Axiomas de probabilidad

Referencia: Leon-García 1.3.3 p.23, Gubner 1.4 p.36, Parsen p.9/pdf.30, Ross p.4

La teoría de probabilidad inicia con un grupo de axiomas que indican las propiedades que los valores de probabilidad deben satisfacer.

Supone que se definieron:

1. el experimento aleatorio con todos los posibles valores en el espacio muestral S
2. las clases y subgrupos llamados eventos
3. cada evento A tiene asignado un valor P[A]

con lo que se satisfacen los AXIOMAS:

• Axioma I    :  0 ≤ P[A] ≤ 1
• Axioma II   : P[S] = 1
• Axioma III  : Si A∩B=∅,  P[A∪B] = P[A] + P[B]

Lo que se expresa como, que la probabilidad siempre es no negativa, que la probabilidad del espacio muestral es 1, que incluye la probabilidad P[∅] que a veces se le denomina «imposible» e igual a 0.

Resultados de los axiomas

Unión de eventos finitos y separados

$P\left[ \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \right] = \sum\limits_{n=1}^{N} P[A_n]$

Probabilidad de un complemento

$P[A^c] = 1 - P[A]$

Evento imposible

$P[\varnothing] = 0$

Monotonicidad

$A \subset B ,\text{ implica } P[A] \leq P[B]$

Inclusión – Exclusión

$P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$

Propiedades de límites

$P \left[ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right] = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} P\left[ \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \right]$ $P \left[ \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right] = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} P\left[ \bigcap\limits_{n=1}^{N} A_n \right]$

Union bound/countable subadditivity

$P \left[ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \right] \leq \sum \limits_{n=1}^{\infty} P[ A_n]$