Pares de variables aleatorias contínuas

Referencia: León-García 5.2.1 p241, Gubner 7.2 p295, Ross 2.5.1 p.44

Pares de variables aleatorias

Muchos experimentos involucran varias variables aleatorias, pues miden diferentes valores del experimento, por ejemplo:

• Medir el voltaje de un circuito en varios puntos para un tiempo dado
• Medir repetidamente el voltaje de un circuito en un punto para varios tiempos.

Para más de una variable se usa:

• la función de densidad conjunta, función de distribución acumulada conjunta, y función de densidad de los eventos que tienen un comportamiento conjunto en dos variables aleatorias.
• El valor esperado
• para determinar cuando dos variables son independientes y cuantificar su grado de correlación cuando no son independientes
• para obtener probabilidades condicionales que involucran un par de variables aleatorias.

Se define para dos variables aleatorias X y Y la función conjunta de distribución de probabilidades acumuladas por:

$F(a,b) = P(X \leq a, Y \leq b )$ $-\infty<a, b<\infty$

la distribución:

$F_X(a) = P(X \leq a) = P(X \leq a, Y<\infty ) =$ $= F(a,\infty)$

y de forma similar:

$F_Y(b) = P(Y \leq b) = P(X<\infty, Y \leq b) =$ $= F(\infty, b)$

En el caso que X y Y sean variables aleatorias discretas, se define las funcion conjunta de probabilidad de masa como:

$p(x,y) = P(X=x,Y=y)$ $p_X (x)= \sum_{y:p(x,y)>0} p(x,y)$ $p_Y (y)= \sum_{x:p(x,y)>0} p(x,y)$

En el caso que X y Y sean variables aleatorias contínuas:

$P(X \in A, Y \in B) = \int_B \int_A f(x,y) \delta x \delta y$

donde la función densidad de probabilidad para X se puede obtener conociendo que f(x,y) tienen que:

$P(X \in A) = P(X \in A, Y \in (-\infty,\infty))$ $= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{A} f(x,y) \delta x \delta y$ $= \int_{A} f_X(x) \delta x$

donde

$f_X (x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta y$

de forma similar para el caso de Y:

$f_Y (y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta x$

se debe cumplir que:

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y =1$

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Ejemplo Gubner 7.9 p296.

Muestre que:

$f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2}$

es una función densidad conjunta de probabilidad válida

solución:

dado que f_XY es positiva, se debe mostrar que el integral es 1.

$f_{XY}(x,y) = \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}$

haciendo el doble integral:

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY} (x,y) \delta x \delta y =$ $= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)/2} \delta x \delta y$ $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2\pi}}\big( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(y-x)^2 /2}}{\sqrt{2\pi}} \delta y\big) \delta x$

el integral interior está en función de y, y es una densidad normal con media y varianza uno. Por lo que el integral interior es uno.
El integral exterior es una Normal con media cero y varianza 1, lo que también integra a 1.

Por lo que el integral resulta en 1 y cumple con que sea positivo y resulte 1 para ser una función densidad conjunta de probabilidad.