Procesos Estocásticos

pdf Bivariada Ejercicios

Escrito por

Edison Del Rosario

en

1. pdf Bivariada Ejercicios

Referencia: León García Ejercicio 5.16 pag 252

Ejemplo

Encuentre la constante c de normalización y las pdf marginales de la siguiente función:

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} &, 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}

Solución

la función es válida en la región mostrada:

La constante c se encuentra cumpliendo la condición de normalización:

1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} c e^{-x} e^{-y} dy dx = = \int_{0}^{\infty} c e^{-x} (1-e^{-x}) dx = \frac{c}{2} 1 = \frac{c}{2} c = 2

Determinar las marginales, conociendo que c=2:

f_X (x) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = = \int_{0}^{x} 2 e^{-x} e^{-y} dy = 2 e^{-x} \int_{0}^{x} e^{-y} dy = = 2 e^{-x} \left. \left[ - e^{-y} \right]\right|_{0}^{x} = 2 e^{-x} \left[ -e^{-x}-(-e^{0}) \right] = f_X (x) = 2 e^{-x} (1- e^{-x}) 0\leq x < \infty
f_Y (y) = \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = = \int_{y}^{\infty} 2 e^{-x} e^{-y} dx = 2 e^{-y} \int_{y}^{\infty} e^{-x} dx = = 2 e^{-y} \left. \left[ - e^{-x} \right]\right|_{y}^{\infty} = 2 e^{-y} \left[-e^{-\infty}-(-e^{-y})\right] = = 2 e^{-y} 2 e^{-y} f_Y (y) = 2 e^{-2y} 0\leq y < \infty

Tarea: Verificar que las funciones marginales cumplen que el integral es 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m =np.shape(X)
    Z=np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c=2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x=X[i,j]
            y=Y[i,j]
            
            if (y>=0 and y<=x):
                z=c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j]=z
    return(Z)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 4
ya = 0
yb = 4
# muestras por eje
nx = 500
ny = 500

# PROCEDIMIENTO

# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)

# Evalúa la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# SALIDA
figura  = plt.figure(1)
grafica = figura.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=int)
    ysuperior = X
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior, ysuperior = arealimite(x)

# SALIDA
plt.plot(x, yinferior)
plt.plot(x, ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior, where=(ysuperior>=yinferior))
plt.show()

# Forma de las marginales
def marginalx(x):
    fx = 2*np.exp(-x)*(1-np.exp(-x))
    return(fx)

# PROCEDIMIENTO
deltax = (xb-xa)/nx
fx = marginalx(x)
Fx = np.cumsum(fx*deltax)
integrax = np.sum(fx*deltax)

# SALIDA
plt.plot(x,fx, label='f(x)')
plt.plot(x,Fx, label='F(x)')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()
# Forma de las marginales
def marginaly(y):
    fy = 2*np.exp(-2*y)
    return(fy)

# PROCEDIMIENTO
deltay = (yb-ya)/ny
fy = marginaly(y)
Fy = np.cumsum(fy*deltay)
integray = np.sum(fy*deltay)

# SALIDA
print(' El integral sobre el area es: ', integray)

plt.plot(y,fy, label='f(y)')
plt.plot(y,Fy, label='F(y)')
plt.xlabel('y')
plt.legend()
plt.show()

2. pdf Bivariada Ejercicio02

Referencia: León-García 5.17 p 253

Ejemplo

Encuentre P[ X + Y ≤ 1] de la función en el ejemplo 5.16 mostrada a continuación :

f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} & , 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}

Solución

La la región para integración es [ X + Y ≤ 1] donde la pdf no es cero. Se obtiene la probabilidad del evento al añadir(integrar) rectángulos infinitesimales de ancho dy como se indica en la figura:

X + Y \leq 1 Y \leq 1 - X P[ X + Y \leq 1] = \int_{0}^{1/2} \int_{y}^{1-y} 2 e^{-x} e^{-y} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \int_{y}^{1-y} e^{-x} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \left. [-e^{-x}] \right|_{y}^{1-y} dy = = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} [-e^{-(1-y)}-(-e^{-y})] dy = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-y-(1-y)}] dy = = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-1}] dy = \left. \left[ 2\frac{e^{-2y}}{-2} - 2 e^{-1}y\right] \right|t_{0}^{1/2} = = [ - e^{-2 (1/2)} - 2 e^{-1} (1/2) ] - [ -e^{0}-0] = -e^{-1}-e^{-1} +1 P[ X + Y \leq 1] = 1- 2e^{-1} = 0.26424111765711533

que limita la figura que genera la función a:

Instrucciones en Python

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Función evaluada
def fxydensidad(X,Y):
    n,m = np.shape(X)
    Z = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)
    
    c = 2
    for i in range(0,n,1):
        for j in range(0,m,1):
            x = X[i,j]
            y = Y[i,j]
            if (y>=0 and y<=x and (x + y)<=1):
                z = c*np.exp(-x)*np.exp(y)
                Z[i,j] = z
    return(Z)

# PROGRAMA
# INGRESO
# Rango de evaluación
xa = 0
xb = 1.5
ya = 0
yb = 1.5
#muestras por eje
nx = 200
ny = 200

# PROCEDIMIENTO
# Matriz de evaluación
y = np.linspace(ya,yb,ny)
x = np.linspace(xa,xb,nx)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
# Evalua la función
Z = fxydensidad(X,Y)

# Zona de integración
def arealimite(X):
    n = len(X)
    yinferior = np.zeros(n,dtype=float)
    ysuperior = np.zeros(n,dtype=float)
    for i in range(0,n,1):
        x = X[i]
        if (x<0.5):
            y = x
        if (x>=0.5):
            y = 1 - x
        ysuperior[i] = y
    
    return(yinferior, ysuperior)

# PROCEDIMIENTO
yinferior , ysuperior = arealimite(x) 

# SALIDA GRAFICAS
figura1 = plt.figure(1)
plt.plot(x,yinferior)
plt.plot(x,ysuperior)
plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior,
                 where= (ysuperior>=yinferior))
plt.xlabel('x')
# SALIDA
figura2 = plt.figure(2)
grafica2 = figura2.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
grafica2.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

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