{"id":335,"date":"2014-11-12T12:30:26","date_gmt":"2014-11-12T12:30:26","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/guifecep\/?page_id=335"},"modified":"2014-11-12T12:30:26","modified_gmt":"2014-11-12T12:30:26","slug":"ejercicios-razon-de-cambio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/guifecep\/ejercicios-razon-de-cambio\/","title":{"rendered":"Ejercicios Raz\u00f3n de Cambio"},"content":{"rendered":"

razon de cambio-cb<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Raz\u00f3n de cambio<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
El movimiento de un autom\u00f3vil en una carretera est\u00e1 esencialmente determinado si conocemos su posici\u00f3n s como funci\u00f3n del tiempo:<\/td>\n<\/tr>\n
s<\/em> = S<\/em> ( t<\/em> )\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (1)<\/td>\n<\/tr>\n
El gr\u00e1fico que vemos representa la funci\u00f3n S<\/em>( t<\/em> ) como una curva en el plano s<\/em> - t<\/em> llamada la trayectoria<\/em><\/strong><\/a> del veh\u00edculo. Esta figura muestra la posici\u00f3n de un auto que se aproxima y pasa un \"cuello de botella\" ubicada en la carretera. Esta trayectoria particular puede ser construida a partir de una serie de exposiciones fotogr\u00e1ficas. Por ejemplo, en este caso, el tiempo de cada exposici\u00f3n est\u00e1 en segundos y la distancia en metros, los correspondientes valores de s<\/em> y t<\/em> pueden ser calculados en esta gr\u00e1fica. Los postes del alumbrado est\u00e1n ubicados cada 50 metros.<\/td>\n<\/tr>\n
El problema fundamental en el estudio del movimiento de un autom\u00f3vil (o de una part\u00edcula<\/a>, aqu\u00ed el punto del autom\u00f3vil se considera el punto medio ubicado en el parachoques frontal) es encontrar la velocidad como funci\u00f3n del tiempo, a partir del conocimiento de la trayectoria S<\/em>( t<\/em> ).<\/td>\n<\/tr>\n
Si la velocidad<\/a> fuese constante, ella puede calcularse como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, esto es<\/td>\n<\/tr>\n
de tal forma que la trayectoria de tal movimiento est\u00e1 modelada por la l\u00ednea recta s<\/em> = vt<\/em>. Y es evidente que no es el caso que se describe en la gr\u00e1fica anterior. M\u00e1s a\u00fan si en alg\u00fan momento el m\u00f3vil sigue una trayectoria recta es porque toma una velocidad constante. Y como vemos aqu\u00ed, en la gr\u00e1fica, en ning\u00fan intervalo de tiempo la trayectoria es un segmento de l\u00ednea recta. Aqu\u00ed surge la dificultad para el c\u00e1lculo de la velocidad en cualquier instante de tiempo.<\/td>\n<\/tr>\n
Vamos a calcularla pensando \"en peque\u00f1o\", en intervalos de tiempo peque\u00f1\u00edsimo, por ejemplo el intervalo [t<\/em>, t<\/em> + Dt<\/em>] con Dt muy peque\u00f1o,<\/em> la velocidad es \"casi\" constante, o de otra forma si el intervalo [t<\/em>, t<\/em> + Dt<\/em>] es peque\u00f1o la velocidad no var\u00eda mucho de una cantidad constante. De otra forma, segmentos peque\u00f1os de trayectorias se pueden considerar como una l\u00ednea recta, de tal forma que podemos calcular la velocidad en su forma m\u00e1s simple (cuando es constante): la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido.<\/td>\n<\/tr>\n
La distancia transcurrida en el intervalo de tiempo [t<\/em>, t<\/em> + Dt<\/em>] es S<\/em> ( t<\/em> + Dt<\/em> ) - S<\/em> ( t<\/em> ), de tal forma que la velocidad es<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (2)<\/td>\n<\/tr>\n
Volvemos a insistir, la igualdad en (2) es la velocidad que lleva el autom\u00f3vil (o la part\u00edcula) durante el intervalo de tiempo [t<\/em>, t<\/em> + Dt<\/em>]. De modo que para peque\u00f1os valores de Dt<\/em> la velocidad en (2) puede ser computada, de hecho los radares-pistolas<\/a> de la polic\u00eda calculan as\u00ed la velocidad del autom\u00f3vil que est\u00e1n apuntando.<\/td>\n<\/tr>\n
Cuando Dt<\/em> se hace m\u00e1s peque\u00f1o, y por ende Ds<\/em>, la expresi\u00f3n en (2) llega a ser cada vez m\u00e1s precisa, y en un proceso de l\u00edmite cuando Dt <\/em>tiende a cero se tiene la velocidad instant\u00e1nea del m\u00f3vil en el instante t<\/em>, esto es<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (3)<\/td>\n<\/tr>\n
La expresi\u00f3n en (3) es la que justifica la siguiente notaci\u00f3n para derivadas (debido al Leibnitz):<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

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