Autor: Fernando Tenesaca

Definición. Sea A una matriz de orden m\times n y sea el espacio nulo de una matriz, N_A, tal queN_A=\left\{x\in \mathbb{R^n}: Ax=0 \right\}entonces, N_A es un subespacio de \mathbb{R^n}.

Observación. El espacio nulo de una matriz, N_A, se lo conoce también como el núcleo o el kernel de la matriz A de orden m\times n.

Notación. El espacio nulo de una matriz, N_A, también se denota como N(A).

Definición. Sea N_A el espacio nulo de una matriz A de orden m\times n. Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo de A.

Notación. La nulidad del núcleo de una matriz A de orden m\times n se denota como \nu_A o también \nu(A).

Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces A es invertible si y solo si \nu_A=dim\ N_A=0.

Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A esta dada porIm_A=\left\{y\in \mathbb{R^m}: Ax=y\quad para\ alguna\ x\in \mathbb{R^n} \right\}

Observación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, se la conoce también como el recorrido de la matriz A de orden m\times n.

Notación. La imagen de una matriz A de orden m\times n, Im_A, también se denota como Im(A)=Re(A)=Re_A=Rec(A).

Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces la imagen de A es un subespacio de \mathbb{R^m}.

Definición. Sea A una matriz de orden m\times n. Entonces el rango de A esta dada por\rho_A=dim\ Im_A.

Definición. Sea A una matriz de orden m\times n, sean \left\{r_1,r_2,...,r_m\right\} las filas de A y \left\{c_1,c_2,...,c_n\right\} las columnas de A. Entonces se defineR_A=\ espacio\ fila\ de\ A=gen\left\{r_1,r_2,...,r_m\right\}yC_A=\ espacio\ columna\ de\ A=gen\left\{c_1,c_2,...,c_n\right\}

Notación. El espacio fila de una matriz A de orden m\times n, R_A, también se denota como R(A)=filas(A); además, El espacio columna de una matriz A de orden m\times n, C_A, también se denota como C(A)=col(A).

Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces dim\ R_A=dim\ C_A=dim\ Im_A=\rho_A

Teorema. Para cualquier matriz A de orden m\times n, C_A=Im_A; es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.

Teorema. Sea A una matriz de orden m\times n, Entonces \rho_A+\nu_A=n; es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.

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Definición. Sea B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y v un vector de V. Si se expresa v como combinación lineal de B, es decirv=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n,entonces el vector u=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n \right) representa las coordenadas del vector v en función de B donde el vector u es un vector coordenado.

Notación. El vector coordenado u que representa las coordenadas del vector v en función de B se denota por \left[v\right]_B=u.

Ejemplo. Sean V=\mathbb{R^2} y \scriptsize{B=\left\{\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \right\}}. Si el vector \scriptsize{v=\left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right)} y el vector \scriptsize{u=\left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right)} entonces denote las coordenadas del vector v respecto al conjunto B.

Solución. Sea u el vector que representa las coordenadas del vector v en función de B, tal que\begin{array}{rcc} \left[v\right]_B & = & u \\ \left[v\right]_B & = & \left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right) \end{array}Entonces, por definición, se expresa v como combinación lineal de B, es decir\begin{array}{ccl} v & = & \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\ v_1 + {3/2}\ v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right)+{3/2}\left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \end{array}

Teorema. Sea V un espacio vectorial con una base B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}. Entonces

1)  \left[\delta v\right]_B=\delta \left[v\right]_B.
2) \left[v+w\right]_B=\left[v\right]_B+\left[w\right]_B.

Definición. Sea A una matriz de n\times n columnas, se denomina matriz de cambio de base o matriz de transición si las columnas representan los vectores coordenados de la base B_1 en función de la base B_2 o viceversa. De forma general se tienev_j=\alpha_{1j}v_1+\alpha_{2j}v_2+...+\alpha_{nj}v_nes decir,\left[v_j\right]_{B_2}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1j}\\\alpha_{2j}\\ \vdots \\\alpha_{nj} \end{array}\right)=u_jde dondeA=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \\ \uparrow&\uparrow&\uparrow& &\uparrow \\ \left[v_1\right]_{B_2} & \left[v_2\right]_{B_2}& \left[v_3\right]_{B_2} &...&\left[v_n\right]_{B_2} \end{pmatrix}

Notación. Sean B_1=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\} y B_2=\left\{u_1,u_2,...,u_n\right\} bases de un espacio vectorial V, entonces la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 se denotaA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}siendo\begin{array}{ccl} v_1&=&\alpha_{11}u_1+\alpha_{21}u_2+...+\alpha_{n1}u_n \\v_2&=&\alpha_{21}u_1+\alpha_{22}u_2+...+\alpha_{n2}u_n \\ \vdots &=& \vdots\\ v_n&=&\alpha_{n1}u_n+\alpha_{n2}u_n+...+\alpha_{nn}u_n\end{array}

Observación. Por ningún motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originaría una nueva matriz de cambio de base. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base.

Teorema. Sean B_1 y B_2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces para todo v\in V\left[v\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[v\right]_{B_1}

Teorema. Sea A la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Entonces A^{-1} es la matriz de cambio de base de B_2 a B_1, es decirA_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}

Ejemplo. Sean B_1=\left\{u_1,u_2\right\} y B_2=\left\{1+2x,2+x\right\} bases de \wp_1; y, sean A=\scriptsize{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. Determine:

a) La matriz A_{B_2B_1}.
b) La base B_1.

Solución.

Literal a. Para determinar A_{B_2B_1} se deben expresar los vectores de la base B_2 como combinación lineal de los vectores de la base B_1; pero como se desconocen los vectores de la base B_1 entonces se puede determinar la matriz inversa de A_{B_1B_2} que si es conocida y por teorema se determina que A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}.

Por consiguiente, A_{B_2B_1}=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.

Literal b. Al conocer la base B_2 y la matriz de cambio de base de B_1 a B_2 por teorema se determina que \left[u_1\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_1\right]_{B_1} es decir\left[u_1\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}de dondeu_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7xDe la misma forma, por teorema se determina que \left[u_2\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_2\right]_{B_1} es decir\left[u_2\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}de dondeu_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3Por consiguiente, la base B_1=\left\{8+7x,3\right\}.

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Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
\small{\begin{array}{lrcl}
{Intersecci\acute{o}n}:& H \cap W &=& \left\{ v\in V/v\in H \wedge v\in W\right\}\\
{Uni\acute{o}n}:& H \cup W &=& \left\{ v\in V/v\in H \vee v\in W\right\}\\
{Suma}:& H+W &=& \left\{ v=h\oplus w \in V/ h\in H \wedge w\in W\right\}
\end{array}}

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cap W y H + W también son subespacios vectoriales de V.

Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de V no necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de V, a menos que uno este contenido en el otro.

Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de V es otro subespacio de V.\small{\begin{array}{rcl}
H &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=x\right\}\\
W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=-x\right\}
\end{array}}

Solución. (contraejemplo) \begin{array}{rcl} H\cup W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}}/(x,y) \in H \vee (x,y)\in W\right\} \end{array}

Si \forall\ (x,y),(p,q)\in H\cup W : (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que\begin{array}{rcl} (x,y)\in H\cup W &\Longrightarrow & (x,y)\in H \vee (x,y)\in W \\ (p,q)\in H\cup W &\Longrightarrow & (p,q)\in H \vee (p,q)\in W \end{array}de donde\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\in H &\Longrightarrow & (x,y)\oplus(p,q)\in H \\ (x,y),(p,q)\in W &\Longrightarrow &(x,y)\oplus(p,q)\in W \end{array} es decir, \begin{array}{rcl} (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W \end{array}; sin embargo, si (1,1),(1,-1)\in H\cup W entonces (1,1)\oplus(1,-1)=(2,0)\notin H\cup W.

Por consiguiente, H\cup W no es un subespacio vectorial de V.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H \cup W es un subespacio vectorial de V si y solo si H\subseteq W o W\subseteq H.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V donde H=gen\left\{P\right\} y W=gen\left\{Q\right\}. Entonces H+W=gen\left\{P\cup Q\right\}.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimensión finita. Entoncesdim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\cap W)

Definición. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. La suma H+W se denomina suma directa de H y W, denotada como H\oplus W, si cada vector en el espacio H+W tiene una única representación como la suma de un vector en H y un vector en W.

Teorema. Sean H y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Entonces H+W=H\oplus W si y solo si H\cap W=\left\{0_V\right\}.

Ejemplo. Sean H y W subespacios de \mathbb{R^3} dado por\begin{array}{rcl}H&=&gen\left\{(-1,1,3)\right\} \\ W&=&\left\{(x,y,z)/2x-y+3z=0\right\}\end{array} Determine

a) El subespacio de la intersección entre H y W.
b) Muestre que H\cup W no es un subespacio de \mathbb{R^3}.
c) Que P=\left\{p\in \mathbb{R^3} / p=h+w\ {;}\ h\in H\ y\ w\in W\right\} es \mathbb{R^3}.

Solución.

Literal a. Sean \scriptsize{H=\left\{ \left(\begin{array}{r}-a\\a\\3a \end{array}\right) {/}\ \forall\ a\in \mathbb{R} \right\}} y \scriptsize{W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) {/}\ \forall\ x,z\in \mathbb{R} \right\}} entoncesH\cap W \Longrightarrow \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) = \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) \Longrightarrow a=x=z=0Por consiguiente, \scriptsize{H\cap W=\left\{ \left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right) \right\}}, neutro del espacio vectorial en \mathbb{R^3}.

Literal b. Si H\cup W es subespacio de \mathbb{R^3}, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decirH\cup W = \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) de dondeH\cup W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x-a\\a+2x+3z\\3a+z \end{array}\right) {/}\ x,z,a\in \mathbb{R} \right\}Entonces, \forall\ h,w \in U\ :\ h\oplus w \in U. Si U es H\cup W se tiene que el vector suma que pertenece a U debe pertenecer a H o W, de donde\scriptsize{\left(\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\3a_1 + z_1\end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\3a_2 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \end{array}\right) }Nótese que el vector suma no pertenece ni a H ni a W.

Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial de \mathbb{R^3}.

Literal c. Si P=\mathbb{R^3} (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece P; es decir, que todo vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado en función de los vectores de P.

Si p=h+w, h=\small{\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right)} y w=\small{\left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)} entoncesh+w=\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x-a\\2x+3z+a\\z+3a \end{array}\right)y, por lo tanto, cualquier vector de \mathbb{R^3} puede ser expresado como una combinación lineal, tal que\small{x \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + a \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \quad {,} \quad \left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}}A continuación, se toma un vector típico de \mathbb{R^3} para verificar que puede (el vector típico) ser expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que \alpha_1 \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + \alpha_3 \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} i \\ j \\ k \end{array}\right)Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que\alpha_1=\frac{9i+k-j}{9} \quad{,}\quad \alpha_2=\frac{j-2k}{3} \quad{,}\quad \alpha_3=\frac{k-j}{9}Por consiguiente, cualquier vector de \mathbb{R^3} pertenece a P y P=\mathbb{R^3}.

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Definición. Se denomina base de un espacio vectorial V a un subconjunto finito de vectores \small{A=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}}, si y solo si, A es linealmente independiente y es un conjunto generador de V.

Observación. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendrán el mismo número de vectores.

Ejemplo. Sean \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, demuestre que \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, \mathcal{P}_2.

Solución. Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad\begin{array}{rcl}\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& n \\ \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\ \alpha_1 (x^2+1)+\alpha_2 (3x-1)+\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+\alpha_1 + 3\alpha_2 x - \alpha_2 - 4\alpha_3 x + \alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+(3\alpha_2 - 4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\end{array}Esto implica que\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1 &=&0 \\ 3\alpha_2 -4\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 &=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se tiene que éste tiene solución única y esta dada por \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0; es decir, la igualdad \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x)=0 se cunple solo si \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3. Por tanto, el conjunto \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es linealmente independiente en \wp_2.

Ahora se verifica que el conjunto H genere a todo \wp_2. Para esto, se considera p(x)=ax^2 +bx+c y escalares \alpha_1, \alpha_2 y \alpha_3 tales que \begin{array}{rcl}p(x)&=&\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) \\ &=&\alpha_1 x^2+(3\alpha_2 -4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) \end{array}Lo cual genera el sistema\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1&=&a \\ 3\alpha_2-4\alpha_3&=&b \\\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3&=&c \end{array}\right.Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene solución pues la matriz adjunta del mismo es (A|B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&b\\ 1 & -1 & 1&c \end{array}\right)que en forma escalonada reducida es(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \end{array}\right)Entonces \rho(A|B)=\rho(A)=3. Luego como el sistema siempre tiene solución, independientemente de los valores de a, b y c se concluye que el sistema es consistente; además, su única solución es \alpha_1=a, \alpha_2=4a-b-4c y \alpha_3=3a-b-3c. En consecuencia, cualquier polinomio p(x)=ax^2 +bx+c en \wp_2 puede ser expresado como combinación lineal de los polinomios \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, es decir, \small{\wp_2=gen\left\{f,g,h\right\}}.

Por consiguiente, dado que H es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces H es una base para \wp_2.

Definición. Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V=\left \{ 0_V\right\} (neutro del espacio), entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dim\ V.

La dimensión de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:\begin{array}{rcl}dim\ \mathbb{R^n}&=&n \\ dim\ \wp_n&=&n+1\\ dim\ \mathbb{M_{m\times n}}&=&m\times n\end{array}

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Definición. Sean v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}, n vectores en un espacio vectorial V; entonces, se dice que esos vectores son linealmente dependientes si existen escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, no todos cero, tales que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n=ndonde n es el neutro del espacio vectorial.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo. Sea \wp_1 el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a 1. Determine si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independiente.

Solución. Si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independientes, se tiene que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=n \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0de donde\alpha_1 (x+1)+\alpha_2 (3x+2)+\alpha_3 (4-x)=0x+0Se plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&3\alpha_2&-&\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1&+&2\alpha_2&+&4\alpha_3&=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se obtiene\alpha_1=-14\alpha_3 \qquad \wedge \qquad \alpha_2=5\alpha_3donde \alpha_3 puede tomar cualquier valor o número real distinto de cero.

Por consiguiente, \left\{v_1,v_2,v_3\right\} no constituye un conjunto de vectores linealmente independientes; es decir, los vectores v_1,v_2 y v_3 son linealmente dependientes.

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Definición. Se dice que los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} generan el espacio vectorial V si cualquier vector que pertenece a V puede expresarse como combinación lineal de los mismos; es decir,\forall v\in Vexisten escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, tales que v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_nPor consiguiente, los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} constituyen un conjunto generador de V.

Notación. Conjunto generador de V se denota como V=gen \left \{v_1,v_2,...,v_n\right\}.

Ejemplo. Sea V el espacio vectorial \mathbb{R^3} y sean:v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\ v_3=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)Determine si los vectores v_1,v_2,v_3 constituyen un conjunto generador de V.

Solución. Para determinar si \left\{v_1,v_2,v_3\right\} constituye un conjunto generador de V se verifica si existen constantes \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 tales que:v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3de dondev=\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+\alpha_3\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) Una vez planteado el sistema de ecuaciones lineales asociado, se utiliza un vector característico del espacio vectorial V como parte de la matriz adjunta correspondiente \left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&\alpha_2&+&\alpha_3&=&x \\ 2\alpha_1& & &+&\alpha_3&=&y \\ \alpha_1&+&\alpha_2& & &=&z \end{array}\right.\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1&x\\ 2 & 0 & 1&y\\ 1 & 1 & 0&z \end{array}\right) Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene:\alpha_1=\frac{-2x+2y+z}{3}\quad \alpha_2=\frac{x-y+z}{3}\quad \alpha_3=\frac{4x-y-2z}{3}

Por consiguiente, como los escalares \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 pueden expresarse en función de las componentes del vector característico de V; entonces el conjunto de vectores, \left\{v_1,v_2,v_3\right\}, constituye un conjunto generador de V, es decir, V=gen \left \{v_1,v_2,v_3\right\}.

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