{"id":347,"date":"2014-11-12T13:34:09","date_gmt":"2014-11-12T13:34:09","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/guifecep\/?page_id=347"},"modified":"2014-11-12T13:35:59","modified_gmt":"2014-11-12T13:35:59","slug":"teorema-del-punto-fijo-de-banach","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/guifecep\/teorema-del-punto-fijo-de-banach\/","title":{"rendered":"Teorema del punto fijo de Banach"},"content":{"rendered":"

En an\u00e1lisis matem\u00e1tico el teorema del punto fijo de Banach (tambi\u00e9n llamado teorema de la aplicaci\u00f3n contractiva<\/a>) es una de las herramientas m\u00e1s importantes para demostrar la existencia de soluciones de numerosos problemas matem\u00e1ticos. El teorema garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas funciones definidas sobre espacios m\u00e9tricos y proporciona un m\u00e9todo para encontrarlos. Debe su nombre a Stefan Banach (1892\u20131945), quien fue el primero en enunciarlo en 1922[cita requerida].<\/p>\n

Enunciado<\/p>\n

 <\/p>\n

Sea (X,d) un espacio m\u00e9trico completo y f una aplicaci\u00f3n. Se dice que f es contractiva si existe una constante K con 0<K<1 tal que d(f(x),f(y)) \\leq Kd(x,y) para cualesquiera x,y\\in X. Un punto fijo x_0 de f es un punto de X tal que f(x_0) = x_0. Entonces el teorema del punto fijo de Banach dice:<\/p>\n

 <\/p>\n

Sea (X,d) un espacio m\u00e9trico completo y sea f: X \u2192 X una aplicaci\u00f3n contractiva en X. Entonces existe un \u00fanico punto fijo de f.<\/p>\n

 <\/p>\n

\u00a0 Stefan Banach<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Adem\u00e1s, el teorema establece que para todo punto x de X la sucesi\u00f3n { x, f(x), f(f(x)),...} converge<\/a> a dicho punto fijo.<\/p>\n

Demostraci\u00f3n<\/p>\n

 <\/p>\n

Existencia del punto fijo: La demostraci\u00f3n se sigue de que la sucesi\u00f3n as\u00ed definida es una sucesi\u00f3n de Cauchy<\/a> por ser la funci\u00f3n contractiva. Como X es completo, esta sucesi\u00f3n converge a un punto x_0 de X.<\/p>\n

 <\/p>\n

Unicidad<\/a> del punto fijo: Supongamos que x_0 y y_0 son dos puntos fijos distintos de f situados a una distancia d uno del otro. Entonces,<\/p>\n

0 < d = d(x_0,y_0) = d(f(x_0),f(y_0))<\/p>\n

y, como f es contractiva<\/a>,<\/p>\n

d(f(x_0),f(y_0) \\leq Kd(x_0,y_0) < d(x_0,y_0) = d<\/p>\n

De lo anterior se sigue que d < d, pero esto es absurdo, por lo que f no puede tener dos puntos fijos distintos.<\/p>\n

Aplicaciones<\/p>\n

 <\/p>\n

Se trata de una herramienta b\u00e1sica en la demostraci\u00f3n de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales<\/a> (V\u00e9ase el teorema de Picard-Lindel\u00f6f). Otro de los usos de este resultado radica en el an\u00e1lisis de sistemas din\u00e1micos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de poblaci\u00f3n<\/a>, modelos ca\u00f3ticos<\/a>, etc\u00e9tera. Tambi\u00e9n es importante en el estudio de m\u00e9todos iterativos<\/a> utilizados en el c\u00e1lculo num\u00e9rico<\/a>, por ejemplo en algunos problemas de ingenier\u00eda. Incluso determinados fractales<\/a> son puntos fijos de ciertas contracciones.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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