Publicado en por Edison Del Rosario

Autocovarianza en AM

Referencia: León García Ejemplo 9.9 p495, Gubner Ej10.35 p496

Sea X(t) = A cos(2πt), donde A es una variable aleatoria, con un comportamiento semejante a la figura.

Encontrar el valor esperado , la autocorrelación y autocovarianza de de X(t).

El valor esperado se calcula a continuación, note que la media varia respecto a t y que el valor es cero para valores de t donde cos(2πt) =0.

E[X(t)]=E[Acos(2πt)] E[X(t)] = E[A cos(2\pi t)] E[X(t)]=E[A]cos(2πt) E[X(t)] = E[A] cos(2\pi t)

La autocorrelación es:

RX(t1,t2)=E[Acos(2πt1)Acos(2πt2)] R_X(t_1,t_2) = E[A cos(2\pi t_1) A cos(2\pi t_2)] =E[A2cos(2πt1)cos(2πt2)] = E[A^{2} cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2)] =E[A2]cos(2πt1)cos(2πt2) = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2)

usando:

2cos(x)cos(y)=cos(x−y)+cos(x+y) 2 cos(x)cos(y) = cos(x-y) + cos(x+y) cos(x)cos(y)=cos(x−y)+cos(x+y)2 cos(x)cos(y) = \frac{ cos(x-y) + cos(x + y)}{2}

se reemplaza:

=E[A2]12[cos(2πt1−2πt2)+cos(2πt1+2πt2)] = E[A^{2}] \frac{1}{2}[cos(2\pi t_1 - 2\pi t_2) + cos(2\pi t_1 + 2\pi t_2)] RX(t1,t2)=E[A2][cos(2π(t1−t2))+cos(2π(t1+t2))]2 R_X(t_1,t_2) = E[A^{2}] \frac{[cos(2\pi (t_1 - t_2)) + cos(2\pi (t_1 + t_2))]}{2}

se observa que el valor de autocorrelación depende de las diferencias de tiempo t1 y t2.

La autocovarianza es:

CovX(t1,t2)=RX(t1,t2)−E[X(t1)]E[X(t2)] Cov_X(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) - E[X(t_1)]E[X(t_2)] =E[A2]cos(2πt1)cos(2πt2)−E[A]cos(2πt1)E[A]cos(2πt2) = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2) - E[A] cos(2\pi t_1)E[A] cos(2\pi t_2) =E[A2]cos(2πt1)cos(2πt2)−E[A]2cos(2πt1)cos(2πt2) = E[A^{2}] cos(2\pi t_1) cos(2\pi t_2) - E[A]^2 cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2) =(E[A2]−E[A]2)cos(2πt1)cos(2πt2) = (E[A^{2}] - E[A]^2) cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2) =Var[A]cos(2πt1)cos(2πt2) = Var[A] cos(2\pi t_1)cos(2\pi t_2)

con el mismo procedimiento de cos(x)cos(y):

CovX(t1,t2)=Var[A][cos(2π(t1−t2))+cos(2π(t1+t2))]2 Cov_X(t_1,t_2) = Var[A] \frac{[cos(2\pi (t_1 - t_2)) + cos(2\pi (t_1 + t_2))]}{2}