Referencia
Integrales Definidas
Definición
∫ f ( x ) d x = lim Δ → 0 ( ∑ n [ f ( n Δ x ) ] Δ x ) \int f(x) dx = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \left( \sum_{n} \left[ f(n \Delta x)\right] \Delta x \right) ∫ f ( x ) d x = Δ → 0 lim ( n ∑ [ f ( n Δ x ) ] Δ x ) Cambio de variable. Sea v=u(x)
∫ a b f ( x ) d x = ∫ u ( a ) u ( b ) ( f ( x ) d v / d x ∣ x = u − 1 ( v ) ) d v \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{u(a)}^{u(b)} \left( \left. \frac{f(x)}{dv/dx} \right|_{x=u^{-1}(v)}\right) dv ∫ a b f ( x ) d x = ∫ u ( a ) u ( b ) ( d v / d x f ( x ) ∣ ∣ ∣ ∣ x = u − 1 ( v ) ) d v integración por partes
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u dv = uv - \int v du ∫ u d v = u v − ∫ v d u Integrales Definidas
∫ 0 ∞ x m − 1 1 + x n d x = π / n s e n ( m π / n ) , n > m > 0 \int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{1+x^n} dx = \frac{\pi /n}{sen(m\pi/n)}, \text{ }n>m>0 ∫ 0 ∞ 1 + x n x m − 1 d x = s e n ( m π / n ) π / n , n > m > 0 ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x = Γ ( α ) , α > 0 \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x} dx = \Gamma(\alpha) , \alpha > 0 ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x = Γ ( α ) , α > 0 donde: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) , \text{donde: }\Gamma(\alpha +1) = \alpha \Gamma(\alpha), donde: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) , Γ ( 1 ) = 1 , \Gamma (1) = 1, Γ ( 1 ) = 1 , Γ [ 1 / 2 ] = π , \Gamma [1/2] = \sqrt{\pi}, Γ [ 1 / 2 ] = π , Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! , si n es entero positivo \Gamma(n) = (n-1)! \text{, si n es entero positivo } Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! , si n es entero positivo ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n − 1 ) 2 n + 1 a n π a \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2} dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2^{n+1}a^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = 2 n + 1 a n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 n − 1 ) a π ∫ − ∞ ∞ e − a 2 x 2 + b x d x = π a e b 2 / ( 4 a 2 ) , a > 0 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2 x^2 + bx} dx =\frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{b^2/(4a^2)}, a>0 ∫ − ∞ ∞ e − a 2 x 2 + b x d x = a π e b 2 / ( 4 a 2 ) , a > 0 ∫ 0 ∞ e − a x c o s ( b x ) d x = a a 2 + b 2 , a > 0 \int_{0}^{\infty} e^{-ax}cos(bx) dx = \frac{a}{a^2+b^2}, a>0 ∫ 0 ∞ e − a x c o s ( b x ) d x = a 2 + b 2 a , a > 0 ∫ 0 ∞ e − a x s e n ( b x ) d x = b a 2 + b 2 , a > 0 \int_{0}^{\infty} e^{-ax}sen(bx) dx = \frac{b}{a^2+b^2}, a>0 ∫ 0 ∞ e − a x s e n ( b x ) d x = a 2 + b 2 b , a > 0 ∫ 0 ∞ e − a 2 x 2 c o s ( b x ) d x = π e − b 2 / 4 a 2 2 a , a > 0 \int_{0}^{\infty} e^{-a^2x^2}cos(bx) dx = \frac{\sqrt{\pi} e^{-b^2/4a^2}}{2a}, a>0 ∫ 0 ∞ e − a 2 x 2 c o s ( b x ) d x = 2 a π e − b 2 / 4 a 2 , a > 0 ∫ 0 ∞ x α − 1 c o s ( b x ) d x = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}cos(bx) dx = ∫ 0 ∞ x α − 1 c o s ( b x ) d x = Γ ( α ) b α c o s ( 1 2 π α ) , \frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} cos \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right), b α Γ ( α ) c o s ( 2 1 π α ) , 0 < α < 1 , b > 0 0<\alpha < 1, b >0 0 < α < 1 , b > 0 ∫ 0 ∞ x α − 1 s e n ( b x ) d x = Γ ( α ) b α s e n ( 1 2 π α ) , \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}sen(bx) dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} sen \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right), ∫ 0 ∞ x α − 1 s e n ( b x ) d x = b α Γ ( α ) s e n ( 2 1 π α ) , 0 < ∣ α ∣ < 1 , b > 0 0<|\alpha| < 1, b >0 0 < ∣ α ∣ < 1 , b > 0 ∫ 0 ∞ x e − a x 2 I k ( b x ) d x = 1 2 a e b 2 / 4 a , \int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2} I_k(bx) dx = \frac{1}{2a} e^{b^2/4a}, ∫ 0 ∞ x e − a x 2 I k ( b x ) d x = 2 a 1 e b 2 / 4 a , donde: I k ( b x ) = 1 π ∫ 0 π e b x c o s ( θ ) c o s ( k θ ) d θ \text{donde: } I_k(bx)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{bx cos(\theta)} cos(k\theta) d\theta donde: I k ( b x ) = π 1 ∫ 0 π e b x c o s ( θ ) c o s ( k θ ) d θ ∫ 0 ∞ s e n ( x ) x d x = ∫ 0 ∞ S a ( x ) d x = π 2 \int_{0}^{\infty} \frac{sen(x)}{x} dx = \int_{0}^{\infty} Sa(x) dx = \frac{\pi}{2} ∫ 0 ∞ x s e n ( x ) d x = ∫ 0 ∞ S a ( x ) d x = 2 π ∫ 0 ∞ ( s e n ( x ) x ) 2 d x = ∫ 0 ∞ S a 2 ( x ) d x = π 2 \int_{0}^{\infty} \left( \frac{sen(x)}{x} \right)^2 dx = \int_{0}^{\infty} Sa^2(x) dx = \frac{\pi}{2} ∫ 0 ∞ ( x s e n ( x ) ) 2 d x = ∫ 0 ∞ S a 2 ( x ) d x = 2 π ∫ − ∞ ∞ e ± j 2 π y x d x = δ ( y ) \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm j2 \pi yx} dx = \delta (y) ∫ − ∞ ∞ e ± j 2 π y x d x = δ ( y ) ∫ 0 ∞ c o s ( a x ) b 2 + x 2 d x = π 2 b e − a b , a > 0 , b > 0 \int_{0}^{\infty}\frac{cos(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2b} e^{-ab}, a>0,b>0 ∫ 0 ∞ b 2 + x 2 c o s ( a x ) d x = 2 b π e − a b , a > 0 , b > 0 ∫ 0 ∞ x s e n ( a x ) b 2 + x 2 d x = π 2 e − a b , a > 0 , b > 0 \int_{0}^{\infty}\frac{x sen(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2} e^{-ab}, a>0,b>0 ∫ 0 ∞ b 2 + x 2 x s e n ( a x ) d x = 2 π e − a b , a > 0 , b > 0
