Procesos Estocásticos

Autor: Edison Del Rosario

  • 2Eva_IIIT2012_T1 limite central

    2da Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

    Tema 1 (10 puntos). Un estudiante usa lápices cuya duración es de una semana cuya función de densidad de probabilidad es de tipo exponencial. Use el teorema del límite central para determinar el mínimo número de lápices que debería comprar al inicio del semestre (15 semanas) para tener una probabilidad de 0.97 de no quedarse sin lápices durante el semestre.

    Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
    x Q(x) x Q(x)
    0 5.00E-01 2.7 3.47E-03
    0.1 4.60E-01 2.8 2.56E-03
    0.2 4.21E-01 2.9 1.87E-03
    0.3 3.82E-01 3.0 1.35E-03
    0.4 3.45E-01 3.1 9.68E-04
    0.5 3.09E-01 3.2 6.87E-04
    0.6 2.74E-01 3.3 4.83E-04
    0.7 2.42E-01 3.4 3.37E-04
    0.8 2.12E-01 3.5 2.33E-04
    0.9 1.84E-01 3.6 1.59E-04
    1.0 1.59E-01 3.7 1.08E-04
    1.1 1.36E-01 3.8 7.24E-05
    1.2 1.15E-01 3.9 4.81E-05
    1.3 9.68E-02 4.0 3.17E-05
    1.4 8.08E-02 4.5 3.40E-06
    1.5 6.68E-02 5.0 2.87E-07
    1.6 5.48E-02 5.5 1.90E-08
    1.7 4.46E-02 6.0 9.87E-10
    1.8 3.59E-02 6.5 4.02E-11
    1.9 2.87E-02 7.0 1.28E-12
    2.0 2.28E-02 7.5 3.19E-14
    2.1 1.79E-02 8.0 6.22E-16
    2.2 1.39E-02 8.5 9.48E-18
    2.3 1.07E-02 9.0 1.13E-19
    2.4 8.20E-03 9.5 1.05E-21
    2.5 6.21E-03 10.0 7.62E-24
    2.6 4.66E-03

  • 1Eva_IIIT2012_T3 varianza covarianza

    1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

    Tema 3 (40 puntos). Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad de probabilidad dada por:

    f_{XY}(x,y) = \begin{cases} Kx && , 0 \leq y \leq 2x <2 \\ 0 && ,\text{otro caso} \end{cases}

    a) Graficar la región de fXY(x,y)

    Determinar:

    b) el valor de K para que sea una función densidad de probabilidad

    c) P(Y>X│Y<1)

    d) P(√X│Y=1,5)

    e) E[XY]

    f) Var[X]

    g) FY(y)

    Rúbrica: literal a (3 puntos), b,c,e,f (5 puntos), d (10 puntos), g (7 puntos)

  • 1Eva_IIIT2012_T2 funcion densidad

    1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

    Tema 2 (30 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

    f_X(x) = \begin{cases} k(x+2) && , x \in (-2,0] \\ -k(x-2) && , x \in (0,2] \\ 0 && , x \in (-\infty,-2]\cup(2,\infty) \end{cases}

    a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/4

    b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

    i. La función de distribución de probabilidad de Y
    ii. La función de densidad de probabilidad de Y


    Rúbrica: literal a 10 puntos, literal b, 10 puntos cada parte.

  • 1Eva_IIIT2012_T1 Marginales discretas

    1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

    Tema 1 (30 puntos). Dos líneas de producción fabrican transmisores.Supóngase que la capacidad es de 5 transmisores para la línea I y de 3 transmisores para la línea II.

    Sea X,Y la representación de la variable aleatoria bidimensional que da el número de transmisores producidos por la línea I y por la línea II:

    X \ Y 0 1 2 3 4 5
    0 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
    1 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08
    2 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06
    3 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05

    a) Determinar la probabilidad del suceso: la línea I produce más transmisores que la línea II

    b) Hallar las distribuciones marginales, fX(x) y fY(y)

    c) Calcular P(X=3) y P(Y=1)

    d) Calcular E(X) y E(Y)

    e) Calcular P(X=2|Y=2)

    Rúbrica: cada literal 6 puntos

  • Metodo de la Transformada

    Referencia: Gubner 4.3 p159, León García 7.6.2 p 398

    Los metodos de transformadas son muy útiles para cálculos que involucran derivadas e integrales de funciones. Muchos problemas involucran el uso de la "convolución" de dos funciones f1(x) * f2(x), cuyo cálculo se facilita si se tabaja con un método de transformadas.

    Usar por ejemplo la transformada de Fourier, al cambiar de dominio convierte la convolución de funciones en una multiplicación, al resultado se le realiza la antitransformada y se obtiene el resultado buscado.

    Función característica

    Sea X una variable aleatoria contínua con función densidad de probabilidad f(x), entonces:

    \Phi_{X} (\omega) = E\left[ e^{j \omega X} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) e^{j\omega x} dx \text{donde } j=\sqrt{-1}

    lo que también es la transformada de Fourier de f, la fórmula para invertir la transformada es:

    f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{X}(\omega) e^{-j\omega x} d\omega

    Es una transformación de la función desde el dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia (ω).

    Nota: En los libros de sistemas y señales, se define la transformada de Fourier de f por \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega x} dx . Para ser mas preciso, se debería decir φX(v) es la transformada de Fourier evaluada en -v.

    Convolutions | Why X+Y in probability is a beautiful mess. 3Blue1Brown. 27 junio 2023.

  • 1Eva_IIT2012_T3 Bivariadas marginales

    1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

    Tema 3 (40 puntos). Sean las variables aleatorias X y Y con función de densidad conjunta :

    f_{XY}(x,y) = k*y(1-x-y)

    Si (x,y) pertenece al recinto limitado por las rectas x + y = 1; x = 0; y = 0.

    a) Calcular el valor de k
    b) Calcular la función de distribución de la variable aleatoria bidimensional F(x,y)
    c) Calcular las funciones de densidad marginales

    Nota: literal a y c (10 puntos), literal b (20 puntos)

  • 1Eva_IIT2012_T2 funcion densidad y acumulada

    1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

    Tema 2 (40 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

    F_{X}(x) = 2 * \begin{cases} 0.5x + 0.5 && , x \in (-1,0] \\ -0.5x + 0.5 && , x \in (0,1] \\ 0 && , x \in (-\infty , 1] \cup (1, \infty) \end{cases}

    a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/5

    b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

    b.1 La función de distribución de probabilidad de Y

    b.2 La función de densidad de probabilidad de Y

    Nota: literal a (10 puntos), literal b.1 y b.2 (15 puntos) cada uno

  • 1Eva_IIT2012_T1 Transmision binaria errores

    1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

    Tema 1 (20 puntos). Una fuente binaria emite de manera equiprobable e independientemente un bloque de tres dígitos (0 o 1) cada segundo.

    De cada bloque se envía a  un canal de transmisión un cero si en el bloque hay más ceros que unos y un uno en caso contrario.

    El canal transmite el digito con una probabilidad de error p, y el receptor reconstruye la terna, repitiendo tres veces el digito que se ha recibido.

    Determine:

    a) ¿Cuál es el número de bits erróneos por bloque? (10 puntos).

    b) ¿Cuál debería ser la probabilidad p, para que este valor medio no fuese mayor que 1? (10 puntos).

  • 3Eva_IIT2012_T4 densidad espectral de potencia

    3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

    Tema 4 (20 puntos) Dada la siguiente función de Autocorrelación RX(ζ) del proceso estocástico X(t) que es WSS.

    a) Encuentre Var[X(t)].

    b) Determine y grafique Sx(ω) ó Sx(f).

    Rúbrica: 10 puntos cada literal

  • 3Eva_IIT2012_T3 autocorrelación

    3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

    Tema 3 (25 puntos). Sea X(t) un proceso estocástico normal y estacionario, con autocorrelación:

    R_{X} = \frac{1}{1+\tau ^2} +1

    Determinar:

    a) P(|X(2)| ≤ 2)

    b) La matriz de covarianzas de la variable aleatoria tridimensional [X(0), X(1), X(3)]

    c) La función de densidad de la variable aleatoria Z=X2(2)

    d) La autocorrelación del proceso estocástico Y(t)=4*X(t+1)+t

    Rúbrica:  literal a (4 puntos), literal b (6 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)