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2Eva_IIIT2012_T2 densidad espectral de potencia

2da Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 2 (50 puntos). Sea X(τ) un proceso estocástico normal y estacionario de media 1 y autocorrelación:

RX(τ)=189+τ2+1 R_X (\tau)=\frac{18}{9 + \tau^2} + 1
τ∈ℜ \tau \in \Re

a) Calcular la P(|X(3)|>1)
b)Determinar la matriz de covarianzas de la variable aleatoria tridimensional [X(0),X(1),X(3)]
c) La autocorrelación del proceso estocástico
Y(t)=2X(t+2)+tY(t)=2X(t+2)+t
d) La función de densidad de la variable aleatoria
Z=X2(3) Z=X^2 (3)
d) SX(f) y Graficarla

Rúbrica: cada literal (10 puntos)

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2Eva_IIIT2012_T1 limite central

2da Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 1 (10 puntos). Un estudiante usa lápices cuya duración es de una semana cuya función de densidad de probabilidad es de tipo exponencial. Use el teorema del límite central para determinar el mínimo número de lápices que debería comprar al inicio del semestre (15 semanas) para tener una probabilidad de 0.97 de no quedarse sin lápices durante el semestre.

Q(x)=12π∫x∞e−t2/2dt Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
x Q(x) x Q(x)
0 5.00E-01 2.7 3.47E-03
0.1 4.60E-01 2.8 2.56E-03
0.2 4.21E-01 2.9 1.87E-03
0.3 3.82E-01 3.0 1.35E-03
0.4 3.45E-01 3.1 9.68E-04
0.5 3.09E-01 3.2 6.87E-04
0.6 2.74E-01 3.3 4.83E-04
0.7 2.42E-01 3.4 3.37E-04
0.8 2.12E-01 3.5 2.33E-04
0.9 1.84E-01 3.6 1.59E-04
1.0 1.59E-01 3.7 1.08E-04
1.1 1.36E-01 3.8 7.24E-05
1.2 1.15E-01 3.9 4.81E-05
1.3 9.68E-02 4.0 3.17E-05
1.4 8.08E-02 4.5 3.40E-06
1.5 6.68E-02 5.0 2.87E-07
1.6 5.48E-02 5.5 1.90E-08
1.7 4.46E-02 6.0 9.87E-10
1.8 3.59E-02 6.5 4.02E-11
1.9 2.87E-02 7.0 1.28E-12
2.0 2.28E-02 7.5 3.19E-14
2.1 1.79E-02 8.0 6.22E-16
2.2 1.39E-02 8.5 9.48E-18
2.3 1.07E-02 9.0 1.13E-19
2.4 8.20E-03 9.5 1.05E-21
2.5 6.21E-03 10.0 7.62E-24
2.6 4.66E-03
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1Eva_IIIT2012_T3 varianza covarianza

1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 3 (40 puntos). Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad de probabilidad dada por:

fXY(x,y)={Kx,0≤y≤2x<20,otro caso f_{XY}(x,y) = \begin{cases} Kx && , 0 \leq y \leq 2x <2 \\ 0 && ,\text{otro caso} \end{cases}

a) Graficar la región de fXY(x,y)

Determinar:

b) el valor de K para que sea una función densidad de probabilidad

c) P(Y>X│Y<1)

d) P(√X│Y=1,5)

e) E[XY]

f) Var[X]

g) FY(y)

Rúbrica: literal a (3 puntos), b,c,e,f (5 puntos), d (10 puntos), g (7 puntos)

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1Eva_IIIT2012_T2 funcion densidad

1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 2 (30 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

fX(x)={k(x+2),x∈(−2,0]−k(x−2),x∈(0,2]0,x∈(−∞,−2]∪(2,∞) f_X(x) = \begin{cases} k(x+2) && , x \in (-2,0] \\ -k(x-2) && , x \in (0,2] \\ 0 && , x \in (-\infty,-2]\cup(2,\infty) \end{cases}

a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/4

b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

i. La función de distribución de probabilidad de Y
ii. La función de densidad de probabilidad de Y


Rúbrica: literal a 10 puntos, literal b, 10 puntos cada parte.

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1Eva_IIIT2012_T1 Marginales discretas

1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 1 (30 puntos). Dos líneas de producción fabrican transmisores.Supóngase que la capacidad es de 5 transmisores para la línea I y de 3 transmisores para la línea II.

Sea X,Y la representación de la variable aleatoria bidimensional que da el número de transmisores producidos por la línea I y por la línea II:

X \ Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
1 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08
2 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06
3 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05

a) Determinar la probabilidad del suceso: la línea I produce más transmisores que la línea II

b) Hallar las distribuciones marginales, fX(x) y fY(y)

c) Calcular P(X=3) y P(Y=1)

d) Calcular E(X) y E(Y)

e) Calcular P(X=2|Y=2)

Rúbrica: cada literal 6 puntos

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1Eva_IIT2012_T3 Bivariadas marginales

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 3 (40 puntos). Sean las variables aleatorias X y Y con función de densidad conjunta :

fXY(x,y)=k∗y(1−x−y) f_{XY}(x,y) = k*y(1-x-y)

Si (x,y) pertenece al recinto limitado por las rectas x + y = 1; x = 0; y = 0.

a) Calcular el valor de k
b) Calcular la función de distribución de la variable aleatoria bidimensional F(x,y)
c) Calcular las funciones de densidad marginales

Nota: literal a y c (10 puntos), literal b (20 puntos)

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1Eva_IIT2012_T2 funcion densidad y acumulada

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 2 (40 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

FX(x)=2∗{0.5x+0.5,x∈(−1,0]−0.5x+0.5,x∈(0,1]0,x∈(−∞,1]∪(1,∞) F_{X}(x) = 2 * \begin{cases} 0.5x + 0.5 && , x \in (-1,0] \\ -0.5x + 0.5 && , x \in (0,1] \\ 0 && , x \in (-\infty , 1] \cup (1, \infty) \end{cases}

a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/5

b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

b.1 La función de distribución de probabilidad de Y

b.2 La función de densidad de probabilidad de Y

Nota: literal a (10 puntos), literal b.1 y b.2 (15 puntos) cada uno

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1Eva_IIT2012_T1 Transmision binaria errores

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 1 (20 puntos). Una fuente binaria emite de manera equiprobable e independientemente un bloque de tres dígitos (0 o 1) cada segundo.

De cada bloque se envía a  un canal de transmisión un cero si en el bloque hay más ceros que unos y un uno en caso contrario.

El canal transmite el digito con una probabilidad de error p, y el receptor reconstruye la terna, repitiendo tres veces el digito que se ha recibido.

Determine:

a) ¿Cuál es el número de bits erróneos por bloque? (10 puntos).

b) ¿Cuál debería ser la probabilidad p, para que este valor medio no fuese mayor que 1? (10 puntos).

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3Eva_IIT2012_T3 autocorrelación

3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

Tema 3 (25 puntos). Sea X(t) un proceso estocástico normal y estacionario, con autocorrelación:

RX=11+τ2+1 R_{X} = \frac{1}{1+\tau ^2} +1

Determinar:

a) P(|X(2)| ≤ 2)

b) La matriz de covarianzas de la variable aleatoria tridimensional [X(0), X(1), X(3)]

c) La función de densidad de la variable aleatoria Z=X2(2)

d) La autocorrelación del proceso estocástico Y(t)=4*X(t+1)+t

Rúbrica:  literal a (4 puntos), literal b (6 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)