Categoría: Funciones Densidad y Acumulada

QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying)

Este esquema de modulación es conocido también como Quaternary PSK (PSK Cuaternaria), Quadriphase PSK (PSK Cuadrafásica).

Esta modulación digital es representada en el diagrama de constelación por cuatro puntos equidistantes del origen de coordenadas.

Con cuatro fases, QPSK puede codificar dos bits por cada símbolo.

Respecto a un ancho de banda predeterminado, la ventaja de QPSK sobre BPSK está que con el primero se transmite el doble de la velocidad de datos en un ancho de banda determinado en comparación con BPSK, usando la misma tasa de error.

En el caso de la canción procesada en BPSK, se cargan una cantidad de datos que se pueden procesar con la mitad de símbolos, enviando la información por pares.

La pmf del proceso QPSK será:

Resultados del algoritmo:

datos cargados:  8595119
símbolos procesados:  4297559
[[ 539083       0 1580668]
 [      1       0       0]
 [1638724       0  539083]]
pmf[x,y]
[[  1.25439348e-01   0.00000000e+00   3.67806003e-01]
 [  2.32690232e-07   0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [  3.81315067e-01   0.00000000e+00   1.25439348e-01]]
>>> 

Instrucciones en Python

# Modulacion digital QPSK - pmf
# propuesta:edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# archivo = input('archivo de delta-sigma:' )
narchivo = 'elaguacate_deltasigma_datos.txt'
senal = np.loadtxt(narchivo,dtype=int)

# PROCEDIMIENTO
n = len(senal)

simbolos = [-1,0,1]
m = len(simbolos)

# Codificar de 2 en dos
agrupar = 2
cuenta  = np.zeros(shape=(m,m), dtype=int)
nmax = (n//agrupar)*agrupar
for i in range(0,nmax,agrupar):
    a = senal[i]
    b = senal[i+1]
    f = simbolos.index(a)
    c = simbolos.index(b)
    cuenta[f,c] = cuenta[f,c]+1

k = np.sum(cuenta)
pxy = cuenta/k

# SALIDA
print('datos cargados: ', n)
print('símbolos procesados: ', k)
print(cuenta)
print('pmf[x,y]')
print(pxy)


# Gráfica:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

xpos, ypos = np.meshgrid(simbolos,simbolos)
xpos = xpos.flatten('F')

ypos = ypos.flatten('F')
zpos = np.zeros_like(xpos)
dx = 0.8 * np.ones_like(zpos)
dy = dx.copy()
dz = pxy.flatten()
ax.bar3d(xpos, ypos, zpos, dx, dy, dz, color='b', zsort='average')
plt.show()

Tarea: Obtener las pmf marginales del ejercicio.

La modulación por desplazamiento de fase o PSK (Phase Shift Keying) es una forma de modulación angular en que se modifica la fase de la portadora acorde a valores discretos.

BPSK (PSK Binario)

La modulación consiste en el desplazamiento de fase para 2 símbolos.
También conocida como 2-PSK o PRK (Phase Reversal Keying).

Es la modulación más sencilla por  emplear solo 2 símbolos, con 1 bit de información cada uno.

Los símbolos suelen tener un valor de salto de fase de 0º para el 1 y 180º para el 0 (-1), como se muestra en un diagrama de constelación.

En cambio, su velocidad de transmisión es la más baja de las modulaciones de fase.

BPSK – pmf

La pmf de BPSK muestra el uso de cada símbolo durante una transmisión. Por ejemplo: de un ejercicio previo se codificó a Sigma-Delta una canción teniendo como resultado:

elaguacate_deltasigma_datos.txt

elaguacate_deltasigma_parametros.txt

resultado del algoritmo:

cantidad de símbolos:  8595119
cuenta de símbolos: [4297559       1 4297559]
pmf de símbolos:  [  4.99999942e-01   1.16345102e-07   4.99999942e-01]
>>> 

Instrucciones en Python

# PMF de una señal Sigma-Delta
# propuesta:edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO 
# archivo = input('archivo delta-sigma:' )
archivo = 'elaguacate_deltasigma_datos.txt'
senal = np.loadtxt(archivo, dtype=int)

# PROCEDIMIENTO
n = len(senal)
simbolos = [-1,0,1]
m = len(simbolos)
cuenta = np.zeros(m, dtype=int)
for i in range(0,n,1):
    bit = senal[i]
    cual = simbolos.index(bit)
    cuenta[cual] = cuenta[cual]+1
pmf = cuenta/n

# SALIDA
print('cantidad de símbolos: ', n)
print('cuenta de símbolos:', cuenta)
print('pmf de símbolos: ', pmf)

# Gráfica
plt.stem(simbolos,pmf)
plt.title('pmf sigma-delta')
plt.xlabel('símbolos')
plt.ylabel('frecuencia relativa')
plt.show()

Sea X una variable aleatoria y sea g(x) una función de valor real definida en el eje real.

Defina Y= g(X), esto es. Y está determinada por la evaluación de la función en g(x) en el valor que ha tomado la variable aleatoria X.  Entonces Y también es una variable aleatoria.

Las probabilidades de los valores para Y dependen de la función g(x) así como la función distribución acumulada de X.

Considere una función no lineal Y=g(X) como la que se muestra en la figura.

donde |dy| es la longitud del intervalo y < Y ≤ (y+dy).
De forma similar, la probabilidad que el evento en cada intervalo es aproximadamente

$f_Y(y)=\left.\sum_{k} \frac{f_X(x)}{|dy/dx|} \right|_{x=x_k}$ $=\left.\sum_{k} f_X(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \right|_{x=x_k}$

---

Ejemplo: León García 4.30 p.176

Sea X el valor de las muestras de voltaje de una señal de voz, y suponga que X tiene una distribución uniforme en el intervalo [-4d,4d].

Sea Y = q(X), donde la función característica de entrada-salida de un cuantizador (convertidor analógico-digital) se muetra en la figura. Encuentre la función de probabilidad de masa para Y.

Solución: El evento {Y=q} para q en S_Y es equivalente al evento {X en I_q}, donde Iq es un intervalo de puntos equivalentes mapeados en representación al punto q. La pmf de Y se encuentra evaluando:
$P[Y=q] = \int_{I_q} f_X(t) dt$

Lo que permite ver fácilmente que la representación de un punto tiene un intervalo de longitud d mappeado en él. Entonces existirán ocho posibles salidas equiprobables, es decir, P[Y=q] = 1/8 para q en S_Y–

Referencia: Leon W Couch 4-2 p234, «El Aguacate» introducción

Modulación en Amplitud (AM)

La modulación es el proceso de codificación de la información fuente, sonido o moduladora, dentro de una señal pasabanda s(t), resultande o modulada. La señal modulada se obtiene de:

$senal(t) = A_c[1+moduladora(t)] cos(\omega_c t)$ $s(t) = A_c[1+m(t)] cos(\omega_c t)$

donde:

$\omega_c = 2\pi f_c$

f_c es la frecuencia de la portadora o «carrier».
A_c es la amplitud de la portadora.

Como ejemplo, si se quiere enviar una señal de sonido obtenida de un archivo.wav modulada en Amplitud, la señal m(t) será:

muestra_GuitarraCuerda.wav

Instrucciones en Python

# pmf de un sonido
# entrada es archivo01
# propuesta:edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.io.wavfile as waves
import scipy.stats as stats

# INGRESO 
# archivo01 = input('archivo de sonido 01: ' )
# k = int(input('muestras para ejemplo: '))
archivo01 = 'muestra_GuitarraCuerda.wav'
k = 500

# PROCEDIMIENTO
muestreo, sonido01 = waves.read(archivo01)

# Extrae un canal en caso de estéreo
canales = sonido01.shape
cuantos = len(canales)
canal = 0   
if (cuantos==1): # Monofónico
    uncanal = sonido01[:]  
if (cuantos>=2): # Estéreo
    uncanal = sonido01[:,canal]
    
moduladora = uncanal[0:k].astype(float)
dt = 1/muestreo
t  = np.arange(0,k*dt,dt)

# SALIDA GRAFICA
plt.plot(t,moduladora)
plt.title(' Moduladora m(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.plot()
plt.show()

Para el ejemplo, la señal de la portadora presentada tiene frecuencia de 5500 para que se pueda visualizar el efecto.
(Revisar frecuencias de portadoras AM estándares o ver el dial de un radio AM).

# Portadora:
fc = 5500
portadora = np.cos(2*np.pi*fc*t)

# SALIDA GRAFICA
plt.plot(t,portadora, color='orange')
plt.title(' Portadora')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.plot()
plt.show()

Antes de aplicar la moduladora, se la normaliza para mantener la proporción en la gráfica

# normalizar y subir a positiva
moduladoranorm = moduladora/np.max(moduladora)
moduladora = (1+ moduladoranorm)

# Modular portadora
Ac = 1
modulada = Ac*moduladora*portadora

# SALIDA GRAFICA
plt.plot(t,moduladora,label='moduladora')
plt.plot(t,modulada,label='modulada')
plt.title(' Señal modulada S(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.legend()
plt.show()

Referencia: Ross 2.33 p89

Ejercicio

Sea X una variable aleatoria con densidad de probabilidad:

$f(x)= \begin{cases} c(1-x^2)&, -1<x<1 \\ 0 &, \text{en otro caso} \end{cases}$

a) ¿Cuál es el valor de c? que permite hacer la función una pdf.

b) ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?

Solución

a)Solo es válido en el rango [-1,1], por lo que el integral es:

$1 = \int_{-1}^{1} c(1-x^2) dx = c \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx$ $= c \int_{-1}^{1}dx - c \int_{-1}^{1}x^2 dx = c \left. x \right|_{-1}^{1} - c \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{1}$ $= c[1-(-1)] - c\frac{1^3-(-1^3)}{3} = 2c -\frac{2c}{3}$ $1 = \frac{4c}{3}$ $c=\frac{3}{4}$

Solución

b)La función es la integral hasta x:

$F(y) = \frac{3}{4} \int_{-1}^{y} (1-x^2) dx = \frac{3}{4} \left. \left[ x - \frac{x^3}{3} \right] \right|_{-1}^{y} =$ $= \frac{3}{4}\left[(y+1) - \left( \frac{y^3}{3} + \frac{1}{3} \right) \right] =$ $F(y) = \frac{3}{4} \left[ y+\frac{2}{3} - \frac{y^3}{3} \right], 1<y<1$

---

Instrucciones en Python

usando el resultado anterior:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def fxdensidad(X):
    n = len(X)
    Y = np.zeros(n,dtype=float)
    
    c = 3/4
    for i in range(0,n,1):
        x = X[i]
        if (x>=-1 and x<=1):
            y = c*(1-x**2)
            Y[i] = y
    return(Y)

# INGRESO
# rango [a,b] y muestras
a = -1
b = 1
m = 100

# PROCEDIMIENTO
deltax = (b-a)/m
x  = np.linspace(a,b,m)
fx = fxdensidad(x)

# Función de distribución acumulada
Fy = np.cumsum(fx)*deltax

# SALIDA Gráfico
plt.plot(x,fx,label='pdf')
plt.plot(x,Fy,label='cdf')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

# Verificando resultado del integral vs la suma acumulada
def Fxacumulada(X):
    n = len(X)
    Y = np.zeros(n,dtype=float)
    c = 3/4
    for i in range(0,n,1):
        x=X[i]
        if (x>=-1 and x<=1):
            y=c*(x+ 2/3 -(x**3)/3)
            Y[i]=y
    return(Y)

# PROCEDIMIENTO
Fycalc = Fxacumulada(x)

# SALIDA Gráfico
plt.plot(x,fx,label='pdf')
plt.plot(x,Fy,label='cdf')
plt.plot(x,Fycalc,label='calculada')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

Referencia: Ejemplo León-García 4.36 p180

Sea Y=cos(X), y supondremos que X es uniformemente distribuida en el intervalo de (0, 2π]. Y puede ser vista como una muestra de una señal sinusoidal a un instante aleatorio de tiempo que esta uniformemente distribuida en el periodo de la sinusoide.

Para encontrar la pdf, se tiene que la variable -1< y < 1

$f_Y(y)=\left.\sum_{k} \frac{f_X(x)}{|dy/dx|} \right|_{x=x_k}$

La función f_X(x) es uniforme, por lo que el área del integral en el intervalo debe ser 1, es decir:

$\int_{0}^{2\pi}c dx=1$ $=(2\pi-0)*c= 2\pi c = 1$ $c=\frac{1}{2\pi}$ $f_X(x) = \frac{1}{2\pi}$

De la figura se encuentra que la ecuación tiene dos puntos de intersección o dos soluciones:

$x_0 = \cos ^{-1}(y)$ $x_1 = 2\pi- x_0$

por lo que se evalúa la derivada en cada punto de intersección:

$\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_0}= -sin(x_0) = - sin(cos^{-1}(y))$ $\alpha = \cos^{-1}(x)$ $\sin(\alpha) = y$ $x^2 + y^2 =1$ $x = \sqrt{1-y^2}$ $\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_0}= -\sqrt{1-y^2}$ $\left.\frac{dy}{dx} \right|_{x_1}= -\sqrt{1-y^2}$

dado que y₀ = y₁ = y

Aplicando la ecuación primera:

$f_Y(y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{1-y^2}} + \frac{1}{2\pi \sqrt{1-y^2}}$ $= \frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}$ $-1 < y < 1$

Gráfica del resultado

# pdf de una señal senoidal
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# INGRESO
# n=int(input('numero de muestras: '))
n = 200

# PROCEDIMIENTO
t  = np.linspace(-1,1,n)
fy = np.zeros(n,dtype=float)
# Evaluar denominador no cero
for i in range(0,n,1):
    denominador = 1-t[i]**2
    if (denominador!=0):
        fy[i] = 1/(np.pi*np.sqrt(1-t[i]**2))
dt = t[1]-t[0]
Fy = np.cumsum(fy)*dt

# SALIDA
plt.plot(t,fy,label='pdf')
plt.plot(t,Fy,label='cdf')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

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Cálculo con un método numérico

Señal Coseno(x), pmf, cdf

Se obtiene barriendo una ventana horizontal estrecha de Δx voltios de ancho, verticalmente a lo largo de las formas de onda y después midiendo la frecuencia relativa de la ocurrencia de voltajes en la ventana Δx.

El eje de tiempo se divide en n intervalos y la forma de onda aparece nΔx veces dentro de estos intervalos en la ventana Δx.

Para observar lo indicado usando python, se presenta el siguiente grupo de instrucciones:

Genera la señal

En un intervalo [a,b] de tiempo, con n muestras en el intervalo y una señal coseno(x) con frecuencia fs Hz.

# Pmf de una senal periódica conocida
# definir la señal en la sección senal_t
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

def senal_t(t, fs):
    m = len(t)
    y = np.zeros(m, dtype=float)
    for i in range(0,m,1):
        y[i] = np.cos(2 * np.pi * fs * t[i])
    return(y)

# INGRESO
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
tramos = 2000

# PROCEDIMIENTO
muestreo = tramos+1
t = np.linspace(a, b, muestreo)
senal = senal_t(t, fs)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title(' Señal sen(x)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Se divide el rango de valores posibles de la señal en m intervalos.

Para simplificar el conteo de valores por rango se usa la función scypy.stats.relfreq, que cuenta en m intervalos entre el rango de la señal, dando como resultado las frecuencias relativas a intervalos Δx.
$\sum_{i=0}^{N} p_i(x)=1$

Si se considera aproximar la función a contínua para observación, será necesario compensar el vector de relativas al dividir por Δx pues el conteo relativo depende del número de divisiones m.

# Pmf de una senal periódica conocida
# definir la señal en la sección senal_t
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

def senal_t(t, fs):
    m = len(t)
    y = np.zeros(m, dtype=float)
    for i in range(0,m,1):
        y[i] = np.cos(2 * np.pi * fs * t[i])
    return(y)

# INGRESO
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
tramos = 2000

# PROCEDIMIENTO
muestreo = tramos+1
t = np.linspace(a, b, muestreo)
senal = senal_t(t, fs)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title(' Señal sen(x)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

# Función de Probabilidad de Masa, PMF
m = 50  # intervalos en análisis

#PROCEDIMIENTO
relativa = stats.relfreq(senal, numbins = m )
deltax = relativa.binsize
# considerando el deltax, para valor de PMF
relcontinua=relativa.frequency/deltax

# Eje de frecuencias, por cada deltax
senalmin = np.min(senal)
senalmax = np.max(senal)
senalrango = np.linspace(senalmin,senalmax,m)

# SALIDA
print('frecuencia relativa:')
print(relativa.frequency)
print('Rango de Señal')
print(senalrango)
print('Aproximación a contínua')
print(relcontinua)

# SALIDA Grafico de PMF
plt.subplot(211)
plt.bar(senalrango,relativa.frequency, width=deltax*0.8)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('PMF')

plt.subplot(212)
plt.plot(senalrango,relcontinua)
plt.ylim(ymin=0,ymax=np.max(relcontinua))
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('Aproximación a PDF')
plt.show()

frecuencia relativa:
[ 0.045  0.034  0.023  0.018  0.017  0.014  0.014  0.012  0.012  0.011   0.011  0.01   0.01   0.01   0.009  0.009  0.009  0.008  0.008  0.009  0.008  0.007  0.008  0.008  0.007  0.008  0.007  0.007  0.007  0.007 
 ... 
0.008  0.007  0.008  0.008  0.008  0.008  0.008  0.009  0.009  0.009  0.009  0.009  0.01   0.01   0.011  0.011  0.012  0.013  0.013  0.015  0.016  0.019  0.023  0.033  0.046]
Rango de Señal
[-0.99999877 -0.97979676 -0.95959475 -0.93939274 -0.91919073 -0.89898873 -0.87878672 -0.85858471 -0.8383827  -0.8181807  -0.79797869 -0.77777668 -0.75757467 -0.73737266 -0.71717066 -0.69696865 -0.67676664 -0.65656463 
...
0.63636386  0.65656587  0.67676788  0.69696988  0.71717189  0.7373739   0.75757591  0.77777791  0.79797992  0.81818193  0.83838394  0.85858595  0.87878795  0.89898996  0.91919197  0.93939398  0.95959598  0.97979799  1.        ]
Aproximación a contínua
[ 2.22750138  1.68300104  1.1385007   0.89100055  0.84150052  0.69300043  0.69300043  0.59400037  0.59400037  0.54450034  0.54450034  0.49500031  0.49500031  0.49500031  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.39600024  
...
0.39600024  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.44550028  0.49500031  0.49500031  0.54450034  0.54450034  0.59400037  0.6435004   0.6435004   0.74250046  0.79200049  0.94050058  1.1385007   1.63350101  2.27700141]

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Considere el caso discreto, solo es necesario ir acumulando los valores de «relativa».

Al usar la aproximación a contínua, la sumatoria debe considerar el área bajo la curva, por lo que los valores se multiplican por Δx antes de acumular los valores de las frecuencias.

# Función distribución acumulada
acumulada=np.cumsum(relcontinua*deltax)

# Salida CDF
# plt.step(senalrango,relcontinua,label='pdf', where='post')
plt.step(senalrango,acumulada,label='cdf', where='post')
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.title(' Función de distribuión acumulada , CDF')
plt.legend()
plt.show()

---

Tarea: realice el ejercicio con otras señales periódicas.
Referencia: Leon W Couch apéndice B p675

Referencia: Leon W Couch apéndice B p675

Señal Triangular, pmf, cdf

Se obtiene barriendo una ventana estrecha de Δx voltios de ancho, verticalmente a lo largo de las formas de onda y después midiendo la frecuencia relativa de la ocurrencia de voltajes en la ventana Δx.

El eje de tiempo se divide en n intervalos y la forma de onda aparece nΔx veces dentro de estos intervalos en la ventana Δx.

Para observar lo indicado usando python, se presenta el siguiente grupo de instrucciones:

Generar la señal

En un intervalo [a,b] de tiempo, con n muestras en el intervalo y una señal triangular con frecuencia fs Hz.

Las librerías de señales de scipy tiene la señal diente de sierra, con parámetro de simetría que permite variar la forma del triángulo para ajustarlo a una señal simétrica como la del ejemplo.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.signal as signal
import scipy.stats as stats

# INGRESO
# Rango en tiempo de la señal y muestras
a = 0
b = 1
n = 2000
# Frecuencia de la señal en Hz
fs = 5

# PROCEDIMIENTO
# simetria de la señal triangular diente de sierra
simetria = 0.5
t = np.linspace(a, b, n)
senal = signal.sawtooth(2 * np.pi * fs * t, simetria)

# SALIDA
plt.plot(t,senal)
plt.title('Señal Triangular')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('señal')
plt.show()

Determinar la función de probabilidad de masa PMF

Se divide el rango de valores posibles de la señal en m intervalos.

Para simplificar el conteo de valores por rango se usa la función scipy.stats.relfreq, que cuenta en m intervalos entre el rango de la señal, dando como resultado las frecuencias relativas a intervalos Δx

$\sum_{i=0}^{N}p_i(x)=1$

Si se considera aproximar la función a contínua para observación, será necesario compensar el vector de relativas al dividir por Δx pues el conteo relativo depende del número de divisiones m.

# Función de Probabilidad de Masa, PMF
m = 20  # intervalos en análisis

#PROCEDIMIENTO
relativa = stats.relfreq(senal, numbins = m )
deltax   = relativa.binsize

# considerando el deltax, para valor de PMF
relcontinua = relativa.frequency/deltax

# Eje de frecuencias, por cada deltax
senalmin = np.min(senal)
senalmax = np.max(senal)
senalrango = np.linspace(senalmin,senalmax,m)

# SALIDA
print('frecuencia relativa:')
print(relativa.frequency)
print('Rango de Señal')
print(senalrango)
print('Aproximación a contínua')
print(relcontinua)

# SALIDA Grafico de PMF
pa = 0-0.1 # rango eje frecuencias
pb = 1+0.1

plt.subplot(211)
plt.axis([senalmin-deltax,senalmax+deltax,pa,pb])
plt.bar(senalrango,relativa.frequency, width=deltax*0.8)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('PMF')

plt.subplot(212)
plt.axis([senalmin-deltax,senalmax+deltax,pa,pb])
plt.plot(senalrango,relcontinua)
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.ylabel('Aproximación a PDF')
plt.show()

frecuencia relativa:
[ 0.027  0.052  0.053  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.052  0.053  0.053  0.052  0.027]
Rango de Señal
[-1.        -0.8947895 -0.789579  -0.6843685 -0.579158  -0.4739475 -0.368737  -0.2635265 -0.158316  -0.0531055  0.052105   0.1573155  0.262526   0.3677365  0.472947   0.5781575  0.683368   0.7885785  0.893789   0.9989995]
Aproximación a contínua
[ 0.25662838  0.49424725  0.503752    0.503752    0.49424725  0.503752   0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.503752    0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.49424725  0.503752    0.503752  0.49424725  0.25662838]

Determinar la Función de distribucíón acumulada

Considere el caso discreto, solo es necesario ir acumulando los valores de «relativa».

Al usar la aproximación a contínua, la sumatoria debe considerar el área bajo la curva, por lo que los valores se multiplican por Δx antes de acumular los valores de las frecuencias.

# Función distribución acumulada
acumulada = np.cumsum(relcontinua*deltax)

# Salida CDF
plt.step(senalrango,relcontinua,label='pdf', where='post')
plt.step(senalrango,acumulada,label='cdf', where='post')
plt.xlabel('Amplitud de señal')
plt.title(' Función de distribuión acumulada , CDF')
plt.legend()
plt.show()

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Tarea: realice el ejercicio con otras señales periódicas.