Publicado en por Edison Del Rosario

s2Eva_IIT2017_T1 PDF exp(ax)

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018

Tema 1. Propuesta de solución

Y(x)=e−αx Y(x) = e^{-\alpha x}

Siendo X de tipo uniforme entre (0,T]

fx(x)=1T f_x(x) = \frac{1}{T}

Se puede calcular la función de densidad por cada punto de intersecciónal, al trazar una paralela al eje x que pasa por el punto y0

fY(y)=∑kfx(x)∣dydx∣∣x=x0 f_Y(y) = \sum_k \frac{f_x(x)}{|\frac{dy}{dx}|} \Big|_{x=x_0}

De la gráfica del enunciado se encuentra que existe un solo punto de intersección  (y0, x0).

Para un valor de y0 se encuentra su valor equivalente en x0,

y0=e−αx0 y_0 = e^{-\alpha x_0} ln⁡(y0)=ln⁡(e−αx0) \ln (y_0) = \ln (e^{-\alpha x_0}) ln⁡(y0)=−αx0 \ln (y_0) = -\alpha x_0 x0=ln⁡(y0)−α x_0 = \frac{\ln (y_0)}{-\alpha}

la derivada dy/dx será

dydx=−αe−αx \frac{dy}{dx} = -\alpha e^{-\alpha x}

Reemplazando en la ecuación para fY(y):

fY(y)=1T∣−αe−αx0∣ f_Y(y) = \frac{\frac{1}{T}}{|-\alpha e^{-\alpha x_0}|} =1T∣−αe−αln(y0)−α∣ = \frac{1}{T|-\alpha e^{-\alpha \frac{ln(y_0)}{-\alpha}}|} =1T∣−αeln(y0)∣ = \frac{1}{T|-\alpha e^{ln(y_0)}|} fY(y)=1Tαy f_Y(y) = \frac{1}{T\alpha y}

los valores de x se encuentran entre (0,T], por lo que los valores de y se encuentran:

y0=e−α(0)=1 y_0 = e^{-\alpha(0)} = 1 yT=e−α(T)=e−αT y_T = e^{-\alpha (T)} = e^{-\alpha T}

el rango para y se encuentra entre 1 y e-αT.

La función de distribución acumulada:

FY(y)=∫1yfY(y)dy F_Y(y) = \int_{1}^{y} f_Y(y) dy =∫1Tαydy = \int \frac{1}{T\alpha y} dy =1Tα∫1ydy = \frac{1}{T\alpha} \int \frac{1}{y} dy =1Tαln(y)∣1y = \frac{1}{T\alpha} ln(y) \Big|_{1}^{y} =1Tα(ln(y)−ln(1)) = \frac{1}{T\alpha}(ln(y) - ln(1)) =1Tα(ln(y)−0) = \frac{1}{T\alpha}( ln(y) - 0) =1Tαln(y) = \frac{1}{T\alpha}ln(y) FY(y)=ln(y)Tα F_Y(y) = \frac{ln(y)}{T\alpha}

Gráfica: Para que la gráfica tenga una forma representativa, α=-1.

La auto-correlación aplica para funciones que dependen del tiempo, con diferencias de tiempo τ.
Para éste caso, no aplica la autocorrelación. tampoco se dispone de otra variable en el problema para realizar la correlación.

Script de python para presentar las gráficas del problema

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
alfa = -1
T = 1
# Rango de x
a = 0
b = a + T
# muestreo
m = 100

# PROCEDIMIENTO
funciony = lambda x: np.exp(alfa*x)
pdf = lambda y: 1/(T*np.abs(alfa*y))
cdf = lambda y: np.log(y)/(np.abs(alfa)*T)

x = np.linspace(a,b,m)
yi = funciony(x)

ya = funciony(alfa*a)
yb = funciony(alfa*b)
y = np.linspace(yb,ya,m)

fy = pdf(y)
Fy = cdf(y)

# SALIDA
plt.subplot(311)
plt.plot(x, yi,label='y')
plt.legend()
plt.subplot(312)
plt.plot(y,fy, label='fy')
plt.legend()
plt.subplot(313)
plt.plot(y,Fy, label='Fy')
plt.legend()
plt.show()