k = 1, 2, ... , L

donde c_L esta dado por:

c_L = \sum_{j=1}^{L} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{L}

E[X] =\frac{L}{c_L}

VAR[X] = \frac{L(L+1)}{2C_L} - \frac{L^2}{c_L ^2}

Nota: La variable aleatoria Zipf tiene la propiedad que algunos resultados ocurren frecuentemente, pero muchos resultados suceden muy poco

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[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

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