Densidad Espectral de Potencia Concepto

Referencia: León García 10.1.1 p578

Sea X(t) un proceso aleatorio contínuo en el tiempo estacionario en el sentido amplio WSS, con media m_X y función de autocorrelación R_X(t).

Si cambiamos el dominio de la función desde tiempo a frecuencia, lo anterior deberá también cambiarse de dominio. Si la función densidad de probabiliad se cambia de dominio, se conocería como periodograma estimador, y se llega a determinar la densidad espectral de potencia de X(t) definida como:

$S_X (f) = lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} E \left[ \left| \tilde{x} (f) \right| ^2\right]$

La densidad espectral de potencia de X(t) está dada por la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

$S_X (f) = Fourier\{R_x(\tau) \} = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

La potencia promedio de X(t) se expresa también como:

$E[ X^2(t)] = R_X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_X (f) df$

La densiddad espectral de potencia también se relaciona con la autocorrelación y autocovarianza por medio de la transformada de Fourier:

$S_X(f) = Fourier\{ C_x (\tau) + m^2_x\}$

si consideramos que m_x es un componente constante o «DC»

$S_X(f) = Fourier\{ C_x (\tau)\} + m^2_x \delta(f)$

ampliando el concepto a densidad espectral de potencia cruzada S_X,Y (f) se define como:

$S_{X,Y}(f) = Fourier\{ R_{X,Y} (\tau) \}$ $$