Referencia
Si X es una variablea aleatoria contínua que tiene una función densidad de probabilidad f(x), el valor esperado de X se define como:
E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) δ x E[X]= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) \delta x E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) δ x Ejemplo
Referencia
Sea X una variable aleatoria contínua uniforme [a,b], encuentre el valor esperado:
Solución:
E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) δ x = ∫ a b x 1 b − a δ x = E[X]= \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \delta x = \int_{a}^{b} x\frac{1}{b-a}\delta x = E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) δ x = ∫ a b x b − a 1 δ x = = 1 ( b − a ) x 2 2 ∣ a b = 1 ( b − a ) b 2 − a 2 2 = \left. = \frac{1}{(b-a)} \frac{x^2}{2} \right|_{a}^{b} = \frac{1}{(b-a)} \frac{b^2-a^2}{2} = = ( b − a ) 1 2 x 2 ∣ ∣ ∣ ∣ a b = ( b − a ) 1 2 b 2 − a 2 = = ( b + a ) ( b − a ) 2 ( b − a ) = a + b 2 = \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2} = 2 ( b − a ) ( b + a ) ( b − a ) = 2 a + b que es el promedio simple entre a y b cuando la función es uniforme.
Ejemplo
Ross 4.8/Leon-García 4.20. Un convertidor analógico-digital o cuantizador con resolución de paso Δ voltios redondea en la entrada el valor más cercano al múltiplo de Δ voltios como se muestra en la figura.
La entrada es un voltaje Vin de tipo aleatorio y la salida del convertidor es A/D es Vout , y su desempeño se mide por el error cuadratico medio:
E[|Vin – Vout |2 ]
Se supone que el error Vin – Vout se puede aproximar a una función aleatoria uniforme [-Δ/2,Δ/2] dado que siempre el valor siempre cae en el intervalo dado. Determine el valor esperado para la señal de entrada, y también el valor del error cuadrático medio.
Solución: Para el intervalo centrado en el origen
f ( x ) = 1 b − a f(x)= \frac{1}{b-a} f ( x ) = b − a 1 E [ X ] = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 x f ( x ) δ x = E[X] = \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} xf(x) \delta x = E [ X ] = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 x f ( x ) δ x = = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 x 1 Δ / 2 − ( − Δ / 2 ) δ x =\int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} x\frac{1}{\Delta /2 - (-\Delta /2)} \delta x = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 x Δ / 2 − ( − Δ / 2 ) 1 δ x = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 x Δ δ x = x 2 2 Δ ∣ − Δ / 2 Δ / 2 = \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} \frac{x}{\Delta} \delta x = \left. \frac{x^2}{2 \Delta} \right|_{-\Delta /2}^{\Delta /2} = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 Δ x δ x = 2 Δ x 2 ∣ ∣ ∣ ∣ − Δ / 2 Δ / 2 = 1 2 Δ [ ( − Δ 2 ) 2 − ( Δ 2 ) 2 ] = 0 = \frac{1}{2\Delta} \big[ {\big( \frac{-\Delta}{2}\big)}^2 - {\big( \frac{\Delta}{2}\big)}^2 \big] = 0 = 2 Δ 1 [ ( 2 − Δ ) 2 − ( 2 Δ ) 2 ] = 0 Para el error cuadrático medio en [a,b], a=-Δ/2, b=Δ/2
E [ ∣ V i n − V o u t ∣ 2 ] ≈ E [ X 2 ] E[|V_{in}-V_{out}|^2] \approx E[X^2] E [ ∣ V i n − V o u t ∣ 2 ] ≈ E [ X 2 ] = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) δ x = ∫ a b x 2 1 b − a δ x = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \delta x = \int_{a}^{b} x^2 \frac{1}{b - a} \delta x = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) δ x = ∫ a b x 2 b − a 1 δ x = 1 b − a x 3 3 ∣ a b = 1 b − a b 3 − a 3 3 = = \left. \frac{1}{b-a} \frac{x^3}{3} \right|_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \frac{b^3-a^3}{3} = = b − a 1 3 x 3 ∣ ∣ ∣ ∣ a b = b − a 1 3 b 3 − a 3 = = ( b − a ) ( b 2 + b a + a 2 ) 3 ( b − a ) = \frac{(b-a)(b^2+ba+a^2)}{3(b-a)} = 3 ( b − a ) ( b − a ) ( b 2 + b a + a 2 ) = b 2 + b a + a 2 3 = \frac{b^2+ba+a^2}{3} = 3 b 2 + b a + a 2 = ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 2 ) ( − Δ 2 ) + ( − Δ 2 ) 2 3 = \frac{({\frac{\Delta}{2})}^2 + {(\frac{\Delta}{2})}{(\frac{-\Delta}{2})} + {(\frac{-\Delta}{2})}^2}{3} = 3 ( 2 Δ ) 2 + ( 2 Δ ) ( 2 − Δ ) + ( 2 − Δ ) 2 = 1 3 Δ 2 − Δ 2 + Δ 2 4 = Δ 2 1 2 = \frac{1}{3} \frac{\Delta ^2 -\Delta^2 + \Delta ^2}{4} = \frac{\Delta ^2}{12} = 3 1 4 Δ 2 − Δ 2 + Δ 2 = 1 2 Δ 2
