![\"derivada\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/guifecep\/files\/2014\/11\/derivada.jpg\")
<\/a><\/p>\nHistoria de la derivada<\/p>\n
Los problemas t\u00edpicos que dieron origen al c\u00e1lculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la \u00e9poca cl\u00e1sica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron m\u00e9todos sistem\u00e1ticos de resoluci\u00f3n hasta veinte siglos despu\u00e9s (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).<\/p>\n
<\/p>\n
En lo que ata\u00f1e a las derivadas existen dos conceptos de tipo geom\u00e9trico que le dieron origen:<\/p>\n
<\/p>\n
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)<\/p>\n
El Teorema de los extremos: m\u00e1ximos y m\u00ednimos (Pierre de Fermat)<\/p>\n
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como c\u00e1lculo diferencial.<\/p>\n
<\/p>\n
Siglo XVII[editar]<\/p>\n
Los matem\u00e1ticos perdieron el miedo que los griegos le hab\u00edan tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevar\u00eda en medio siglo al descubrimiento del c\u00e1lculo infinitesimal.<\/p>\n
<\/p>\n
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez m\u00e1s usadas para resolver problemas de c\u00e1lculos de tangentes, \u00e1reas, vol\u00famenes; los primeros dar\u00edan origen al c\u00e1lculo diferencial, los otros al integral.<\/p>\n
<\/p>\n
Newton y Leibniz<\/p>\n
Art\u00edculos principales: Newton y Leibniz.<\/p>\n
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, m\u00e9todos usados por sus predecesores los que hoy llamamos \u00abderivadas\u00bb e \u00abintegrales\u00bb. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivaci\u00f3n) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del c\u00e1lculo).<\/p>\n
<\/p>\n
Newton desarroll\u00f3 en Cambridge su propio m\u00e9todo para el c\u00e1lculo de tangentes. En 1665 encontr\u00f3 un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincid\u00eda con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedic\u00f3 a reestructurar las bases de su c\u00e1lculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxi\u00f3n, que para \u00e9l era la velocidad con la que una variable \u00abfluye\u00bb (var\u00eda) con el tiempo.<\/p>\n
<\/p>\n
Leibniz, por su parte, formul\u00f3 y desarroll\u00f3 el c\u00e1lculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 a\u00f1os antes. En su investigaci\u00f3n conserv\u00f3 un car\u00e1cter geom\u00e9trico y trat\u00f3 a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.<\/p>\n
<\/p>\n
Fue quiz\u00e1s el mayor inventor de s\u00edmbolos matem\u00e1ticos. A \u00e9l se deben los nombres de: c\u00e1lculo diferencial y c\u00e1lculo integral, as\u00ed como los s\u00edmbolos de derivada \\textstyle\\frac {\\mathrm dy}{\\mathrm dx} y el s\u00edmbolo de la integral \u222b.<\/p>\n
<\/p>\n
Conceptos y aplicaciones<\/p>\n
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del c\u00e1lculo infinitesimal. El otro concepto es la \u00abantiderivada\u00bb o integral; ambos est\u00e1n relacionados por el teorema fundamental del c\u00e1lculo. A su vez, los dos conceptos centrales del c\u00e1lculo est\u00e1n basados en el concepto de l\u00edmite, el cual separa las matem\u00e1ticas previas, como el \u00c1lgebra, la Trigonometr\u00eda o la Geometr\u00eda Anal\u00edtica, del C\u00e1lculo. Quiz\u00e1 la derivada es el concepto m\u00e1s importante del C\u00e1lculo Infinitesimal.<\/p>\n
<\/p>\n
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situaci\u00f3n. Es una herramienta de c\u00e1lculo fundamental en los estudios de F\u00edsica, Qu\u00edmica y Biolog\u00eda, o en ciencias sociales como la Econom\u00eda y la Sociolog\u00eda. Por ejemplo, cuando se refiere a la gr\u00e1fica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gr\u00e1fico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el l\u00edmite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretaci\u00f3n, pueden determinarse muchas propiedades geom\u00e9tricas de los gr\u00e1ficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.<\/p>\n
<\/p>\n
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funci\u00f3n no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gr\u00e1fica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivaci\u00f3n.<\/p>\n
<\/p>\n
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.<\/p>\n
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Definiciones de derivada<\/p>\n
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Esquema que muestra los incrementos de la funci\u00f3n en x y en y.<\/p>\n
En terminolog\u00eda cl\u00e1sica, la diferenciaci\u00f3n manifiesta el coeficiente en que una cantidad y\\, cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x\\,.<\/p>\n
<\/p>\n
En matem\u00e1ticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funci\u00f3n base, etc.<\/p>\n
<\/p>\n
En f\u00edsica, coeficiente es una expresi\u00f3n num\u00e9rica que mediante alguna f\u00f3rmula determina las caracter\u00edsticas o propiedades de un cuerpo.<\/p>\n
<\/p>\n
En nuestro caso, observando la gr\u00e1fica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendr\u00eda representado en el punto P\\, de la funci\u00f3n por el resultado de la divisi\u00f3n representada por la relaci\u00f3n \\textstyle\\frac{dy}{dx}, que como puede comprobarse en la gr\u00e1fica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la l\u00ednea recta azul que representa la tangente en el punto P\\, de la funci\u00f3n. Esto es f\u00e1cil de entender puesto que el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo formado en la gr\u00e1fica con v\u00e9rtice en el punto P\\,, por mucho que lo dibujemos m\u00e1s grande, al ser una figura proporcional el resultado de \\textstyle\\frac{dy}{dx} es siempre el mismo.<\/p>\n
<\/p>\n
Esta noci\u00f3n constituye la aproximaci\u00f3n m\u00e1s veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simult\u00e1nea.<\/p>\n
<\/p>\n
Definici\u00f3n como cociente de diferencias<\/p>\n
<\/p>\n
Recta secante entre f(x) y f(x+h).<\/p>\n
La derivada de una funci\u00f3n f\\, es la pendiente geom\u00e9trica de la recta tangente del gr\u00e1fico de f\\, en x\\,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la l\u00ednea tangente a una funci\u00f3n dada, porque solamente se conoce un punto en la l\u00ednea tangente: (x,f(x))\\,. La idea es aproximar la l\u00ednea tangente con m\u00faltiples l\u00edneas secantes que tienen distancias progresivamente m\u00e1s peque\u00f1as entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el l\u00edmite de las pendientes de las l\u00edneas secantes de esta progresi\u00f3n, se consigue la pendiente de la l\u00ednea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el l\u00edmite de la pendiente de las l\u00edneas secantes, al acercarlas a la l\u00ednea tangente.<\/p>\n
<\/p>\n
Para encontrar las pendientes de las l\u00edneas secantes pr\u00f3ximas, se elige un n\u00famero h\\, relativamente peque\u00f1o. h\\, representa un cambio relativamente peque\u00f1o en x\\,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos\u00a0 ( x, f(x) ) \\, y\u00a0 ( x+h, f(x+h) ) \\, es:<\/p>\n
<\/p>\n
Q(h) = {f(x + h) - f(x) \\over h} .<\/p>\n
<\/p>\n
Inclinaci\u00f3n de la secante de la curva y=f(x).<\/p>\n
expresi\u00f3n denominada \u00abcociente de Newton\u00bb.2<\/p>\n
<\/p>\n
La derivada de f en x es entonces el l\u00edmite del valor del cociente diferencial, conforme las l\u00edneas secantes se aproximan a la l\u00ednea tangente:<\/p>\n
<\/p>\n
\\displaystyle f^\\prime(x) = \\lim_{h \\to 0} {f(x + h) - f(x) \\over h}.<\/p>\n
Si la derivada de f \\, existe en todos los puntos x \\,, se puede definir la derivada de f \\, como la funci\u00f3n cuyo valor en cada punto x \\, es la derivada de f \\, en x \\,.<\/p>\n
<\/p>\n
Puesto que sustituir h \\, por 0 produce una divisi\u00f3n por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una t\u00e9cnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h \\, del denominador. Y eso es posible f\u00e1cilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayor\u00eda de las funciones simples.<\/p>\n
<\/p>\n
Continuidad y diferenciabilidad<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Funci\u00f3n continua<\/p>\n
Una condici\u00f3n necesaria pero no suficiente para que una funci\u00f3n sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una funci\u00f3n continua es aquella en la cual peque\u00f1os incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce peque\u00f1os incrementos en el valor de dicha funci\u00f3n, de manera que<\/p>\n
<\/p>\n
f(x+\\Delta x)=y + \\Delta y.<\/p>\n
Haciendo estos incrementos cada vez m\u00e1s peque\u00f1os, las variaciones se hacen m\u00e1s peque\u00f1as; cuando estos se aproximan a cero, en el l\u00edmite,<\/p>\n
<\/p>\n
\\lim_{\\Delta x \\to 0}f(x+\\Delta x)-y=0<\/p>\n
con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que \\scriptstyle \\lim_{x \\to a}f(x)=f(a), y si este \u00faltimo l\u00edmite existe significa en consecuencia por un teorema de l\u00edmites (un l\u00edmite existe si y s\u00f3lo si los dos l\u00edmites laterales existen y son iguales) que toda funci\u00f3n f(x) que cumpla con<\/p>\n
<\/p>\n
\\lim_{x \\to a+}f(x)= \\lim_{x \\to a-}f(x)=\\lim_{x \\to a}f(x)=f(a)<\/p>\n
es continua en el punto a. Como consecuencia l\u00f3gica, toda funci\u00f3n derivable en el intervalo abierto I, es continua en I.<\/p>\n
<\/p>\n
Condici\u00f3n no rec\u00edproca<\/p>\n
<\/p>\n
La funci\u00f3n valor absoluto no tiene derivada en el punto (0,0).<\/p>\n
La relaci\u00f3n no funciona a la inversa: el que una funci\u00f3n sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los l\u00edmites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la funci\u00f3n presenta un punto anguloso en dicho punto.<\/p>\n
<\/p>\n
Un ejemplo \u2014 recurrente en la literatura usual \u2014 puede ser la funci\u00f3n valor absoluto (tambi\u00e9n llamada m\u00f3dulo) en el punto (0,0) \\,. Dicha funci\u00f3n se expresa:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
\\operatorname{abs} (x) =<\/p>\n
|x| =<\/p>\n
\\left\\{<\/p>\n
\\begin{array}{rll}<\/p>\n
-x, & \\mbox{si} & x < 0\u00a0\u00a0 \\\\<\/p>\n
x, & \\mbox{si} & x \\ge 0<\/p>\n
\\end{array}<\/p>\n
\\right.<\/p>\n
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es tambi\u00e9n 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
\\operatorname{abs}' (x) =<\/p>\n
|x|' =<\/p>\n
\\left\\{<\/p>\n
\\begin{array}{rll}<\/p>\n
-1, & \\mbox{si} & x < 0 \\\\<\/p>\n
1, & \\mbox{si} & x > 0<\/p>\n
\\end{array}<\/p>\n
\\right.<\/p>\n
Cuando x \\, vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.<\/p>\n
<\/p>\n
De manera informal, si el gr\u00e1fico de la funci\u00f3n tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la funci\u00f3n y=x|x|es diferenciable para todo x. H\u00e1llese su funci\u00f3n derivada. En otros t\u00e9rminos, que una funci\u00f3n sea continua es una condici\u00f3n necesaria para que dicha funci\u00f3n sea diferenciable. (Ver \"An\u00e1lisis matem\u00e1tico\" de Ap\u00f3stol.)<\/p>\n
<\/p>\n
Derivada de una funci\u00f3n<\/p>\n
Considerando la funci\u00f3n f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la funci\u00f3n f en el punto a\\, se define como sigue:<\/p>\n
<\/p>\n
f'(a)=\\lim_{h\\rightarrow0} \\frac{f(a + h) - f(a)}{h},<\/p>\n
si este l\u00edmite existe, de lo contrario, f', la derivada, no est\u00e1 definida. Esta \u00faltima expresi\u00f3n coincide con la velocidad instant\u00e1nea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinem\u00e1tica.<\/p>\n
<\/p>\n
Aunque podr\u00edan calcularse todas las derivadas empleando la definici\u00f3n de derivada como un l\u00edmite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el c\u00e1lculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el l\u00edmite. Tales reglas son consecuencia directa de la definici\u00f3n de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de c\u00e1lculo infinitesimal.<\/p>\n
<\/p>\n
Tambi\u00e9n puede definirse alternativamente la derivada de una funci\u00f3n en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:<\/p>\n
<\/p>\n
f'(a)=\\lim_{x\\rightarrow a} \\frac{f(x) - f(a)}{x - a},<\/p>\n
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda seg\u00fan el signo de a\\,. El aspecto de este l\u00edmite est\u00e1 relacionado m\u00e1s con la velocidad instant\u00e1nea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.<\/p>\n
<\/p>\n
No obstante su aparente diferencia, el c\u00e1lculo de la derivada por definici\u00f3n con cualquiera de los l\u00edmites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.<\/p>\n
<\/p>\n
Ejemplo<\/p>\n
Sea la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta funci\u00f3n para todo punto x \u2208 R \u2014 puesto que es continua en todos los puntos de su dominio \u2014, mediante el l\u00edmite de su cociente de diferencias de Newton. As\u00ed,<\/p>\n
<\/p>\n
\\begin{array}{rcl}<\/p>\n
f^\\prime(x) &=& \\displaystyle \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\\\\<\/p>\n
&=& \\displaystyle \\lim_{h \\to 0} \\frac{(x+h)^2 -x^2}{h}\\\\<\/p>\n
&=& \\displaystyle \\lim_{h \\to 0} \\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\\\<\/p>\n
&=& \\displaystyle \\lim_{h \\to 0} \\frac{2xh + h^2}{h}\\\\<\/p>\n
&=& \\displaystyle \\lim_{h \\to 0} (2x + h)\\\\<\/p>\n
&=& 2x \\end{array}<\/p>\n
Notaci\u00f3n<\/p>\n
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una funci\u00f3n, se escribe la derivada de la funci\u00f3n f\\, respecto al valor x\\, en varios modos.<\/p>\n
<\/p>\n
Notaci\u00f3n de Newton<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Notaci\u00f3n de Newton<\/p>\n
La notaci\u00f3n de Newton para la diferenciaci\u00f3n respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la funci\u00f3n:<\/p>\n
<\/p>\n
\\dot{x} = \\frac{\\mathrm dx}{\\mathrm dt} = x^\\prime(t)<\/p>\n
\\ddot{x} = x^{\\prime\\prime}(t)<\/p>\n
y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
<\/p>\n
Se lee \u00abpunto x\\,\u00bb o \u00abx\\, punto\u00bb. Actualmente est\u00e1 en desuso en Matem\u00e1ticas puras, sin embargo se sigue usando en \u00e1reas de la f\u00edsica como la mec\u00e1nica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notaci\u00f3n de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.<\/p>\n
<\/p>\n
Esta notaci\u00f3n de Newton se usa principalmente en mec\u00e1nica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales como velocidad y aceleraci\u00f3n, y en teor\u00eda de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.<\/p>\n
<\/p>\n
Notaci\u00f3n de Leibniz<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Notaci\u00f3n de Leibniz<\/p>\n
Otra notaci\u00f3n com\u00fan para la diferenciaci\u00f3n es debida a Leibniz. Para la funci\u00f3n derivada de f\\,, se escribe:<\/p>\n
<\/p>\n
\\frac{\\mathrm d\\left(f(x)\\right)}{\\mathrm dx}.<\/p>\n
Tambi\u00e9n puede encontrarse como \\textstyle \\frac {\\mathrm dy}{\\mathrm dx}, \\textstyle \\frac {\\mathrm df}{\\mathrm dx} \u00f3 \\textstyle \\frac {\\mathrm d}{\\mathrm dx} f(x). Se lee \u00abderivada de y\\, (f\\, \u00f3 f\\, de x\\,) con respecto a x\\,\u00bb. Esta notaci\u00f3n tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una funci\u00f3n con respecto a otra como un cociente de diferenciales.<\/p>\n
<\/p>\n
Con esta notaci\u00f3n, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:<\/p>\n
<\/p>\n
\\frac{\\mathrm d\\left(f(x)\\right)}{\\mathrm dx}\\left.{\\!\\!\\frac{}{}}\\right|_{x=a} = \\left(\\frac{\\mathrm d\\left(f(x)\\right)}{\\mathrm dx}\\right)(a).<\/p>\n
Si y=f(x)\\,, se puede escribir la derivada como<\/p>\n
<\/p>\n
\\mathrm dy \\over \\mathrm dx<\/p>\n
Las derivadas sucesivas se expresan como<\/p>\n
<\/p>\n
\\frac{\\mathrm d^n\\left(f(x)\\right)}{\\mathrm dx^n} o \\frac{\\mathrm d^ny}{\\mathrm dx^n}<\/p>\n
para la en\u00e9sima derivada de f\\, o de y respectivamente. Hist\u00f3ricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es<\/p>\n
<\/p>\n
\\frac{\\mathrm d \\left(\\frac{\\mathrm d \\left( \\frac{\\mathrm d \\left(f(x)\\right)} {\\mathrm dx}\\right)} {\\mathrm dx}\\right)} {\\mathrm dx}<\/p>\n
la cual se puede escribir como<\/p>\n
<\/p>\n
\\left(\\frac{\\mathrm d}{\\mathrm dx}\\right)^3 \\left(f(x)\\right) =<\/p>\n
\\frac{\\mathrm d^3}{\\left(\\mathrm dx\\right)^3} \\left(f(x)\\right).<\/p>\n
La notaci\u00f3n de Leibniz es muy \u00fatil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciaci\u00f3n (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciaci\u00f3n parcial. Tambi\u00e9n facilita recordar la regla de la cadena, porque los t\u00e9rminos \u00abd\u00bb parecen cancelarse simb\u00f3licamente:<\/p>\n
<\/p>\n
\\frac{\\mathrm dy}{\\mathrm dx} = \\frac{\\mathrm dy}{\\mathrm du} \\cdot \\frac{\\mathrm du}{\\mathrm dx}.<\/p>\n
En la formulaci\u00f3n popular del c\u00e1lculo mediante l\u00edmites, los t\u00e9rminos \u00abd\u00bb no pueden cancelarse literalmente, porque por s\u00ed mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En an\u00e1lisis no est\u00e1ndar, no obstante, se puede ver como n\u00fameros infinitesimales que se cancelan.<\/p>\n
<\/p>\n
Ciertamente, Leibnitz (s\u00ed) consider\u00f3 la derivada dy\/dx como el cociente de dos \u00abinfinit\u00e9simos\u00bb dy y dx, llamados \u00abdiferenciales\u00bb. Estos infinit\u00e9simos no eran n\u00fameros sino cantidades m\u00e1s peque\u00f1os que cualquier n\u00famero positivo.3<\/p>\n
<\/p>\n
Notaci\u00f3n de Lagrange<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Notaci\u00f3n de Lagrange<\/p>\n
La notaci\u00f3n m\u00e1s simple para diferenciaci\u00f3n, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f\\, en el punto a, se escribe:<\/p>\n
<\/p>\n
f^\\prime(a) para la primera derivada,<\/p>\n
f^{\\prime\\prime}(a) para la segunda derivada,<\/p>\n
f^{\\prime\\prime\\prime}(a) para la tercera derivada,<\/p>\n
f^{(n)}(a)\\, para la en\u00e9sima derivada (n > 3). (Tambi\u00e9n se pueden usar n\u00fameros romanos).<\/p>\n
Se lee \u00abefe prima de equis\u00bb para la primera derivada, \u00abefe dos prima de equis\u00bb para la segunda derivada, etc. Para la funci\u00f3n derivada de f\\, en x\\,, se escribe f^\\prime(x)\\,. De modo parecido, para la segunda derivada de f\\, en x\\,, se escribe f^{\\prime\\prime}(x)\\,, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
<\/p>\n
Notaci\u00f3n de Euler<\/p>\n
Art\u00edculos principales: Notaci\u00f3n de Euler y Notaci\u00f3n de Jacobi.<\/p>\n
\\mathrm D_x f \\, o \\partial_x f\\, (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)<\/p>\n
se lee \u00abd\\, sub x\\, de f\\,\u00bb, y los s\u00edmbolos D y \u2202 deben entenderse como operadores diferenciales.<\/p>\n
<\/p>\n
C\u00e1lculo de la derivada<\/p>\n
La derivada de una funci\u00f3n, en principio, puede ser calculada de la definici\u00f3n, mediante el cociente de diferencias, y despu\u00e9s calcular su l\u00edmite. En la pr\u00e1ctica, \u00fanicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son f\u00e1ciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones m\u00e1s complicadas de otras m\u00e1s simples.<\/p>\n
<\/p>\n
Derivadas de funciones elementales<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Anexo:Derivadas<\/p>\n
La mayor parte de los c\u00e1lculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las m\u00e1s frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.<\/p>\n
<\/p>\n
Derivada de potencias: si<\/p>\n
f(x) = x^r,\\,<\/p>\n
donde r es cualquier n\u00famero real, entonces<\/p>\n
<\/p>\n
f'(x) = rx^{r-1},\\,<\/p>\n
donde quiera que esta funci\u00f3n sea definida. Por ejemplo, si f(x) = x^{1\/4}, entonces<\/p>\n
<\/p>\n
f'(x) = (1\/4)x^{-3\/4},\\,<\/p>\n
y la funci\u00f3n derivada es definida s\u00f3lo para n\u00fameros positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f\u2032(x) es cero para x \u2260 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).<\/p>\n
<\/p>\n
Funciones exponenciales y logar\u00edtmicas:<\/p>\n
\\frac{d}{dx}e^x = e^x.<\/p>\n
\\frac{d}{dx}a^x = \\ln(a)a^x.<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x},\\qquad x > 0.<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\log_a(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}.<\/p>\n
funciones trigonom\u00e9tricas:<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\sin(x) = \\cos(x).<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\cos(x) = -\\sin(x).<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\tan(x) = \\sec^2(x) = \\frac{1}{\\cos^2(x)} = 1+\\tan^2(x).<\/p>\n
Funciones trigonom\u00e9tricas inversas:<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\arcsin(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}.<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\arccos(x)= -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}.<\/p>\n
\\frac{d}{dx}\\arctan(x)= \\frac{1}{{1+x^2}}.<\/p>\n
Reglas pr\u00e1cticas de derivaci\u00f3n<\/p>\n
Art\u00edculo principal: Reglas de diferenciaci\u00f3n<\/p>\n
En muchos casos, el c\u00e1lculo de l\u00edmites complicados mediante la aplicaci\u00f3n directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicaci\u00f3n de reglas de diferenciaci\u00f3n. Algunas de las reglas m\u00e1s b\u00e1sicas son las siguientes:<\/p>\n
<\/p>\n
Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces<\/p>\n
f' = 0. \\,<\/p>\n
Regla de la suma:<\/p>\n
(\\alpha f + \\beta g)' = \\alpha f' + \\beta g' \\, para toda funci\u00f3n f y g y todo n\u00famero real \\alpha y \\beta.<\/p>\n
Regla del producto:<\/p>\n
(fg)' = f 'g + fg' \\, para toda funci\u00f3n f y g. Por extensi\u00f3n, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una funci\u00f3n es la constante multiplicada por la derivada de la funci\u00f3n. Por ejemplo, \\frac{d}{dr}\\pi r^2=2 \\pi r. \\,<\/p>\n
Regla del cociente:<\/p>\n
\\left(\\frac{f}{g} \\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2} para toda funci\u00f3n f y g para todos aquellos valores tales que g \u2260 0.<\/p>\n
Regla de la cadena: Si f(x) = h(g(x)), entonces4<\/p>\n
f'(x) = h'(g(x)) \\cdot g'(x). \\,<\/p>\n
Ejemplo de c\u00e1lculo[editar]<\/p>\n
La derivada de<\/p>\n
<\/p>\n
f(x) = x^4 + \\sin (x^2) - \\ln(x) e^x + 7\\,<\/p>\n
es<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
\\begin{align}<\/p>\n
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \\frac{d\\left(x^2\\right)}{dx}\\cos (x^2) - \\frac{d\\left(\\ln {x}\\right)}{dx} e^x - \\ln{x} \\frac{d\\left(e^x\\right)}{dx} + 0 \\\\<\/p>\n
&= 4x^3 + 2x\\cos (x^2) - \\frac{1}{x} e^x - \\ln(x) e^x.<\/p>\n
\\end{align}<\/p>\n
Aqu\u00ed, el segundo t\u00e9rmino se calcul\u00f3 usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x2, x4, sin(x), ln(x) y exp(x) = ex, as\u00ed como la constante 7, tambi\u00e9n fueron usadas.<\/p>\n
<\/p>\n
Diferenciabilidad<\/p>\n
Una funci\u00f3n con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una funci\u00f3n es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.<\/p>\n
<\/p>\n
Si una funci\u00f3n es diferenciable en un punto x, la funci\u00f3n es continua en ese punto. Sin embargo, una funci\u00f3n continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto (punto cr\u00edtico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su rec\u00edproco.<\/p>\n
<\/p>\n
La derivada de una funci\u00f3n diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y as\u00ed sucesivamente. Esto tambi\u00e9n recibe el nombre de derivaci\u00f3n sucesiva o derivadas de orden superior.<\/p>\n
<\/p>\n
Generalizaciones del concepto de derivada<\/p>\n
El concepto simple de derivada de una funci\u00f3n real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:<\/p>\n
<\/p>\n
Para funciones de varias variables:<\/p>\n
Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.<\/p>\n
Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.<\/p>\n
En an\u00e1lisis complejo:<\/p>\n
Funci\u00f3n holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas.<\/p>\n
En an\u00e1lisis funcional:<\/p>\n
Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un n\u00famero entero como sucede en las derivadas convencionales.<\/p>\n
Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensi\u00f3n no finita.<\/p>\n
Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, as\u00ed puede definirse la derivada de una funci\u00f3n discontinua como una distribuci\u00f3n.<\/p>\n
Diferenciablidad, otra generalizaci\u00f3n posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:<\/p>\n
Funci\u00f3n diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales seg\u00fan cualquiera de las variables (El argumento de una funci\u00f3n de varias variables pertenece a un espacio del tipo \\R^n de dimensi\u00f3n n finita).<\/p>\n
La diferenciaci\u00f3n en el sentido de Fr\u00e9chet generaliza el concepto de funci\u00f3n diferenciable a espacios de Banach de dimensi\u00f3n infinita.<\/p>\n
La Derivaci\u00f3n un concepto de geometr\u00eda diferencial.<\/p>\n