Determine los valores de la constante a para los cuales la matriz real \footnotesize{\begin{pmatrix}\begin{array} {rcr} 1&a&a \\ -1&1&-1 \\ 1&0&2 \end{array}\end{pmatrix}} sea diagonalizable.
De ser posible, construya una transformación lineal T de P_2(\mathbb{R}) en \mathbb{R}^3 tal que\begin{array}{c} T\begin{pmatrix} x^2+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-1\\0 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\ T\begin{pmatrix} x+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix} \\ \\T\begin{pmatrix} x^2-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\-3\\-1 \end{array} \end{pmatrix} \end{array}
A continuación se presentan tres enunciados cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas. Cada selección incorrecta restará medio punto a la calificación del tema.
Literal a. Sean T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim\, V=n y dim \,W=n-1, entonces es cierto que:
| \bigcirc | Si {v_1,v_2,...,v_n} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces {T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)} es un conjunto linealmente independiente de W. |
| \bigcirc | T(\bold{0}_v)=\bold{0}_v. |
| \bigcirc | T debe ser sobreyectiva. |
| \bigcirc | T debe ser inyectiva. |
| \bigcirc | El rango de T es menor o igual a n-1. |
Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio vectorial (V,{\langle} \cdot|\cdot {\rangle}), entonces es cierto que:
| \bigcirc | {\lVert u+v \rVert}^2 = {\lVert u \rVert}^2 + {\lVert v \rVert}^2. |
| \bigcirc | \{u,v\} es un conjunto linealmente independiente. |
| \bigcirc | Si u y v son no nulos, existe una base de V que contenga a estos dos vectores. |
| \bigcirc | u y u+v no pueden ser ortogonales. |
| \bigcirc | u y u+v son ortogonales si u es no nulo. |
Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n con entradas en un campo \mathbb{K}, entonces es cierto que:
| \bigcirc | A y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico. |
| \bigcirc | A tiene n autovectores linealmente independientes. |
| \bigcirc | Si A tiene n autovalores diferentes entonces es diagonalizable. |
| \bigcirc | Si A es diagonalizable entonces debe ser una matriz simétrica. |
| \bigcirc | Si A es una matriz simétrica entonces todos sus valores propios son números reales. |
![Álgebra lineal [MATG1003]](https://blog.espol.edu.ec/matg1003/files/2018/09/cropped-nube-matg1003.png)
Teorema de la dimensión
Por Mireya Bracamonte, mrbracam@espol.edu.ec | Docente FCNM-ESPOL
Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a 3 y considere los subespacios S=\{ p\in V\ {:}\ p'(1)=0\} y T=gen\{ x-1,x^2-3x \}. Determine:
a) Una base para el subespacio S\cap T.
b) Una base para el subespacio S+T.
Sean V un espacio vectorial real, f:V\longrightarrow \mathbb{R} y g:V\longrightarrow \mathbb{R} dos transformaciones lineales. Se define F:V\longrightarrow \mathbb{R}^2 por F(v)=\footnotesize{\left(\begin{array}{r} f(v) \\ g(v) \end{array}\right) }. Determine si F es una transformación lineal entre V y \mathbb{R}^2 con las operaciones usuales.
Sea V el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden 2, con entradas reales. Se tiene, para V, las bases \footnotesize{A=\left\{\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -1 \end{array}\right) \right\}} y \footnotesize{B=\left\{\left(\begin{array}{rr}2 & 0 \\0 & \alpha \end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\0 & -2 \end{array}\right) \right\} }.
| a) | Si la matriz de transición de la base B a la base A es \footnotesize{P_{BA}=\left(\begin{array}{rr}2 & - \frac{1}{2} \\0 & m \end{array}\right) } determine, de ser posible, los valores de m y \alpha. |
| b) | Si [v]_A=\footnotesize{\left(\begin{array}{r}1 \\ 2 \end{array}\right)} determine [v]_B. |
| c) | Determine el vector v. |
Sea V=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ {:} \ x,y,z > 0 \} el espacio vectorial con las operaciones (x_1,y_1,z_1)\oplus(x_2,y_2,z_2)=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2) y \lambda\odot(x,y,z)=(x^\lambda,y^\lambda,z^\lambda). Determine:
a) el vector nulo, 0_V,
b) el vector opuesto de v=(2,3,1), y
c) si (2,2,1) y (\frac{1}{2},\frac{1}{2},1) son vectores linealmente independientes.
Se conoce que las ternas (1,1,1) y (-1,3,-9) pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.Determine otro elemento del conjunto solución distinto a las ternas dadas.
A continuación se presentan cinco enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Para u,v,w\in V y \lambda, \mu\in \mathbb{K}, es cierto que:
a.1. Si v+u=u+w, entonces v=w.
a.2. Si \lambda u=\lambda v, entonces u=v.
a.3. Si \lambda v=\mu v y v\neq 0_V, entonces \lambda=\mu.
a.4. dim(V)=dim(\mathbb{K}).
Literal b. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Es cierto que:
b.1. Si V=gen\{ v_1,v_2,...,v_n \} y \{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces n\geq k.
b.2. Si V es generado por el conjunto S=\{ v_1,v_2,...,v_n \}, entonces S contiene una base.
b.3. Si S=\{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto linealmente independiente, entonces S es un subconjunto de una base de V.
b.4. Si S=\{ u_1,u_2,...,u_k \} es un conjunto linealmente independiente, entonces S contiene una base de V.
Literal c. Sean V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}_V y W un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}_W. Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, es cierto que:
c.1. Las operaciones v+w y T(v)+T(w) son operaciones en el espacio vectorial V.
c.2. T(v+\alpha w)=T(v)+\alpha T(w).
c.3. T(0_V)=0_W.
c.4. Los campos K_V y K_W deben ser iguales.
Literal d. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo \mathbb{K}. Considere W_1, W_2 dos subespacios de V. Es cierto que:
d.1. dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2).
d.2. Los complementos de W_1 y W_2, con respecto a V, son subespacios vectoriales de V.
d.3. W_1 \cup W_2, es el menor subespacio que contiene a W_1+W_2.
d.4. W_1 \cap W_2, W_1+W_2 son subespacios de V.