Sea T el operador lineal definido sobre M_{2\times 2} con regla de correspondenciaT(A)=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}A-A\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}
a. Determine una base y dimensión para el kernel y recorrido de T.
b. ¿Es T invertible? Justifique su respuesta.
c. Halle T^2.
d. Determine los valores propios de T^2. ¿Es T^2 diagonalizable?
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
a. Sea f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} una función definida comof((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2Entonces es verdadero que \forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0.
b. Sean v_1 y v_2 dos vectores propios de una matriz A, entonces v_1+v_2 también es un vector propio de A.
Sea V=\mathbb{P}_2. Sea el subconjunto H definido comoH=\{ p(x)\in \mathbb{P}_2 \;/\; p'(0)+p''(0)=0\}Determine si H es un subespacio vectorial; si lo es, halle una base y dimensión de H.
Sea V=\mathbb{R}^3. Sean los conjuntos:\begin{aligned}W&=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 / (x,y,z)=(0,0,1)+(0,1,2)t\; ;\; t\in \mathbb{R}\}\\U&= \{ u\in \mathbb{R}^2 / u=f(w)\; ;\; w\in W\}\end{aligned}y sea la función f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2 tal que f(x,y,z)=(4x-2y,y+z)Determine:
a. Si f es una transformación lineal.
b. La representación gráfica de W.
c. La representación gráfica de U.
Sea la matriz A=\begin{pmatrix}1&1&2&4\\3&c&2&8\\0&0&2&2 \end{pmatrix}Halle los posibles valores de c para que la dim\;Im(A) sea 1, 2, 3 y 4. Justifique cada una de sus respuestas.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
a. Si V es un espacio vectorial con operaciones cualesquiera, entonces (v')'=v para todo vector v que pertenece a V.
Nota: El inverso aditivo de v se denota como v'.
b. Sean W y H dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Si dim\;W=dim\;H, entonces W=H.
c. Si A es una matriz de tamaño 3\times 5, entonces dim\;Nu(A)\ge 2.
Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases del espacio vectorial V=\mathbb{P}_2. Suponga que:\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}Encuentre los vectores de ambas bases.
Para la ecuación -2x^2+4xy+y^2+2x-1=0. Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.
Sea V=\mathbb{R}^4 y los subespacios:\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}Halle una base y dimensión para S+T y S\cap T.
Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:
a. Si A es diagonalizable.
b. La matriz A.
![Álgebra lineal [MATG1003]](https://blog.espol.edu.ec/matg1003/files/2018/09/cropped-nube-matg1003.png)