Fernando Tenesaca | | Álgebra lineal [MATG1003]

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea $V$ el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden $2$ , con las operaciones usuales. Se define, en $V$ , el producto interno $\langle A|B \rangle=tr(B^T A)$ (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz $B$ y la matriz $A$ ). Considerando el subespacio $H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ de $V$ , determine:

a.	Una base ortonormal para $H$ .
b.	El complemento ortogonal de $H$
c.	La proyección del vector $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1&2\\2&-1 \end{array} \end{pmatrix}$ sobre $H$ .

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R})$ una transformación lineal cuya regla de correspondencia es $T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c$ . Determine, de ser posible, los valores de $k$ tal que $T$ sea un isomorfismo.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ con producto interno $\langle \cdot|\cdot \rangle$ . Si $\mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es un conjunto de vectores en $V$ , la matriz de Gram de $\mathcal{A}$ es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es $M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1}$ tal que $a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle$ .

V

es el espacio vectorial

\mathbb{C}^2

, con las operaciones usuales y el producto interno

\langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2

, determine la matriz de Gram de

\mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}

Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:

i.	Si $V$ es un espacio vectorial real, entonces $M_{\mathcal{A}}$ es una matriz simétrica.
ii.	Si $\mathcal{A}$ es una lista de vectores ortogonales, entonces su matriz de Gram es diagonal.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.

A

B

son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces

A

B

son semejantes.

\bigcirc

\bigcirc

Sea

V

un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

, con producto interno

\langle \cdot|\cdot \rangle

. Si

S=\{ v_1,v_2,v_3 \}

es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces

S

es un conjunto linealmente independiente.

\bigcirc

\bigcirc

T:V \longrightarrow W

es una transformación lineal,

U

un subespacio de W, entonces

H=\{ v\in V : T(v) \in U \}

es un subespacio de

V

\bigcirc

\bigcirc

A

es una matriz cuadrada de orden

n

, entonces

A

es diagonalizable si y sólo si es simétrica.

\bigcirc

\bigcirc

Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que

x^2+4xy+y^2=9

corresponde a la ecuación de una elipse en el plano.

\bigcirc

\bigcirc

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 5

A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.

Enunciado. Sea  $(V,+,\cdot,\mathbb{K})$  un espacio vectorial definido en el campo  $\mathbb{K}$ . Considere  $v_1,v_2,...,v_n$  vectores en  $V$ . Si  $S$  es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores  $v_1,v_2,...,v_n$ , se tiene lo siguiente:

Razonamiento 1
Razonamiento 2
Razonamiento 3

Razonamiento 1

Es verdadero que, si $\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0$ , entonces $\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}$ .

Razonamiento 2

Si $v,u \in S$ y existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$ tales que $\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}$ Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene que $v+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n$

Razonamiento 3

Por otra parte, Si $\delta \in \mathbb{K}$ y $v \in S$ se tiene nuevamente que existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ tales que $v=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n$ Como consecuencia de esto $\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n$

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Se sabe que $W=(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$ y $V=(\mathbb{R}^2,\oplus,\odot)$ son espacios vectoriales reales siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones usuales en $\mathbb{R}^2$ ; además, $\oplus$ y $\odot$ las operaciones definidas por $\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c+1\\b+d \end{pmatrix}\qquad \alpha\odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a + \alpha -1\\\alpha b \end{pmatrix}$ Bajo estas condiciones, se define la función $T:V\longrightarrow W$ , definida por $T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ .

a.	Determine $T\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ , $T\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+T\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}$ .
b.	Determine $T\begin{pmatrix} \alpha \odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ y $\alpha \cdot T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ , si $\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \in V$ y $\alpha \in \mathbb{R}$ .
c.	¿Cuál es el elemento neutro de la adición en $V$ ?
d.	Si $\textbf{0}_{V}$ es el elemento neutro de $V$ . ¿ $T(\textbf{0}_{V})$ es igual al elemento neutro de $W$ ?
e.	¿ $T$ es una transformación lineal?

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $(P_2,+,\cdot)$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con las operacione usuales entre polinomios. Dadas las bases $B_1=\{ 1,1+x,(1+x)^2 \}\quad y \quad B_2=\{ 2-x,3,1+x^2 \}$

a.	Determine la matriz de cambio de base de $B_2$ a $B_1$ .
b.	Si $[p]_{B_{2}}=\begin{pmatrix} 10\\20\\30 \end{pmatrix}$ , determine $p$ y $[p]_{B_{1}}$ .
c.	Determinar, de ser posible, $\beta\in \mathbb{R}$ tal que el vector $q(x)=1+\beta(1+x)+(1+2x+x^2)$ satisfaga $[q]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}\begin{array}{r} 2\\-7\\1 \end{array} \end{pmatrix}$ .

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Si $(\mathbb{R}^3,+,\cdot,\mathbb{R})$ es el espacio vectorial real con las operaciones usuales en $\mathbb{R}^3$ , considere el subconjunto $W$ formada por todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ tal que la suma de sus componentes es igual a cero. Además, si $U$ es el subconjunto de $\mathbb{R}^3$ generado por el vector $(1,-1,0)$ .

a.	Verifique que el subconjunto $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .
b.	Determine el subespacio $U\cap W$ .
c.	¿Es $U\cup W$ un subespacio?
d.	Determine la dimensión del subespacio vectorial $U+W$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando correspondientemente, si la afirmación es verdadera o falsa; en cada caso, justifique brevemente su respuesta.

El vector

(x,y,z)

pertenece al espacio columna de la matriz

A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2&-4&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix}

sí, y solo sí,

x+2y=0

\bigcirc

\bigcirc

En el conjunto de los números complejos es cierto que

3i-8=i(3+i8)

. Esto significa que

3i-8

pertenece al subespacio de

(\mathbb{C},+,\cdot,\mathbb{R})

que es generado por el vector

3i+8

\bigcirc

\bigcirc

Dado un espacio vectorial

(V,+,\cdot,\mathbb{K})

, siempre podrán hallarse bases

B_1

B_2

V

tales que la matriz de cambio de base tenga nulidad diferente de cero.

\bigcirc

\bigcirc

Se conoce que las ternas

(1,1,1)

(-9,3,-1)

pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.

Entonces la terna

(-4,2,0)

también es una solución del sistema.

\bigcirc

\bigcirc

(V,+,\cdot,\mathbb{K})

es un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

, sean

U

W

dos subespacios de

V

. Si

\{ u_1,u_2,...,u_n \}

\{ w_1,w_2,...,w_m \}

son bases de

U

W

respectivamente, entonces el conjunto

\{ u_1,u_2,...,u_n,w_1,w_2,...,w_m \}

es generador para el subespacio

U+W

\bigcirc

\bigcirc

Tema 6

Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 6

Considere el siguiente teorema:

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ y sea $D$ un subconjunto de $V$ linealmente independiente. Si $v_0 \in V$ es un elemento tal que $v_0 \notin gen(D)$ , entonces el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es un conjunto linealmente independiente.

A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.

$\bigcirc$	En consecuencia $D\cup \{ v_0\}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Lo cual contradice la elección de $v_0$ .
$\bigcirc$	$\alpha_0$ debe ser distinto de cero, de otro modo $D$ sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción.
$\bigcirc$	Entonces existen elementos $v_1,v_2,...,v_n \in D$ y escalares $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ no todos iguales a cero, tales que $\alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V$ .
$\bigcirc$	Así $v_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n$ .
$\bigcirc$	Suponga que el conjunto $D\cup \{ v_0 \}$ es linealmente dependiente.