ESTG1003 – FCNM – ESPOL
Tema 4 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación:
a) Calcule la potencia promedio de X(t)
b) Determine la funcion de autocorrelación RY(t, t+τ)
c) Determine la densidad espectral de potencia Y(t)
Pares de transformadas de Fourier
Tema 3 (20 puntos). Se define un proceso estocástico:
donde A y B son variables aleatorias gausianas independientes e identicamente distribuidas (iid) con valores esperados iguales a cero y varianza σ2 .
Determine si X(t) es estacionario en el sentido amplio. Demuestre explícitamente su respuesta.
Tema 2 (30 puntos). Asuma que X(t) = At +B es un proceso estocástico.
A y B son variables aleatorias independientes que tienen ambas la misma función de densidad uniforme en [-1,1].
Determine:
a) El valor esperado E[X(t)] y autocorrelación RX(t,t+τ)
b) la función de densidad fX(x) de la variable aleatoria de X(1)
c) ¿Existe un valor de t1 y t2 para los cuales X(t1) y X(t2) son variables aleatorias independientes? demuestre su respuesta
Tema 1 (20 puntos). En un proceso de entrega de paquetes, se cometen errores en la entrega con una probabilidad de 0.15.
Use el terorema del límite central para determinar la probabilidad de que existan 20 o menos errores en 100 entregas
| x | Q(x) | x | Q(x) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 5.00E-01 | 2.7 | 3.47E-03 | |
| 0.1 | 4.60E-01 | 2.8 | 2.56E-03 | |
| 0.2 | 4.21E-01 | 2.9 | 1.87E-03 | |
| 0.3 | 3.82E-01 | 3.0 | 1.35E-03 | |
| 0.4 | 3.45E-01 | 3.1 | 9.68E-04 | |
| 0.5 | 3.09E-01 | 3.2 | 6.87E-04 | |
| 0.6 | 2.74E-01 | 3.3 | 4.83E-04 | |
| 0.7 | 2.42E-01 | 3.4 | 3.37E-04 | |
| 0.8 | 2.12E-01 | 3.5 | 2.33E-04 | |
| 0.9 | 1.84E-01 | 3.6 | 1.59E-04 | |
| 1.0 | 1.59E-01 | 3.7 | 1.08E-04 | |
| 1.1 | 1.36E-01 | 3.8 | 7.24E-05 | |
| 1.2 | 1.15E-01 | 3.9 | 4.81E-05 | |
| 1.3 | 9.68E-02 | 4.0 | 3.17E-05 | |
| 1.4 | 8.08E-02 | 4.5 | 3.40E-06 | |
| 1.5 | 6.68E-02 | 5.0 | 2.87E-07 | |
| 1.6 | 5.48E-02 | 5.5 | 1.90E-08 | |
| 1.7 | 4.46E-02 | 6.0 | 9.87E-10 | |
| 1.8 | 3.59E-02 | 6.5 | 4.02E-11 | |
| 1.9 | 2.87E-02 | 7.0 | 1.28E-12 | |
| 2.0 | 2.28E-02 | 7.5 | 3.19E-14 | |
| 2.1 | 1.79E-02 | 8.0 | 6.22E-16 | |
| 2.2 | 1.39E-02 | 8.5 | 9.48E-18 | |
| 2.3 | 1.07E-02 | 9.0 | 1.13E-19 | |
| 2.4 | 8.20E-03 | 9.5 | 1.05E-21 | |
| 2.5 | 6.21E-03 | 10.0 | 7.62E-24 | |
| 2.6 | 4.66E-03 |
Tema 4 (25 puntos). Sean dos variables aleatorias X, Y independientes entre si con distribución gausiana con parámetros
E[X] = 2
Var[X] = 2
E[Y] = 0
Var[Y] = 1
Se define la variable Z=X+Y.
Determine la función de densidad de probabilidad fZ(z).
Tema 3 (25 puntos) En una rifa se sacan números aleatorios de dos tómbolas separadas, donde los números posibles de cada tómbola son:
Sea i el número que se obtiene en la tómbola A y k el de la tómbola B.
Si se definen las variables aleatorias X=|i-k| y Y=i+k, determine
a) P[X ≤ 2]
b) Dibuje la fY(Y |x=1)
c) Var(X |y=0)
d) Cov(X, Y)
Tema 2 (25 puntos). La función densidad conjunta de dos variables aleatorias está dada por:
determinar:
a) P[y ≥ x/2]
b) E[Y|x=3]
Tema 1 (25 puntos). Dado FX(x) en la figura y Y=X2, determine:
a) P(x=1) y P(x≤-0.5)
b) Dibuje FY(y)
c) el valor esperado E[Y]
Tema 3 (30 puntos). Dada la siguiente función de Autocorrelación Rx(ζ) del proceso estocástico X(t) que es WSS.
a) (15 puntos) Encuentre Var[X(t)]
b) (15 puntos) Sx(w) ( o Sx(f))
Transformadas de Fourier
Tema 2 (35 puntos). Sean A y Θ variables aleatorias independientes, A con distribución exponencial de media 1, y Θ con distribución uniforme en el intervalo (0, π/2), es decir las funciones de densidad de A y B son respectivamente:
Sea X(t) un proceso estocástico definido por:
Calcular:
a) La media y la autocorrelación del proceso X(t).¿Es el proceso estacionario en sentido amplio?
b) La varianza de X(t) y la covarianza entre X(1) y X(2).
c) La función de densidad de probabilidad para X(0)
cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sen(a) sen(b)
Rúbrica: literal a (10 puntos, literal b (10 puntos), literal c (15 puntos)