Categoría: Funciones Conjuntas y Marginales

Referencia: León-García 5.17 p 253

Ejemplo

Encuentre P[ X + Y ≤ 1] de la funcion en el ejemplo 5.16 mostrada a continuación :

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} & , 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}$

Solución

La la región para integración es [ X + Y ≤ 1] donde la pdf no es cero. Se obtine la probabilidad del evento al añadir(integrar) rectángulos infinitesimales de ancho dy como se indica en la figura:

$X + Y \leq 1$ $Y \leq 1 - X$ $P[ X + Y \leq 1] = \int_{0}^{1/2} \int_{y}^{1-y} 2 e^{-x} e^{-y} dx dy$ $= \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \int_{y}^{1-y} e^{-x} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \left. [-e^{-x}] \right|_{y}^{1-y} dy =$ $= \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} [-e^{-(1-y)}-(-e^{-y})] dy = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-y-(1-y)}] dy =$ $= \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-1}] dy = \left. \left[ 2\frac{e^{-2y}}{-2} - 2 e^{-1}y\right] \right|t_{0}^{1/2} =$ $= [ - e^{-2 (1/2)} - 2 e^{-1} (1/2) ] - [ -e^{0}-0] = -e^{-1}-e^{-1} +1$ $P[ X + Y \leq 1] = 1- 2e^{-1} = 0.26424111765711533$

que limita la figura que genera la función a:

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Instrucciones en Python

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m = np.shape(X)
    Z = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c = 2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x = X[i,j]
            y = Y[i,j]
            if (y>=0 and y<=x and (x + y)<=1):
                z = c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j] = z
    return(Z)

# PROGRAMA
# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 1.5
ya = 0
yb = 1.5
#muestras por eje
nx = 200
ny = 200

# PROCEDIMIENTO
# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
# Evalua la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=float)
    ysuperior = np.zeros(n,dtype=float)
    for i in range(0,n,1):
        x = X[i]
        if (x<0.5):
            y = x
        if (x>=0.5):
            y = 1 - x
        ysuperior[i] = y
    
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior , ysuperior = arealimite(x) 

# SALIDA GRAFICAS
figura1 = plt.figure(1)
plt.plot(x,yinferior)
plt.plot(x,ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior,
                 where= (ysuperior>=yinferior))
plt.xlabel('x')

# SALIDA
figura2 = plt.figure(2)
grafica2 = figura2.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica2.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

Referencia: León García Ejercicio 5.16 pag 252

Ejemplo

Encuentre la constante c de normalización y las pdf marginales de la siguiente función:

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} &, 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}$

Solución

la función es válida en la región mostrada:

La constante c se encuentra cumpliendo la condición de normalización:

$1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} c e^{-x} e^{-y} dy dx =$ $= \int_{0}^{\infty} c e^{-x} (1-e^{-x}) dx = \frac{c}{2}$ $1 = \frac{c}{2}$ $c = 2$

Determinar las marginales, conociendo que c=2:

$f_X (x) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy =$ $= \int_{0}^{x} 2 e^{-x} e^{-y} dy = 2 e^{-x} \int_{0}^{x} e^{-y} dy =$ $= 2 e^{-x} \left. \left[ - e^{-y} \right]\right|_{0}^{x} = 2 e^{-x} \left[ -e^{-x}-(-e^{0}) \right] =$ $f_X (x) = 2 e^{-x} (1- e^{-x})$ $0\leq x < \infty$

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$f_Y (y) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx =$ $= \int_{y}^{\infty} 2 e^{-x} e^{-y} dx = 2 e^{-y} \int_{y}^{\infty} e^{-x} dx =$ $= 2 e^{-y} \left. \left[ - e^{-x} \right]\right|_{y}^{\infty} = 2 e^{-y} \left[-e^{-\infty}-(-e^{-y})\right] =$ $= 2 e^{-y} 2 e^{-y}$ $f_Y (y) = 2 e^{-2y}$ $0\leq y < \infty$

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Tarea: Verificar que las funciones marginales cumplen que el integral es 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m =np.shape(X)
    Z=np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c=2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x=X[i,j]
            y=Y[i,j]
            
            if (y>=0 and y<=x):
                z=c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j]=z
    return(Z)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 4
ya = 0
yb = 4
# muestras por eje
nx = 500
ny = 500

# PROCEDIMIENTO

# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)

# Evalúa la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# SALIDA
figura  = plt.figure(1)
grafica = figura.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=int)
    ysuperior = X
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior, ysuperior = arealimite(x)

# SALIDA
plt.plot(x, yinferior)
plt.plot(x, ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior, where=(ysuperior>=yinferior))
plt.show()

# Forma de las marginales
def marginalx(x):
    fx = 2*np.exp(-x)*(1-np.exp(-x))
    return(fx)

# PROCEDIMIENTO
deltax = (xb-xa)/nx
fx = marginalx(x)
Fx = np.cumsum(fx*deltax)
integrax = np.sum(fx*deltax)

# SALIDA
plt.plot(x,fx, label='f(x)')
plt.plot(x,Fx, label='F(x)')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

# Forma de las marginales
def marginaly(y):
    fy = 2*np.exp(-2*y)
    return(fy)

# PROCEDIMIENTO
deltay = (yb-ya)/ny
fy = marginaly(y)
Fy = np.cumsum(fy*deltay)
integray = np.sum(fy*deltay)

# SALIDA
print(' El integral sobre el area es: ', integray)

plt.plot(y,fy, label='f(y)')
plt.plot(y,Fy, label='F(y)')
plt.xlabel('y')
plt.legend()
plt.show()

Referencia: León-García 5.2.1 p241, Gubner 7.2 p295, Ross 2.5.1 p.44

Pares de variables aleatorias

Muchos experimentos involucran varias variables aleatorias, pues miden diferentes valores del experimento, por ejemplo:

• Medir el voltaje de un circuito en varios puntos para un tiempo dado
• Medir repetidamente el voltaje de un circuito en un punto para varios tiempos.

Para más de una variable se usa:

• la función de densidad conjunta, función de distribución acumulada conjunta, y función de densidad de los eventos que tienen un comportamiento conjunto en dos variables aleatorias.
• El valor esperado
• para determinar cuando dos variables son independientes y cuantificar su grado de correlación cuando no son independientes
• para obtener probabilidades condicionales que involucran un par de variables aleatorias.

Se define para dos variables aleatorias X y Y la función conjunta de distribución de probabilidades acumuladas por:

$F(a,b) = P(X \leq a, Y \leq b )$ $-\infty<a, b<\infty$

la distribución:

$F_X(a) = P(X \leq a) = P(X \leq a, Y<\infty ) =$ $= F(a,\infty)$

y de forma similar:

$F_Y(b) = P(Y \leq b) = P(X<\infty, Y \leq b) =$ $= F(\infty, b)$

En el caso que X y Y sean variables aleatorias discretas, se define las funcion conjunta de probabilidad de masa como:

$p(x,y) = P(X=x,Y=y)$ $p_X (x)= \sum_{y:p(x,y)>0} p(x,y)$ $p_Y (y)= \sum_{x:p(x,y)>0} p(x,y)$

En el caso que X y Y sean variables aleatorias contínuas:

$P(X \in A, Y \in B) = \int_B \int_A f(x,y) \delta x \delta y$

donde la función densidad de probabilidad para X se puede obtener conociendo que f(x,y) tienen que:

$P(X \in A) = P(X \in A, Y \in (-\infty,\infty))$ $= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{A} f(x,y) \delta x \delta y$ $= \int_{A} f_X(x) \delta x$

donde

$f_X (x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta y$

de forma similar para el caso de Y:

$f_Y (y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta x$

se debe cumplir que:

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y =1$

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Ejemplo Gubner 7.9 p296.

Muestre que:

$f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2}$

es una función densidad conjunta de probabilidad válida

solución:

dado que f_XY es positiva, se debe mostrar que el integral es 1.

$f_{XY}(x,y) = \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}$

haciendo el doble integral:

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y =$ $= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2} \delta x \delta y$ $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}\big( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \delta y\big) \delta x$

el integral interior está en función de y, y es una densidad normal con media y varianza uno. Por lo que el integral interior es uno.
El integral exterior es una Normal con media cero y varianza 1, lo que también integra a 1.

Por lo que el integral resulta en 1 y cumple con que sea positivo y resulte 1 para ser una función densidad conjunta de probabilidad.

Referencia: Gubner 7.1 p 287, León García 5.2 p234, Ross 2.5 p44

Probabilidades conjuntas y marginales

• Un canal telefónico con una señal X presenta un ruido aditivo Y: X+Y
• En un canal inalámbrico la señal X es afectada por un desvanecimiento o ruido multiplicativo: XY
• Si X y Y son las tasas de tráfico de dos routers en un proveedor de Internet, se busca mantener la tasas en valores menores a la capacidad del router : max(X,Y)≤μ
• Sean X y Y los voltajes de un sensor, y se quiere activar una alarma si al menos uno de los voltajes cae por debajo del umbral v: min(X,Y)≤v

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Pares de variables aleatorias discretas

Ejemplo:

León-García 5.5. Un switch de datos, tiene dos puertos de entrada y dos puertos de salida. En cualquier instante de tiempo, un paquete llega a cada puerto con probabilidad de 1/2, lo que es equitativamente probable que sea enviado por el puerto 1 o 2.

Sea X y Y los números de paquetes destinados para salir por los puertos 1 y 2, respectivamente. Encuentre la pmf de X y Y, mostrando la pmf de forma gráfica.

Solución: La salida I_j para una un puerto de entrada j, puede tomar los siguientes valores:

• • «n», que no llegue un paquete al puerto de entrada. probabilidad de 1/2
  • «a1», llega un paquete con destino de salida puerto 1. con probabilidad de 1/4
  • «a2». llega un paquete con destino de salida puerto 2. con probabilidad de 1/4

El espacio muestral S relacionado, consiste de los resultados en pareja de entrada ζ =(I₁, I₂), El mapeo para cada (X,Y) se muestra en la tabla siguiente:

ζ	X,Y
(n,n)	(0,0)
(n,a1)	(1,0)
(n,a2)	(0,1)
(a1,n)	(1,0)
(a1,a1)	(2,0)
(a2,a2)	(1,1)
(a2,n)	(0,1)
(a2,a1)	(1,1)
(a2,a2)	(0,2)

la pmf de (X,Y) es entonces:
p_X,Y (0,0) = P[ζ = (n,n)] = 1/2*1/2 = 1/4
p_X,Y (0,1) = P[ζ ∈ {(n,a2), (a2,n)}] = 2*1/8 = 1/4

las gráficas de las cdf son: