{"id":41,"date":"2009-03-07T14:46:19","date_gmt":"2009-03-07T19:46:19","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/maherrer\/?page_id=41"},"modified":"2009-03-07T15:01:48","modified_gmt":"2009-03-07T20:01:48","slug":"diferenciacion-y-diferenciabilidad","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/maherrer\/diferenciacion-y-diferenciabilidad\/","title":{"rendered":"Diferenciaci\u00f3n y diferenciabilidad"},"content":{"rendered":"<p><!--[if !mso]&gt; &lt;!  v\\:* {behavior:url(#default#VML);} o\\:* {behavior:url(#default#VML);} w\\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} --> <!--[endif]--><!--[if gte mso 9]&gt;  Normal 0 21   false false false        MicrosoftInternetExplorer4  &lt;![endif]--><!--[if gte mso 9]&gt;   &lt;![endif]--><!--[endif]--><!--  \/* Style Definitions *\/  p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal \t{mso-style-parent:\"\"; \tmargin:0cm; \tmargin-bottom:.0001pt; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-fareast-font-family:\"Times New Roman\"; \tmso-bidi-language:AR-SA;} h2 \t{mso-style-next:Normal; \tmargin-top:12.0pt; \tmargin-right:0cm; \tmargin-bottom:3.0pt; \tmargin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tpage-break-after:avoid; \tmso-outline-level:2; \tfont-size:14.0pt; \tfont-family:Arial; \tmso-bidi-language:AR-SA; \tfont-weight:bold; \tfont-style:italic;} h3 \t{mso-margin-top-alt:auto; \tmargin-right:0cm; \tmso-margin-bottom-alt:auto; \tmargin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tmso-outline-level:3; \tfont-size:13.5pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-bidi-language:AR-SA; \tfont-weight:bold;} a:link, span.MsoHyperlink \t{color:blue; \ttext-decoration:underline; \ttext-underline:single;} a:visited, span.MsoHyperlinkFollowed \t{color:purple; \ttext-decoration:underline; \ttext-underline:single;} p \t{mso-margin-top-alt:auto; \tmargin-right:0cm; \tmso-margin-bottom-alt:auto; \tmargin-left:0cm; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:12.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-fareast-font-family:\"Times New Roman\"; \tmso-bidi-language:AR-SA;} span.texhtml \t{mso-style-name:texhtml;} span.mw-headline \t{mso-style-name:mw-headline;} @page Section1 \t{size:612.0pt 792.0pt; \tmargin:70.85pt 3.0cm 70.85pt 3.0cm; \tmso-header-margin:36.0pt; \tmso-footer-margin:36.0pt; \tmso-paper-source:0;} div.Section1 \t{page:Section1;} --><!--[if gte mso 10]&gt; &lt;!   \/* Style Definitions *\/  table.MsoNormalTable \t{mso-style-name:\"Tabla normal\"; \tmso-tstyle-rowband-size:0; \tmso-tstyle-colband-size:0; \tmso-style-noshow:yes; \tmso-style-parent:\"\"; \tmso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; \tmso-para-margin:0cm; \tmso-para-margin-bottom:.0001pt; \tmso-pagination:widow-orphan; \tfont-size:10.0pt; \tfont-family:\"Times New Roman\"; \tmso-ansi-language:#0400; \tmso-fareast-language:#0400; \tmso-bidi-language:#0400;} --> <!--[endif]--><\/p>\n<h2><span class=\"mw-headline\">Diferenciaci\u00f3n y diferenciabilidad<\/span><\/h2>\n<p>La <strong>Diferenciaci\u00f3n<\/strong> puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si est\u00e1 determinada una <a title=\"Relaci\u00f3n matem\u00e1tica\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica\">relaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/a> entre dos objetos.<\/p>\n<p>Una funci\u00f3n es <strong>diferenciable<\/strong> en un punto <span class=\"texhtml\"><em>x<\/em><\/span> si su derivada existe en ese punto; una funci\u00f3n es diferenciable en un <a title=\"Intervalo (matem\u00e1tica)\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29\">intervalo<\/a> si lo es en cada punto <span class=\"texhtml\"><em>x<\/em><\/span> perteneciente al intervalo. Si una funci\u00f3n no es <a title=\"Funci\u00f3n continua\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Funci%C3%B3n_continua\">continua<\/a> en <em>c<\/em>, entonces no puede ser diferenciable en <em>c<\/em>; sin embargo, aunque una funci\u00f3n sea continua en <em>c<\/em>, puede no ser diferenciable. Es decir, toda funci\u00f3n diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda funci\u00f3n continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).<\/p>\n<h3><a name=\"Derivadas_de_orden_superior\"><\/a><span class=\"mw-headline\">Derivadas de orden superior<\/span><\/h3>\n<p>La derivada de una funci\u00f3n diferenciable puede a su vez ser diferenciable, habl\u00e1ndose entonces de <strong>segunda derivada<\/strong> de la funci\u00f3n diferenciable como la derivada de la derivada de \u00e9sta. An\u00e1logamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de <strong>tercera derivada<\/strong>, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>La notaci\u00f3n m\u00e1s simple para diferenciaci\u00f3n, en uso actual, es debida a <a title=\"Joseph-Louis de Lagrange\" href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Joseph-Louis_de_Lagrange\">Lagrange<\/a>. Para identificar las derivadas de <span class=\"texhtml\"><em>f<\/em>(<em>x<\/em>)<\/span> en el punto <span class=\"texhtml\"><em>a<\/em><\/span>, se escribe:<\/p>\n<ul>\n<li><!--[if gte vml 1]&gt;                    &lt;![endif]--><!--[if !vml]-->para la primera derivada,<\/li>\n<li><!--[if gte vml 1]&gt;  &lt;![endif]--><!--[if !vml]-->para la segunda derivada,<\/li>\n<li><!--[if gte vml 1]&gt;  &lt;![endif]--><!--[if !vml]-->para la tercera derivada,<\/li>\n<li><!--[if gte vml 1]&gt;  &lt;![endif]--><!--[if !vml]-->para la en\u00e9sima derivada (<span class=\"texhtml\"><em>n<\/em> &gt; 3<\/span>).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para la funci\u00f3n derivada de <span class=\"texhtml\"><em>f<\/em>(<em>x<\/em>)<\/span>, se escribe <!--[if gte vml 1]&gt;  &lt;![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->. De modo parecido, para la segunda derivada de <span class=\"texhtml\"><em>f<\/em>(<em>x<\/em>)<\/span> se escribe <!--[if gte vml 1]&gt;  &lt;![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p><!--[if gte mso 9]&gt;  Normal 0 21   false false false        MicrosoftInternetExplorer4  &lt;![endif]--><!--[if gte mso 9]&gt;   &lt;![endif]--><\/p>\n<h2><span class=\"mw-headline\">Cociente diferencial de Newton<\/span><\/h2>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"\/DOCUME~1\/cyber\/CONFIG~1\/Temp\/moz-screenshot.jpg\" alt=\"\" \/><img decoding=\"async\" src=\"\/DOCUME~1\/cyber\/CONFIG~1\/Temp\/moz-screenshot-1.jpg\" alt=\"\" \/><img decoding=\"async\" src=\"\/DOCUME~1\/cyber\/CONFIG~1\/Temp\/moz-screenshot-2.jpg\" alt=\"\" \/><img decoding=\"async\" src=\"\/DOCUME~1\/cyber\/CONFIG~1\/Temp\/moz-screenshot-3.jpg\" alt=\"\" \/><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/8\/8c\/Derivative.png\"> <\/p>\n<p><span class=\"texhtml\">Las derivadas se definen tomando el l\u00edmite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.<\/span><\/p>\n<p><span class=\"texhtml\">Es dif\u00edcil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funci\u00f3n porque s\u00f3lo conocemos un punto de \u00e9sta, el punto donde ha de ser tangente a la funci\u00f3n. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el l\u00edmite de las pendientes de las secantes pr\u00f3ximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.<\/span><\/p>\n<p><span class=\"texhtml\">Para obtener estas pendientes, tomemos un n\u00famero arbitrariamente peque\u00f1o que llamaremos h. h representa una peque\u00f1a variaci\u00f3n en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es<\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/math\/d\/0\/0\/d008a421ca44480f48340a522253c552.png\"><\/p>\n<p><span class=\"texhtml\">Esta expresi\u00f3n es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el l\u00edmite del valor del cociente diferencial conforme las l\u00edneas secantes se acercan m\u00e1s a la tangente:<\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/math\/6\/a\/f\/6af2e89572c3ff3a95afbdf0a2418ce5.png\"><\/p>\n<p><span class=\"texhtml\">Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la funci\u00f3n cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.<\/p>\n<p>Puesto que la inmediata sustituci\u00f3n de h por 0 da como resultado una divisi\u00f3n por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una t\u00e9cnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polin\u00f3micas, pero para la mayor\u00eda de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciaci\u00f3n de la mayor\u00eda de las funciones descritas.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Diferenciaci\u00f3n y diferenciabilidad La Diferenciaci\u00f3n puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si est\u00e1 determinada una relaci\u00f3n matem\u00e1tica entre dos objetos. 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