Teorema del valor intermedio<\/p>\n
Para el teorema de c\u00e1lculo diferencial<\/a>, v\u00e9ase Teorema del valor medio.<\/p>\n Teorema de los valores intermedios.<\/p>\n <\/p>\n En an\u00e1lisis matem\u00e1tico el teorema del valor intermedio<\/a> (o m\u00e1s correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas<\/a> reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una funci\u00f3n es continua en un intervalo<\/a>, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.<\/p>\n <\/p>\n El teorema de los valores intermedios establece que:<\/p>\n <\/p>\n Sea f\\ una funci\u00f3n continua en un intervalo [a,b]\\ . Entonces para cada u\\ tal que f(a)<u<f(b)\\ , existe al menos un c\\ dentro de (a,b)\\ tal que f(c)=u\\ .<\/p>\n <\/p>\n Enunciados equivalentes<\/p>\n <\/p>\n Si f es una funci\u00f3n continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un n\u00famero entre f(a)y f(b), entonces existe un c \u2208 [a, b] tal que f(c) = u.<\/p>\n Como consecuencia del teorema de Weierstrass<\/a>, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.<\/p>\n Si X y Y son espacios topol\u00f3gicos,<\/a> f : X \u2192 Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.<\/a><\/p>\n Un subconjunto<\/a> de R es conexo si y solo si es un intervalo.<\/p>\n Teorema de Bolzano<\/a>: caso particular u=0\\ .<\/p>\n <\/p>\n Historia<\/p>\n <\/p>\n El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostraci\u00f3n en 1821.1 Ambos persegu\u00edan el fin de formalizar el an\u00e1lisis de funciones y el trabajo de Lagrange<\/a>. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin prob\u00f3 el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansi\u00f3n decimal de la soluci\u00f3n: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un d\u00edgito decimal adicional en cada paso de la iteraci\u00f3n<\/a>.2 Antes de que la definici\u00f3n formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definici\u00f3n de funci\u00f3n continua. Otros autores asum\u00edan que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visi\u00f3n de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noci\u00f3n general de continuidad (en t\u00e9rminos de infinitesimales<\/a> en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.<\/p>\n <\/p>\n El rec\u00edproco<\/a> del teorema es falso. No es necesario que una funci\u00f3n sea continua para que la conclusi\u00f3n del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux<\/a> demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).<\/p>\n Demostraci\u00f3n<\/p>\n <\/p>\n