Procesos Estocásticos

Variables Aleatorias Discretas

Escrito por

Edison Del Rosario

en

Referencia: Leon-García p.97, Gubner p.64

Variables Aleatorias

Una variable aleatoria se define como una función que asigna un valor numérico real X(ω) a cada resultado del experimento en un espacio muestral.

Una función es una regla para asignar un valor numérico a cada elemento de un grupo.

La espacio muestral S es el dominio de la variable aleatoria

Ejemplo

Lanzamiento de una moneda

León-García 3.1., Gubner 2.1,

Una moneda se lanza tres veces y se anota la secuencia de caras (0) o sello(1). El espacio muestral para el experimento es

S={000, 001, 010, 011, 100, 101,110, 111}

Sea X el número de caras en tres lanzamientos, X asigna a cada resultado ω en S un número del grupo SX={0,1,2,3}.

Encuentre los valores para X(ω)

# número de caras en lanzamiento de monedas
import numpy as np
import itertools as iter

# INGRESO
posibles     = 2
lanzamientos = 3

# PROCEDIMIENTO
moneda = np.arange(posibles)
n = posibles**lanzamientos

# Espacio muestral de lanzamientos
resultados = list(iter.product(moneda, repeat=lanzamientos))
S = np.asarray(resultados)

# SALIDA - Observación intermedia
print (S)

[[0 0 0]
 [0 0 1]
 [0 1 0]
 [0 1 1]
 [1 0 0]
 [1 0 1]
 [1 1 0]
 [1 1 1]]
# número de caras en cada lanzamiento 
cuenta = []
for experimento in S:
    caras = lanzamientos - np.sum(experimento)
    cuenta.append(caras)
Sx = np.unique(cuenta)

# SALIDA - Observación intermedia
print('Sx: ',Sx)
print('evento, X(evento)')
for i in range(0,n):
    print(S[i],cuenta[i])
Sx:  [0 1 2 3]
evento, X(evento)
[0 0 0] 3
[0 0 1] 2
[0 1 0] 2
[0 1 1] 1
[1 0 0] 2
[1 0 1] 1
[1 1 0] 1
[1 1 1] 0


Ref: Fig 2.2 Gubner

Ejemplo

León-García 3.2. Apuestas

Un jugador paga $1.50 para poder participar en un juego: Se lanza una moneda tres veces y se cuenta el número de caras X. El jugador recibe $1 si X=2 y $8 si X=3, $0 en los otros casos.

Sea Y el premio del jugador, Y es una función de la variable X con resultados relacionados con el espacio muestral del experimento aleatorio (juego)

Y = np.zeros(n, dtype=float)
for i in range(0,n):
    if (cuenta[i]==2):
        Y[i]=1
    if (cuenta[i]==3):
        Y[i]=8
Sy = np.unique(Y)

# SALIDA
print('Sy: ',Sy)
print('evento, X, Y')
for i in range(0,n):
    print(S[i],cuenta[i],Y[i])
Sy:  [ 0.  1.  8.]
evento, X, Y
[0 0 0] 3 8.0
[0 0 1] 2 1.0
[0 1 0] 2 1.0
[0 1 1] 1 0.0
[1 0 0] 2 1.0
[1 0 1] 1 0.0
[1 1 0] 1 0.0
[1 1 1] 0 0.0

Una función de una variable aleatoria, produce otra variable aleatoria.

Ejemplo

León-García 3.3. Apuestas lanzando una moneda
Sea X el número de caras en lel lanzamiento de una moneda.

Encuentre la probabilidad del evento {X=2}.

Encuentre la probabilidad que el jugador gane $8 en el ejemplo anterior.

X(ω)=2 si ω esta en {000,010,001}, por lo que:

P[X=2] = P[{000,010,001}] = P[{000}] + P[{010}] + P[{001}] = 3/8

El evento {Y=8} ocurre solo con el resultado cuando ω = [000], por lo que:

P[Y=8] = P[{000}] = 1/8

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